Syst`emes orthogonaux

Pour nous rapprocher d’une th´eorie plus g´en´erale (s´eries de Fourier, Sturm–Liouville, polyn ˆomes de Legendre, fonctions sph´eriques, etc.), et pour simplifier la notation, consid´erons l’espace

î

ê[!{d¶$jïm'$Fð

ñ

íŠò

î

oóPòô!{d¶$jïm'ó ð

ñ’õ

ó Riemann-int´egrable sur !Ed¶$jïm'öp (7.1) avec la forme sesquilin´eaire semi-d´efinie positive (on dira “produit scalaire”)

÷

óÂ$˜eøŠò

î ù

ú

ó²êìë}í e±êìë}í

ëô (7.2)

On d´esigne par

û ó û < òî ÷

ó$jóø

î ù

ú

DEó²êìë}í2D

< ë (7.3)

la semi-norme correspondante.

88 S´eries de Fourier Pour un calcul avec cette semi-norme, on a les propri´et´es suivantes :

ü l’in´egalit´e de Cauchy–Schwarz ^D

÷

û ó û ­ ; par suite, la convergence uniforme entraˆıne la con-vergence en moyenne quadratique;

ü si^ó et^e sont perpendiculaires, c.-`a-d.,

÷

(Th´eor`eme de Pythagore);

ü restreinte aux fonctions continues, la semi-norme

û ó û <

est une norme; c.-`a-d.,

û ó û < î est

satisfaite seulement si^{ó î} .

D´efinition 7.1 (syst`eme orthogonal) Une suite de fonctions ^{oÿ u p u} dans^î êÒ!Ed¶$jïm'ö$ ð

ñ í forme un syst`eme orthogonal si

÷ ÿ u

$jÿÒø

î pour ^{|$ý‹$ | ìî n}

On a un syst`eme orthonormal si, de plus,

û ÿ u û < î

pour tout^|+‹ . Exemple 7.2 a) Le syst`eme

o $ wmy

ü $ w 1 yü $ w < yü $ w 1 < yü $ w l yü $ w 1 l yü $ jjFp (7.4) forme un syst`eme orthogonal pour des fonctions dans^{î êÒ!{($ê û 'ö$ ñð í} . Il est orthonormal si on divise les fonctions par ^{G ê û} . La suite des fonctions

o $

forme aussi un syst`eme orthogonal pour l’intervalle ^{!{($ê û '}.

b) Sur l’espace^{î êÒ!{($ û 'ö$Fðñ í} des fonctions d´efinies sur un intervalle de longueur^û ,

o $

est un syst`eme orthogonal. Un autre syst`eme orthogonal sur le mˆeme espace est

o c) Le polyn ˆomes de Legendre

forment un syst`eme orthogonal dans^{î êÒ!}

$

'ö$ ð

ñ í (voir le cours “Analyse Num´erique”).

Soit ^{oÿ u p u} un syst`eme orthonormal dans

î

ê[!{d¶$jïm'$ ð

ñ í (un syst`eme orthogonal peut toujours ˆetre normalis´e en divisant ^{ÿ u} par sa norme

û ÿ u û <

) et soit ^ó une combinaison lin´eaire finie de la forme ^{ó î ðu s ? u ÿ u} . En prenant le produit scalaire avec ^{ÿ r} et en utilisant l’orthonormalit´e du syst`eme ^{oÿ u p u} , on obtient la formule ^{? r î}

÷

ó$jÿ

r ø pour le coefficients. Ceci est la motivation pour g´en´eraliser les s´eries de Fourier `a des syst`emes orthonormaux arbitraires.

D´efinition 7.3 Soit ^{oÿ u p u} un syst`eme orthonormal dans^î ê[!{dÕ$kï¯'ö$ ð

ñ í et soit ^{ó- î} êÒ!Ed¶$jïm'ö$ ð

s´erie de Fourier, et les ^{? u} sont les coefficients de Fourier. On utilise la notation comme dans la D´efinition 1.1 pour indiquer qu’il s’agit d’une identification formelle.

S´eries de Fourier 89 Le r´esultat suivant montre que la s´erie de Fourier tronqu´ee poss`ede une propri´et´e d’optimalit´e.

Elle est la meilleure approximation de ^ó pour la norme

û è û <

dans la classe de fonctions qui s’expriment comme des combinaisons lin´eaires de^{ÿ u} jusqu’au degr´e^ò .

