Fonctions m´eromorphes

“^îïð$ñoò&ó

, partie” et “^{î ò&ñoô õï}, forme” (Dictionnaire Grec Franc¸ais, Hachette) Les fonctions m´eromorphes sont des fonctions qui ont presque (en partie) la forme des fonctions holomorphes. Plus pr´ecisement on a:

D´efinition 6.1 (Briot–Bouquet 1875) Une fonction ^{ú°ûUüåý} est m´eromorphe dans un ouvert ^z , si elle est holomorphe dans^z sauf en des points isol´es o`u elle peut avoir des pˆoles.

Les fonctions m´eromorphes dans un domaine ^z peuvent ˆetre additionn´ees, multipli´ees et d´eriv´ees sans sortir de l’ensemble des fonctions m´eromorphes. L’avantage par rapport aux fonc-tions holomorphes est que les foncfonc-tions m´eromorphes peuvent aussi ˆetre divis´ees entre elles.

Th´eor`eme 6.2 Si^{ú°ûUüåý} et^{3 ûUü“ý} sont m´eromorphes dans ^z , leur quotient^{ú°ûUü“ý'9 3 ûUü“ý} est aussi m´ero-morphe. L’ensemble des fonctions m´eromorphes dans^z forme alors un corps.

D´emonstration. Les singularit´es de^{ú°ûPü“ýˆ9 3 ûPü“ý} sont les pˆoles de^{ú°ûPü“ý} et^{3 ûPü“ý} et les z´eros de^{3 ûPü“ý} . Pour un tel point ^þ on aú°ûUüåým£ûUü<.|þý q ú B

ûPü“ý avec^>ö et ^{ú B ûPþŠý;} et³ ûUüåýÁìûUü6.cþýø÷

3 B

ûUü“ý

avec ùÄ"Gúhú et^{3 B ûUþý ;} . Le quotient ^{ú°ûUü“ý'9 3 ûUü“ýÊ ûPü.:þŠý q @ ÷ú B ûUü“ý'9 3 B ûPü“ý} poss`ede en ^þ une

singularit´e supprimable (si^>

1 ù ) ou un pˆole d’ordre^ùÙ.€> .

Exemples. Toutes les fonctions holomorphes, mais aussi les fonctions rationnelles ainsi que les fonctionsûÇV8·üž¶&·ü89´=µ8¶Lü ,^´=µ:û üž´=µ2¶Lü89¶'·®ü ,ú_ûUü“ý2ü89Cû

?

.!%Æý , etc., sont m´eromorphes.

D´ecomposition en fractions simples.

Pour les fonctions rationnelles, la d´ecomposition en fractions simples est souvent tr`es utile. Nous reprenons un exemple de [HW, p. 119–120]:

ú°ûPü“ý

n’a plus de pˆole en ^{ü %} . Nous d´eveloppons cette fonction en s´erie de Taylor et obtenons le d´eveloppement de Laurent (qui converge pour⁽

et similairement pour l’autre pˆole (cette fois pour⁽

Id´ee: Si on d´enote les “parties principales” de ces d´eveloppements par

B

ûPü“ý n’a plus de pˆole et, par le Th´eor`eme 3.1, est holomorphe dans

. Comme^{( ‘ ú_ûUü“ý} , il suit du Th´eor`eme II.7.2 de Liouville que cette diff´erence est z´ero et

ú°ûUü“ý (cf. [HW, formule (II.5.11)]).

Rappelons que ^{ú°ûUüåý} poss`ede un pˆole d’ordre^> en^þp

Ÿ exemple, un polyn ˆome de degr´e^> poss`ede en

Ÿ

un pˆole d’ordre^> .

Singularit´es et fonctions m´eromorphes 61 Th´eor`eme 6.3 Si <sup>ú°ûUü“ý</sup> est une fonction m´eromorphe sur <sup>~ Ÿ</sup> , alors <sup>ú°ûPü“ý</sup> ne poss`ede qu’un nombre fini de pˆoles et est une fraction rationnelle.

