Propagation des ondes de Rayleigh

Les ondes de Rayleigh résultent d’une combinaison d’ondes P et SV qui peuvent exister au toit d’un demi-espace homogène. Graff (1975) considère la propagation des ondes P et SV dans un plan Ox − Oz où la surface libre est localisée à z = 0 et l’axe Oz est orienté vers le bas. Pour des ondes P et SV planes monochromatiques dans un milieu homogène, les potentiels P et SV peuvent s’exprimer sous la forme :

Φ = Aei(ωt−kxx−kxrpz) (2.15)

Ψ = Bei(ωt−kxx−kxrsz)

où x et z sont les coordonnées horizontales et verticales (z > 0 vers la profondeur), ω est la pulsation de l’onde plane qui se propage, k(kx, kz) est le nombre d’onde, caractérisant la direction

de propagation de l’onde et les deux quantités rp = q c2 x/Vp2− 1 (2.16) rs = q c2 x/Vs2− 1

s’expriment en fonction de la vitesse de propagation apparente cx, le long de la surface libre, de

l’onde recherchée.

Pour que ces potentiels décrivent l’énergie piégée près de la surface libre, deux conditions sont appliquées : la solution doit assurer que l’énergie ne se propage pas loin de la surface libre et la condition de surface libre doit s’appliquer.

Pour que l’énergie reste piégée près de la surface libre, les exponentielles e−ikxrpz et e−ikxrsz

doivent être des exponentielles réelles négatives, de manière à ce que le déplacement décroisse quand z → ∞. La relation 2.17 requiert que cx< Vs< Vp. Donc cx, la vitesse apparente des ondes

Fig. 2.3: _{Schéma de la propagation des ondes de Rayleigh (à gauche) et de Love (à droite). Tiré du site} internet www.geo.mtu.edu/UPSeis/waves.html imaginaires et valent : rp = −i q 1 − c2 x/Vp2 (2.17) rs = −i q 1 − c2 x/Vs2.

La deuxième condition, l’annulation de la traction à la surface libre, se produit pour une réflexion P-SV à la surface libre. Donc :

σxz(x, z = 0, t) = 0 = 2rpA + (1 − r2s)B (2.18)

σzz(x, z = 0, t) = 0 = (λ(1 + rp2) + 2µr2p)A + 2µrsB

En éliminant les paramètres de Lamé de la deuxième équation, en utilisant 1 + r2

p = c2x/Vp2 et les

définitions des vitesses Vp et Vs, un système homogène de deux équations à deux inconnues A et B

est obtenu :

2qc2

x/Vp2− 1A + (2 − c2x/Vs2)B = 0 (2.19)

(c2_x/V_s2_{− 2)A + 2}qc2

x/Vs2− 1B = 0.

Comme cette égalité est vraie pour toute valeur de A et B, le déterminant de ce système est nul, donc : (2 − c2x/Vs2)2+ 4 q c2 x/Vp2− 1 q c2 x/Vs2− 1 = 0 (2.20)

L’équation 2.20 est l’équation de dispersion des ondes de Rayleigh. Pour la résoudre et déterminer cx, il faut d’abord connaître le rapport Vs/Vp, grâce au coefficient de Poisson par exemple.

Les ondes de Rayleigh (figure 2.3) sont donc liées à la présence de la surface libre sur laquelle les contraintes et les déplacements sont nuls. Ceci est également vrai au niveau de toute interface sépa- rant deux milieux dont les propriétés physiques sont très différentes et pour lesquelles contraintes et déplacements sont nuls.

D’autre part, l’étude de la propagation des ondes SH montre l’existence d’un autre type d’ondes de surface : les ondes de Love, qui vibrent dans la direction perpendiculaire au plan de propagation et qui proviennent d’une combinaison des ondes SH (figure 2.3). La vitesse des ondes de Love dépend uniquement de celles des ondes de cisaillement S, alors que la vitesse des ondes de Rayleigh dépend à la fois des vitesses des ondes compressives et cisaillantes (par l’intermédiaire du coefficient de Poisson). Les ondes de Love se propagent plus rapidement que les ondes de Rayleigh pour une fréquence donnée.

Une onde de Rayleigh est considérée comme une "vraie" onde de surface, puisqu’elle est toujours générée en présence de la surface libre, même lorsque le milieu sous-jacent est homogène. Plus gé- néralement, les ondes de ce type générées en présence d’une interface entre deux milieux s’appellent

2.1 Equations de propagation des ondes élastiques en deux dimensions dans un milieu linéaire

élastique isotrope 51

Fig.2.4:_{Polarisation de l’onde de Rayleigh et diminution exponentielle avec la profondeur. Tiré de Sheriff} & Geldart (1995)

Fig. 2.5: _{Diminution de l’amplitude des différents modes des ondes de Love avec la profondeur. Tiré de} Keilis-Borok (1986)

des ondes de Stoneley (Aki & Richards, 2002). Elles existent sous certaines conditions en présence d’une interface entre deux milieux très différents, même lorsque les deux milieux sont homogènes. En revanche, une onde de Love n’existe que lorsqu’il y a au moins une couche et lorsque la vitesse des ondes S dans la couche inférieure est supérieure à celle de la couche supérieure. L’onde de Love est piégée dans les couches de terrain, l’angle d’incidence avec laquelle elle arrive à l’interface séparant deux couches de terrain ne lui permettant pas d’être transmise dans le milieu sous-jacent. Nous ne détaillons pas la relation de dispersion des ondes de Love car nous allons nous focaliser sur le mode P-SV de propagation. En effet, ce dernier se propage en deux dimensions, dans un plan vertical.