Th´eor`eme 7.4 Soit<sup>oÿ u p u</sup> un syst`eme orthonormal dans^î êÒ!Ed¶$jïm'ö$ ð

ñ í , soit la fonction^ó

En particulier, parmi tous les polynˆomes trigonom´etriques ^{·ðÈêìë}í î tut#v ð}

uºw

yu ü

de degr´e^ò ,

celui pour lequel ^<

)

est la s´erie de Fourier tronqu´ee^{ïð êìë}í} .

D´emonstration. La diff´erence ^{ó ðu s ? u ÿ u} est orthogonale `a tous les fonctions<sup>ÿ r</sup> avec<sup>‰ = ò</sup> ainsi qu’`a leurs combinaisons lin´eaires :

ó ð ce qui montre l’affirmation.

Th´eor`eme 7.5 Soit<sup>oÿ u p u</sup> un syst`eme orthonormal dans

î

êÒ!Ed¶$jïm'ö$ ð

ñ í , soit la fonction^ó Riemann-int´egrable sur ^!{dÕ$kï¯' et soit ^{u ? u ÿ u} sa s´erie de Fourier. Alors,

­

u s DE?

u D< = û ó û << (in´egalit´e de Bessel) (7.11) et en particulier la s´erie ^{uFDE? u D}

<

converge. On a

­ D´emonstration. En prenant ^{u î} dans l’´egalit´e de (7.10), on obtient

û ó û << î ó ð quel que soit^ò et l’in´egalit´e de Bessel est d´emontr´ee. L’´egalit´e de Parserval d´ecoule de l’´egalit´e dans (7.13).

Remarquons que l’in´egalit´e de Bessel fournit une nouvelle preuve du Lemme de Riemann.

90 S´eries de Fourier D´efinition 7.6 (syst`eme complet) On dira qu’un syst`eme orthonormal^{oÿ u p u} dans^î êÒ!Ed¶$jïm'ö$ ð

ñ í

est complet (ou total) si pour toute fonction^{óP î} êÒ!Ed¶$jïm'ö$ ð

ñ í on a

Propri´et´es de syst`emes complets.

a) Pour toute fonction ^óœ

î

êÒ!Ed¶$jïm'ö$ ð

ñ í , la s´erie de Fourier converge en moyenne quadratique vers ^ó (ceci est la formule (7.14) exprim´ee en mots), mˆeme si la s´erie ne converge pas point par point.

Si les coefficients de Fourier sont tous nuls, l’identit´e de Parseval implique que

û ó û < î . Par continuit´e la fonction^ó est donc identiquement nulle.

c) Si ^{oÿ u p u} est complet, alors la s´erie de Fourier d’une fonction ^{ó î} êÒ!Ed¶$jïm'ö$ ð

ñ í peut ˆetre int´egr´ee terme par terme independamment de la convergence de la s´erie; c.-`a-d., si ^óŠêë}í

u}?

Des estimations ´el´ementaires et l’in´egalit´e de Cauchy–Schwarz donnent

ü ¥

Par definition de la compl`etude cette majoration converge vers z´ero pour<sup>òó ô</sup> . Th´eor`eme 7.7 (convergence en moyenne quadratique) Le syst`eme ^o

$

o`u^{? u} sont les coefficients de Fourier de ^ó .

ê û

€ r

ó r  r

ë r 1 : ë r

e²êë}í

D´emonstration. Dans une premi`ere partie nous montrons que pour tout^Œ; il existe une fonction continue et ^{ê û} -p´eriodique^e±êìë}í telle que

< ) Par hypoth`ese (voir aussi la d´emonstration du Lemme 2.2 de Riemann) il existe un partage ^{/ î od î ë ;ë}

:

jjP ë ð î

ï¯p tel que pour la diff´erence des sommes de Riemann ^{ï™êO/›í ,êO/›í î ðr[s}

Nous prenons pour^e±êìë}í une fonction lin´eaire par morceaux (voir la petite figure) qui prend au point^{ë r} une valeur dans l’intersection ^{!{ó r $j€ r '>!{ó r S}

:

$j€

r S : ' . Pour obtenir une fonction ^{ê û} -p´eriodique, nous remplac¸ons

óŠêê û í par ^óŠê¸(í (si n´ecessaire) et nous choisissons^{e±êO(í î e±ê ê û í} dans !Eó;ð$j€ñðÕ'µ!Eó

:

$j€

: ' . Ainsi, la fonction ^e±êìë}í est dans la partie grise de la figure et nous obtenons sur l’intervalle ^{!ë r}

1 :

$Òë r '

l’estimation ^{DEó²êìë}í e±êë}í2D}

<

=N·^êO€

r ó r í . Nous en d´eduisons l’affirmation (7.15) avec^{Œ î ·µŒ}.