D´emonstration. Comme les singularit´es (ici le point infini est inclus) d’une fonction m´eromorphe sont isol´ees, il existe^{• )} tel que^ú_ûUü“ý ne poss`ede pas de singularit´e `a l’ext´erieur de ^{$û ý} (sauf

´eventuellement en^{üa Ÿ} ) et seulement un nombre fini dans ^{û ý} . Soient^{þ B S}

qui est holomorphe dans tout

. Par la remarque suivant le Th´eor`eme II.7.2 de Liouville, la fonction^{3 ûPü“ý} est un polyn ˆome de degr´e au plus^{> 5> B 5}

7O7O7 5a>ق . Par cons´equent,^{ú°ûPü“ý} est une fonction rationnelle.

Cas d’une infinit´e de pˆoles.

Soit, par exemple,ú°ûUü“ý!´:µ:û üa!´=µ8¶Lü29¶&·²ü . Il y a des pˆoles simples aux points ^{ü¤P Q} ,^P"¥úhú , avec Res^{ûUú S PRQ°ýi%} . La formule analogue `a (6.5) serait ici

´:µ:û ü€

formule trouv´ee par Euler, `a l’aide de son produit pour^¶'·®ü (voir Introductio 1748, Chap. X,^! 178).

Voici d’autres exemples :

%

62 Singularit´es et fonctions m´eromorphes Notre but est de d´emontrer ces formules. Tout d’abord remarquons que les s´eries (6.6) et (6.7) ne convergent pas sans autre pr´ecision (s´erie harmonique). Pour donner une sens `a ces formules il faut grouper ensemble les termes ûUüŠ5›PRQ_ý

@CB

52ûPü6.0PRQ_ý

@CB

!oü89CûUü

H

.›P H Q H ý .

Pour une fonction m´eromorphe avec pˆole ^{þ †} nous notons par ^{† ûPü“ý} la partie principale dans le d´eveloppement de Laurent autour de ^{þ †} (c.-`a-d., les termes avec indices n´egatifs). Pour une courbe ferm´ee<sup>b</sup> autour de l’origine, nous notons par<sup>”’ûdb ý</sup> la distance de<sup>b</sup> `a l’origine et par^{#²û“b ý} sa longueur.

Th´eor`eme 6.4 (Mittag-Leffler) Soit ^{ú°ûUüåý} m´eromorphe dans avec pˆoles^þ B S þ H S þ²‹

S

7O7O7

(^{þ † ;} ).

Consid´erons une suite^{=b ‚} de courbes ferm´ees contournant l’origine et satisfaisant ^{”û“b ‚ý  Ÿ}

pour ^{P  Ÿ} et #²ûdbo‚6ýˆ98”ûdbo‚ý

, sur lesquelles

-ú°ûPü“ý

- É

pour ^ü"Ùbo‚ et ^{PG% S S S}

7O7O77

(6.10) Alors on a

ú°ûPü“ý2ú°û

ýƒ5+

‚Ç

‘

Ž%$ Int^{w˜] ¡ x}

†

ûPü“ýè.

† û ý 2ú°û

ýƒ5

‘

†'‡

B †

ûPü“ýè.

† û ý (6.11) o`u Int^{ûdb ‚åý} d´esigne l’int´erieur de la coube^bo‚ .

Si ^þŒ£# est un pˆole de ^{ú°ûUüåý} , il faut remplacer ^{ú°û ý} dans la formule (6.11) par ^£ûUü“ý plus le terme constant dans le d´eveloppement de Laurent autour de^þŒ£m .

−2 2

−3π −2π −π 0 π 2π 3π

b B b H

FIG. III.6: Illustration de la preuve du “Th´eor`eme de Mittag-Leffler” pourú°ûPü“ý!´=µ:û ü

D´emonstration. Ce th´eor`eme est une version simplifi´ee du cel`ebre th´eor`eme de Mittag-Leffler, qui fut publi´e dans Acta Math. vol. 4, 1884.

