Prolongement analytique et th´eor`eme de l’image ouverte

Le théorème d’unicité, posé comme “Exercice” par Abel dans le Crelle Journal, vol. 2, p. 286, a

été postulé pour les fonctions holomorphes sans preuve rigoureuse par Riemann [1851, p. 28]. La démonstration facile suivante démontre, une fois de plus, la grande utilité des séries entières.

Théorème 9.1 (unicité) Soient

? et

¼: deux fonctions holomorphes dans un ouvert ^> et

soit

Démonstration. D’après le Théorème 6.1, les deux fonctions sont analytiques dans un voisinage de . Après une translation, nous supposons que^¦¶ et nous considérons la différence

Nous devons d´emontrer que

¦|¶ pour tout . Supposons, par l’absurde, que ceci n’est pas vrai et soit

le premier coefficient non nul. Alors

Le prolongement analytique est un principe, “vu” par Riemann, qui est devenu un point central de la théorie de Weierstrass. Il permet, entre autres, d’étendre le théorème de l’unicité à tout le domaine^> .

Th´eor`eme 9.2 (prolongement analytique) Soient

: holomorphe dans l’ouvert ^>

holomorphe dans l’ouvert ^>

. Si l’intersection^>

Å°¯

> ü

est connexe et si

:ñ¦

¼: dans un

disque^E ^V 6±?2>

ÅG¯

> ü

, alors (voir Fig. II.8)

¼:¬¦

¼: pour tout ^V#W>

ÅG¯

> ü È (9.3)

D´emonstration. Soit

un point quelconque de ^>

Å²¯

> ü

. Par connexit´e, il existe un chemin

Ä¶

reliant avec

, c.-`a-d.,^¼¶J¬¦| et^Oe¦

. Comme dans la démonstration du Théorème 8.2 nous posons

%×¶ existe car

ne peut pas ˆetre plus petit que . Par cons´equent,

FIG. II.8: Prolongement analytique; `a droite une illustration du cours de Riemann

44 Calcul intégral et théorie de Cauchy Une situation typique du prolongement analytique est la suivante: soit ^¼: donnée par une série dans un disqueÊ ^V ^Æ¶J ; par exemple,

:¦x¬ ü

ÈEÈÈ . Nous prenons un point

#£E V ¼¶: et nous consid´erons la s´erie de Taylor de

: d´evelopp´ee autour de ce point (voir

le Théorème I.6.3). La série ^?¦

Cü ÈEÈÈ ainsi obtenue converge

certainement pour

Þ µ Þ

Ô³H

µ Þ Þ

. Mais, il est possible que le rayon de convergence de la nouvelle s´erie soit plus grand que^H

µ Þ Þ

et converge donc dans un domaine plus grand. Pour la fonction de notre exemple et avec ^Ñ¦

¶ÀÈ*´ , la nouvelle s´erie poss`ede un rayon de concergence

H}¦éEÈµ´ .

La fonction ^: a été prolongée en dehors du disque initial, et ceci de manière unique. Ce procédé peut être répété plusieurs fois et permet de remplir un domaine de plus en plus grand, jusqu’à arriver, éventuellement, à un bord naturel. L’unicité est garantie seulement si l’intersection du domaine ^>

où la fonction est déjà définie avec le nouveau disque est connexe (un contre-exemple est le logarithme après un contour de l’origine). Voir la Fig. II.8 pour un dessin historique illustrant ce phenomène.

Exemple 9.3 (fonction sans prolongement) Il existe des fonctions qui convergent dans un disque et qui ne permettent aucun prolongement en dehors de ce disque. L’exemple le plus simple est

ayant un rayon de convergence^H}¦º . ´Evalu´e en^C! ^¸ avec

ÌÔé proche de , cette série donne pour la partie réelle (la figure montre la partie réelle au-dessus du disqueÊ

etc. A part un nombre fini de termes, la s´erie devient` ^¨ª{¦

5»º

ne peut donc pas prolonger la fonction

? en dehors du disque ^E

¼¶J . Il paraˆıt paradoxal que

surtout les séries convergeant très vite ont cette propriété.

Le théorème suivant montre que pour une fonction holomorphe l’image d’un ensemble ouvert est ouvert (on dit que l’application est ouverte). Cette propriété topologique a été découverte dans un cadre plus général par L.E.J. Brouwer dans les années 1910, et démontrée de façon élémentaire par Sto¨ılow (1938) et H. Cartan.