S´eries de Fourier 91 Par le Th´eor`eme 6.3 de Fej´er, les sommes de Cers`aro ^ðêë}í de la s´erie de Fourier pour^e±êìë}í convergent uniform´ement vers^e±êìë}í . Pour^ò suffisamment grand on a donc

< )

L’in´egalit´e ´el´ementaire ^D{d™*-ïnD

<

< í donne alors

< )

Dans la norme

û è û <

, les sommes partielles de la s´erie de Fourier donnent la meilleure approxima-tion parmi tous les polyn ˆomes trigonom´etriques de degr´e^ò (voir le Th´eor`eme 7.4). Ceci implique

que ^û

et l’affirmation du th´eor`eme est d´emontr´ee.

Corollaire 7.8 Le syst`eme orthogonal ^{o ‡kˆ ý |nëôp u o ýnþÿ |nëôp u}

:

est complet dans^{î ê[!#$ê û '$j§¨‚í} . Le syst`eme orthogonal <sup>o ‡`ˆ ý |nëôp u</sup> est complet dans^{î ê[!#$ û '$j§¨‚í} .

Le syst`eme orthogonal ^{o ýnþÿ |nëôp u}

:

est complet dans^{î êÒ!{$ û '$k§¨‚í} .

D´emonstration. La premi`ere affirmation est une cons´equence imm´ediate du Th´eor`eme 7.7. Pour la deuxi`eme, consid´erons une fonction arbitraire dans<sup>î ê[!#$ û 'ö$j§¨ýí</sup> . Nous la prolongeons en une fonction paire (voir la figure IV.4) et ensuite en une fonction <sup>ê û</sup> -p´eriodique. La s´erie de Fourier de cette prolongation est une s´erie en cosinus et, par le Th´eor`eme 7.7, elle converge vers ^ó en moyenne quadratique sur l’intervalle ^{!#$ û '}. Pour la troisi`eme affirmation nous prolongeons la fonction^{ói î ê[!#$ û 'ö$j§¨ýí} en une fonction impaire.

Th´eor`eme 7.9 (Weierstrass 1885) Soit ó¾òô!Ed¶$jïm' ó ð

ñ

une fonction continue. Pour chaque^ŒŽ

il existe un polynˆome^ôêìë}í tel que

DEó²êìë}í

ôêë}í2D(=>Œ pour tout ë"!{dÕ$kï¯'ö

D´emonstration. Apr`es un changement des coordonn´ees de la forme<sup>ë! ó ƒ * … ë</sup> nous pouvons supposer que <sup>BdŽï íê û</sup> . Nous prolongeons <sup>ó²êìë}í</sup> de mani`ere continue et^{ê û} -p´eriodique sur tout^§¨ . Pour cette fonction les sommes de Ces`aro de la s´erie de Fourier convergent uniform´ement

vers^óŠêë}í . Il existe donc un polyn ˆome trigonom´etrique ^{·ðÈêìë}í î tut#v ð ? unw yu ü} tel que

Comme combinaison lin´eaire des fonctions exponentielles, la s´erie de Taylor de^»ðêë}í poss`ede un rayon de convergence^{" î ô} . En tronquant la s´erie de Taylor on obtient un polyn ˆome^ôêë}í qui satisfait ^{D»ðÈêìë}í} ôêë}í2D(=>Œ pour toutë "!#$ê

û '. L’in´egalit´e de triangle permet de conclure.

Corollaire 7.10 Le syst`eme orthogonal form´e par les polynˆomes <sup>u êìë}í</sup> de Legendre (7.8) est un syst`eme complet dans

î

ê[!

$

'$Fð ñ í .

D´emonstration. Comme dans la d´emonstration du Th´eor`eme 7.7 on peut se ramener au cas d’une fonction continue ^óŠêë}í . La mˆeme d´emonstration montre qu’il suffit de prouver l’existence d’un polyn ˆome ^ôêë}í pour lequel

û ó û <

est arbitrairement petit. Mais, ceci est une cons´equence imm´ediate du Th´eor`eme de Weierstrass.

92 S´eries de Fourier

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