Comme les singularit´es de^{ú°ûUü“ý} sont isol´ees, il n’y a qu’un nom-bre fini des pˆoles `a l’int´erieur de ^{b ‚} (voir Fig. III.6). L’id´ee est d’enlever ces singularit´es et de consid´erer la fonction

ú_ûUü“ý/.

Ž%$

Int^{w˜] ¡ x}

†

ûPü“ý

qui est holomorphe dans un voisinage de Int^ûdbo‚ý (voir Fig. III.7). La formule int´egrale de Cauchy donne alors

ú°ûPü“ý§.

Ž&$

Int^{w°] ¡ x}

†

ûUü“ý

%

:Qƒ[ ] ¡

ú_û„^oýé.

Ž'$

Int^{w˜] ¡ x † û^oý}

^m.‡ü

”…^ (6.12) pour ^ü dans l’int´erieur de ^{b ‚} et diff´erent de pˆoles. Dans cette situation, la fonction ^{3 † û„^oý¾}

†

û„^oýˆ9Sû^ .˜ü“ý poss`ede les pˆoles^ü et^{þ †} avec r´esidus Res^{û3 † S ü“ýŠ † ûUü“ý} et Res^{û3 † S þ † ýÁþ. † ûUü“ý} .

Singularit´es et fonctions m´eromorphes 63

FIG. III.7: Courbes de niveau pour la valeur absolue de ú°ûUü“ý!´:µ:û üm.

‚

†'‡

£ †

ûUüåý

Le th´eor`eme des r´esidus donne alors que

% et la formule (6.12) (appliqu´ee une fois pour^ü et une deuxi`eme fois pour^üa ) implique que

ú°ûPü“ý/.‡ú°û

Nous majorons cette derni`ere int´egrale en utilisant (6.10)) et l’hypoth`ese sur^{b ‚} , ce qui donne

ú°ûPü“ýè.)ú°û

l’infini pour^{P  Ÿ} et la majoration dans (6.14) tend vers z´ero.

Dans le cas o`u l’origine est un pˆole de la fonction <sup>ú°ûPü“ý</sup> , on applique cette d´emonstration `a la fonction^{ú°ûUü“ý/. £QûPü“ý} qui est holomorphe pr`es de l’origine.

Exemple 6.5 (formules d’Euler) Consid´erons la fonction ú°ûPü“ýj+´:µ:û ü (voir la formule (6.6)).

Pour la courbe^{b ‚} nous prenons le bord du carr´e avec sommets^{ûP65 %=92“ý„Q²û U % U [ý} . On a^{”û“b ‚ý}

û„P`5!%=92‘ýQ

 Ÿ

et^#ûdb ‚6ýžì8”’ûdb ‚6ý . La fonction^{ú°ûPü“ý} peut ˆetre major´ee `a l’aide de

Sur les parties verticales de ^bo‚ on a

-ú_ûUü“ý

- % et sur les parties horizontales

=Q92 . La formule (6.11) du Th´eor`eme de Mittag-Leffler implique alors que

ce qui justifie d’une part la formule (6.6). D’autre part, en multipliant cette formule par ^ü , la s´erie devient (avec ¹

By@

64 Singularit´es et fonctions m´eromorphes Cette s´erie, compar´ee `a (I.9.5), donne les formules

‘ l’un des plus formidables triomphes d’Euler. Mˆeme le cas ^PÙk% fut une ´enigme pour Leibniz et Joh. Bernoulli pendant un demi-si`ecle (plus pr´ecis´ement: de 1673 `a 1740).

La formule (6.7) peut ˆetre justifi´ee de la mˆeme mani`ere. Pour la fonction <sup>ú_ûUü“ý* %=9¶'· H ü</sup> (voir la formule (6.8)) on a des pˆoles d’ordre et le Th´eor`eme de Mittag-Leffler donne

%

En utilisant la formule (6.16) pour ^{Pž %} et

H %=9

J

, les termes constants s’annulent et on retrouve la formule (6.8). La formule (6.9) peut aussi ˆetre v´erifi´ee de cette mani`ere.

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