Pour mieux comprendre cette propriété, étudions d’abord la fonction

ü £ ü de la Fig. II.9 (voir aussi [HW, p. 295]) qui est infiniment

-diff´erentiable mais pas holomorphe. Pr`es de chaque point

Å ¦ ¤

Å Å où la matrice jacobienne est inversible, l’application est un difféomorphisme local. Par conséquent, pour tout voisinage^¼ de

l’image

P¼¸ est un voisinage

Å . Examinons alors les points o`u la matrice jacobienne est singuli`ere : ces points forment une courbe², le long de laquelle cette application forme un “pli”. Si on choisit un point

sur cette courbe, l’image d’un disque^> centr´e en

sera pli´e `a cet endroit, et ne sera pas ouverte.

2Pour l’exemple de la Fig. II.9 cette courbe est donn´ee par la formule^½D

{¾-¿ÀGÁV¾Â¿»ÃAÁVÄ-¿Å

Ç8{ÈÆ¾-¿ÃmÁ

Calcul int´egral et th´eorie de Cauchy 45

Théorème 9.4 (théorème de l’image ouverte) Soit^> un ouvert et

? une fonction holomorphe

qui est nulle part localement constante. Alors pour chaque ouvert^¼:?2> l’image ^P¼¸ est ouverte (on dit que est une “application ouverte”).

D´emonstration. Soit ^¼³?Ë> et

#@¼ un point avec

Ì(¦ ¶ . La fonction est localement biholomorphe pr`es de

(Corollaire I.7.7) et par cons´equent

Å est un point intérieur de ^P¼¸ . Il reste à considérer les points

¼: n’est pas localement constante. Dans un voisinage d’un tel point, la fonction

s’enroule, similairement à la fonction ⁵ , que nous avons étudié dans le Chapitre I (voir Fig. I.5).

L’ensemble

U¼½ contourne totalement le point

9 (voir Fig. II.10) et est donc ouvert.

−1 1

FIG. II.10: Illustration de la preuve du Th´eor`eme 9.4, ^Í ^¦ Ñ¶ÀÈ*Î2#¾#

µ 9 ü µ

La preuve rigoureuse utilise les s´eries : apr`es des translations, nous supposons

9 ¦ ¶ et

suffisamment petit, ^Y

¡ Å

¡ ü ü

¾ÈEÈÈ peut ˆetre ´ecrite comme ^¬

ü ü

ÈEÈÈH 5

(utiliser la s´erie binomiale) et la fonction ^: de (9.5) devient

La fonction ^¼: est donc la composition d’une fonction biholomorphe^¨m¼: et de la fonction^ÍÙ5 bien connue. Notre inspiration géométrique est donc vérifiée et chaque point proche de

g¦¶

poss`ede pr´eimages de

: qui sont proche de .

46 Calcul int´egral et th´eorie de Cauchy

II.10 Exercices

1. Considérons le demi-disqueÆ,¿·òjÛhôÁPÇPò ü á¬ô ü$Ð Ó,ÛôÑs,Ì . Donner un chemin continûment différentiable par morceaux qui décrit le bord de cet ensemble.

2. Donner deux paramétrisations équivalentes mais différentes de l’ellipse

¿·òÛhô.ÁjÇ ò ü

Ê ü á ô ü

¼Ó p

3. Démontrer en détail que la longueur d’une courbe est indépendente de la paramétrisation (considérer des chemins qui sont continûment différentiables par morceaux).

4. Calculer la longueur d’arc de la cyclo¨ıde ^á ^¿^à ^{Á ¼¿} ^à ^ÉùëXï^ð ^à Á<áóí%¿Ó É1éhê,ë

à Á pout ^Ð ^à ^Ð

àÑ

. Dessiner cette courbe.

5. Int´egrer la fonction^¾¿ÀÁ?¼ ⁱ ^\ sur les deux chemins^á

Å ¿à

6. Soit^ÒÔÓ le bord (avec une paramétrisation qui est continûment différentiable et orientée positivement) d’un ensemble compact^Ó=Õ ^Ø^× . Son aire est donné par

aire^¿ÓîÁù¼ ^à^Ó

Àp (10.1)

D´emontrer ce r´esultat d’abord pour un triangle et ensuite pour une union finie de triangles (par exem-ple, un rectangle).