En milieu homogène, l’expression des potentiels Φ et Ψ montre que les ondes de surface pos- sèdent une amplitude qui décroît de manière exponentielle en fonction de la profondeur(figure 2.4). Cette décroissance commence à une certaine distance de la surface libre, mais pas tout de suite comme le montre la figure 2.5. Les ondes de Rayleigh ont un mouvement elliptique, rétrograde dans les premiers mètres de la subsurface, puis prograde pour une profondeur supérieure à environ un cinquième de leur longueur d’onde (figure 2.4). En sismique, la composante verticale d’un champ d’onde propagé est souvent la seule composante enregistrée, donc seules les ondes de Rayleigh sont étudiées. Cependant, dans des enregistrements à trois composantes, les ondes de Rayleigh et de Love sont étudiés, ainsi que la polarisation des ondes de Rayleigh (Scherbaum et al., 2003).

Fig.2.6:_{Apparition des différents modes des ondes de Love selon la fréquence considérée. . Tiré de Keilis-} Borok (1986)

donnée, plusieurs trains d’onde peuvent se propager car ils satisfont tous l’équation d’onde, ainsi que les conditions aux limites et les conditions initiales. Ces modes sont continus ou discrets, selon que l’exponentielle considérée dans l’équation d’onde est réelle ou complexe (Keilis-Borok, 1986)). Seuls les modes discrets nous intéressent ici car ils se propagent, les modes continus sont évanescents et ne transportent donc aucune énergie. Le mode qui se propage le plus lentement est appelé le mode fondamental (Sheriff & Geldart, 1995). Les autres constituent l’ensemble des modes supérieurs. Pour une fréquence f donnée, un certain nombre de modes se propagent, ceux pour lesquels la fréquence de coupure (fréquence minimale à laquelle un mode apparaît) est inférieure à la fréquence concernée f (figure 2.6).

Lorsque le milieu est homogène, seul le mode fondamental de Rayleigh se propage. Quand le milieu devient faiblement hétérogène, le mode fondamental de Rayleigh reste le plus énergétique. Mais lorsque le milieu se complexifie davantage, les modes supérieurs deviennent de plus en plus énergétiques, parfois plus que le mode fondamental. La génération des modes dépend donc de la fréquence considérée et de l’hétérogénéité du milieu. Quand le point d’observation se situe suffi- samment loin de la source, les modes s’individualisent bien dans le domaine temporel en raison des différences entre leur vitesse de propagation. Ce genre de propriété de séparation des modes dans le temps a été utilisé par Snieder (1986) et Ernst & Herman (2000).

La profondeur où l’énergie véhiculée par un mode est maximale dépend du mode considéré (figure 2.5). Ainsi, les différents modes sont porteurs d’informations relatives à des profondeurs variables. Cette propriété des ondes de surface sert de base à des méthodes comme la SASW (Spectral Analysis of Surface Waves, (Nazarian & Stokoe, 1984)). Nous détaillerons cette méthode dans le chapitre suivant.

Les ondes de Rayleigh et de Love sont dispersives, c’est-à-dire que leur vitesse de propagation dépend de la fréquence. Par conséquent, dans un milieu tabulaire, les différents modes se propagent à des vitesses différentes. Ainsi, les composantes haute fréquence, qui parcourent la partie superficielle du sol où les vitesses de propagation des ondes sont généralement plus basses, se propagent plus lentement que les composantes basse fréquence, qui atteignent des profondeurs plus importante où les vitesses sont plus élevées. En effet, la vitesse de propagation de l’onde prend en compte les vitesses des ondes sur toute l’épaisseur du sol sondée.

Enfin, les ondes de surface sont très énergétiques, puisque environ 2/3 de l’énergie émise par une source est convertie en onde de surface en milieu homogène (Miller & Pursey, 1955). De plus, elles s’atténuent beaucoup moins rapidement que les ondes de volume. Leur énergie diminue en effet en 1/r (atténuation cylindrique) alors que, pour les ondes de volume, l’énergie décroît en 1/r2

(atténuation sphérique) pour un milieu homogène élastique isotrope.

Comme elles sont très énergétiques, les ondes de surface générées en milieu urbain sont d’am- plitude relativement élevée. Elles peuvent alors servir de source pour enregistrer la réponse du sol

2.2 De la formulation temporelle à la formulation fréquentielle 53