7. `A l’aide de la formule (10.1) calculer l’aire de l’ensemble fini limit´e par la courbe ^á ^¿^à ^Áw¼ÇR.¿ ^à ^Á ⁱ ^³ (pour ^Ð ^à ^Ð

àÑ

) o`u ^R.¿^à ^Á?¼ÓKá ^U ^ëvï^ð ^à . Faire un dessin.

Quel aire repr´esente l’in´egrale ^¿

í%Á!ÄÅ ð À À si l’on int`egre sut tout l’intervalle ^Ú^,Û

àÑ

Ý. 8. En vous aidant du calcul de

ð À

Indication. Montrer que¾¿ÀÁ ¼¿ÀKá}Ê^Á!ÄÅ poss`ede une primitive sur le disque^ÎWV¿),Á avec^Rþ¼ÏÈ^ÊÈ. 9. En utilisant les techniques famili`eres pour le calcul dans⁺^- , calculer les primitives pour:

À i \ h Û À i \ Û À ü

ëvïð ¿<ÀÁp

10. Si^á est l’arc de courbe de l’´equation ^ô ^¼ ^ò ^B ^É ^U òü5áÏ<,òîÉ`Ó joignant les points ^{¿Ó,ÛÜÓ,Á} et ^¿

à Û U Á, trouver la valeur de

ð Ó à À ü á}<,í%À

12. En utilisant la formule de Cauchy pour l’int´egrale ^ð ^À ^ÄÅ ^À o`u^á et le contour d’une ellipse, montrer la formule

Calcul intégral et théorie de Cauchy 47 13. En s’inspirant du calcul des intégrales de Fresnel (Exemple 4.3) démontrer que

Indication. Utiliser la substitution^ò1¼ ^à ^ü dans l’int´egrale de l’exercice 13.

15. Soit ^Ê ^¼ ^ò

Considérons une courbe fermée^á autour du segment ^Ú^{Ê^Û=Ý}, orientée positivement, et satisfaisant les conditions pour pouvoir appliquer la formule de Cauchy. Pour une fonction^¾¿ÀÁ qui est holomorphe dans l’intérieur de la courbe et dans un voisinage de la courbe, démontrer que

Û?D¿·òÁ Ô#¼

est un polynˆome de degr´e^~ qui satisfait^Û?D¿·ò

ÁV¼H¾¿·ò

5 Á pour3s¼,ÛÜÓ,Û-p-p-pvÛZ~ (polynˆome

d’inter-polation; voir le cours “Analyse Num´erique”).

16. Soit^¾¿ÀÁ holomorphe dans^Î ^V ^¿),Á et soit^á ^¿^à ^{Á ¼¸Ë} ⁱ ^³ , ^Ð ^à ^Ð

en d´ependance de la position de^Ê et par rapport au cercle^á .

17. Soit^ýÕ ^Ø^× ouvert et ^ý . Si ^¾¯ÔýßÖ ^Ø^× est continue dans^ý et holomorphe dans^ý ^Ù ^Æ ^Ì , alors

¾¿ÀÁ est holomorphe dans tout^ý .

Indication. D´emontrer que la fonction^ÿ ¿À[ÁwÔ#¼H¿ÀVÉ

Á¾¿ÀÁ est ^Ø^× -diff´erentiable en et donc aussi

dans^ý . Appliquer ensuite le Théorème 6.1 à la fonction^ÿ ^¿À[Á. 18. Soit^¾¿ÀÁ holomorphe dans^Î ^V ^¿),Á avec^RþÒÓ . Calculer les intégrales

Ý de deux manières différentes et en déduire les formules

19. Les nombres de Bernoulli^j

sont les coefficients de la s´erie

En utilisant le Théorème de Cauchy–Taylor et le résultat de l’exercice 17, démontrer que le rayon de convergence de cette série est^RÕ¼

àÑ

. 20. D´emontrer que la fonction

¾¿ÀÁ?¼

est holomorphe dans le disque^ÎWV,¿),Á avec^Rl¼d<

. En d´eduire que les nombres de Bernoulli satisfont pour³ ^Öx ,

48 Calcul intégral et théorie de Cauchy 21. Différentiation numérique d’une fonction holomorphe. Si^¾¿ÀÁ est holomorphe dans le disque^ÎWV[¿ ^Á

et si ^u ^Ë ^u ^R , on a que

¾ .5 0¿ Áó¼

3 0 àÑ

Ë 5 ü

¾¿

á1Ë

i ³ Á i Ä 5

³À à p

D´emontrer que l’approximation num´erique

¾L.

5 0 ¿ Á à 3 0

á Ë 5 Û ÄÅ

8:9

¾¿

á1Ë i

³ãâ

Á i Ä 5

³ãâ avec ^à ^l ^¼

àÑ

donne le résultat exact si^á ^Ò3 et si^¾¿ÀÁ est un polynôme de degréû ^3wá ^á .

22. Pour la fonction^{¾¿À[Á ¼À} ^ü ^áÀâÉÓ calculer le maximum de ^È^¾¿ÀÁ;È dans le disque ^È^ÀÑÈ ^Ð ^Ó . 23. Consid´erons la fraction rationnelle

-V¿ÀÁ ¼

ÓKá

B À

ÓâÉ

üB

ÀKá

w À ü p

En appliquant le principe du maximum sur un demi-disque ^Æ,ÀÐÇ Re^À ^Ð ^,ÛÐÈ^ÀÑÈ ^Ð ^-VÌ avec un^- tr`es grand, d´emontrer que

È-V¿ÀÁ;È Ð Ó pour Re^À ^Ð ^»p

24. Soit^¾¿ÀÁ holomorphe dans^ÎWV,¿),Á . Pour ^Ð ^Ë ^u ^R , on d´efinit

¿·ËÍÁ Ô#¼Gñ!#c È¾¿ÀÁ;ÈhÇÐÈÀÑÈC¼ Ë p

Montrer que la fonction^Ë¹ÞÖ ^ä ^¿·ËÍÁ est continue et croissante. Elle est strictement croissante si et seulement si^¾¿ÀÁ n’est pas une constante.

25. Soit^¾¿ÀÁ une fonction holomorphe dans le disque^Î

¿),Á . Montrer qu’il existe un entier positif^~ tel

que¾¿Ó o#~£Áe¼Ó o,¿~ á à Á .

26. Sur le disque^Î

¿),Á considérons la fonction définie par la série

¾¿ÀÁ?¼

58:9 3 ü ÀC5åp

Déterminer le domaine maximal où^¾¿ÀÁ peut être prolongée comme fonction analytique. Donner la valeur de^¾¿

à Á de ce prolongement.

Indication. En d´erivant l’identit´e ^¿ÓâÉÀÁ ^ÄÅ ¼°ÓKáÀâá}ÀÜüKá}À

áp-p-p deux fois, essayer d’exprimer

la fonction^¾¿ÀÁ comme fraction rationnelle.

27. Soit^{¾¿ÀÁ ¼À} ^ü ^É ^U ^À ^á

. Calculer explicitement les images^¾¿ýÁ pour les disques ouverts

ý°¼Î

¿Ó,Á et ^ý¼Î

¿Ó»p

Áp

Montrer dans chacun des cas que^¾¿ýÂÁ est ouvert.

Indication. Ecrire^¾¿ÀÁ sous la forme^¿ÀâÉ ^Á^üKá , et le bord de^ý sous la forme ^ásËP¿^à ^Á ⁱ ^³ . 28. Démontrer le “principe du maximum” à l’aide du théorème de l’image ouverte.

Chapitre III

Singularit´es et fonctions m´eromorphes

“Les singularités sont extrêmement importantes car on peut en tirer quelque chose en analyse complexe, cette branche des mathématiques qui étudie les fonctions définies sur un domaine du plan complexe^p-p-p” (www.techno-science.net, Astrophysique) Des fonctions réelles avec des singularités nous sont familières (cours Analyse I), par exemple,

E»O ,

°Å±

»O ,

°²±

#E»C( , etc. Pour des fonctions complexes, l’étude des singularités est très

différente et on peut obtenir des classifications intéressantes qui ne sont pas possibles dans le cas réel. Les singularités jouent un rôle important dans le calcul des intégrales (résidus).

Dans le document Analyse Complexe (Page 49-55)