Exercices - Analyse Complexe

1. Calculer les deux racines du polynˆome

K{}|~K{1,%

|K{1?

2. ´Ecrire le nombre complexe ^{ en coordonn´ees polaires et calculer

(trois solutions).

3. En utilisant la formule de Cardano (voir [HW, p. 7]) calculer la solution r´eelle de l’´equation

z ê

{~w

V´erifier le r´esultat avec un logiciel comme Maple.

4. Consid´erons une application ^w : ^|^j

. Avec l’identification

de (1.3) elle peut ˆetre ´ecrite sous la forme ^| ^z . Exprimer^| ^z en termes de

, et^z

5. Décrire géométriquement les parties du plan complexe définies par a) ^z ^, ^~ , ^z ^{~ ^C ^~ , ^zK ^~ ^, ^~ ,

b) Re^zw ^~, ,¡ , Re^z ^{¡ Im^z ,

c) ^¡¢£ ^¤¥!¦ ^z ^¢£ .

6. Lesquels des ensembles de l’exercice 5 sont ouverts, ferm´es, born´es, compacts ? 7. Pour^§

©¨ª et^«¬¨

consid´erons l’´equation

§ z z { « z { « z {

Montrer que cette ´equation repr´esente un cercle dans

si^§¯®° et ^«^± ^{§^} . Discuter le cas^§ ^° .

Que se passe-t-il si ^« ^§< ?

8. Avec l’identification ^² de (1.3) chaque application -linéaire ¹ peut être écrite sous la forme

?³

{1´

z (9.1)

avec^³

¨µ

(uniquement d´etermin´es).

9. Montrer qu’une application (9.1) satisfait

-lin´eaire ^¶ |·% ¸%|~,

´¹,º

10. Étudier la fonction»½¼µ¾¿ÀÁÂ¼ÃÀ[ÄÅ et démontrer que cette fonction conserve les cercles, c.-à-d., l’image d’un cercle est un cercle.

11. L’image d’un cercle ^{Æ,À£Ç£È}À?É1ÊÈX¼¸ËÍÌ par la transformation de Cayley (2.7) est de nouveau un cercle (ou une droite). D´eterminer son centre et son rayon.

12. Soit ÎÏ¼Æ,ÀÐÇÐÈÀÑÈCÒÓ,Ì , l’exterieur de cercle unit´e. Demontrer que la transformation de Joukowski

¾ÕÔPÎÏÖ ×

Ø}ÙÂÚ

ÉwÓ,ÛÜÓÝ d´efinie par ^ÀÞÖ»ß¼ ^Óà ^ÀKá ^Ó

À Û

consid´er´ee comme application de^Î dans ^×

ØÙwÚ

ÉwÓ,ÛÜÓÝ est surjective et injective. Etudier l’application

inverse ¾6ÄÅâÔ[»MÞÖmÀ . Dessiner les images inverses des lignes Im»ã¼ÃäjåæÍçè (´ecoulement ”poten-tiel” autour d’un cylindre).

Indication. L’image de Àw¼éhê,ëìÕáîíëvïð@ì est »F¼éhê,ëjì .

13. Décomposer la fonction»G¼¾¿ÀÁ ¼ÀÜñ en partie réele et imaginaire¾¿·òáóíôÁ?¼¸õj¿·òÛhô.Á<áóíö¿·òÛhô.Á . Calculer les dérivées partielles et vérifier les équations de Cauchy–Riemann.

Différentiabilité dans ^÷ 25 14. Soit õ¿·òjÛhôÁù¼úò ñ ÉGûòÑüôüwáô ñ donnée. Trouver toutes les fonctions^{ö¿·òjÛhôÁ} qui satisfont avec

õj¿·òÛhô.Á partout les ´equations de Cauchy–Riemann.

15. Soit^ý un ouvert de ^Ø^× et ^¾þÔýÖ ^Ø^× une fonction ^Ø^× -diff´erentiable. Montrer que la fonction

¿ÀÁ£¼ ¾¿ À,Á

est ^×

-diff´erentiable sur ^{ý¼Æ,Àµ×}

Ø Ç ÀsýÂÌ . Quelle est la d´eriv´ee de^ÿ ^¿ÀÁ?

16. La fonction carr´ee¾¿ÀÁ5¼ãÀÜü , vue comme application ^Ø^× ^Ö ^Ø`Ù^× ^¿ÉÛÝ, est bijective. Montrer que la fonction inverse¾6ÄÅ¿·»@Á ¼ » est holomorphe.

17. A chaque matrice complexe^y¼ ^Ê avec^¿ ^Û ^Á¼ nous associons la fonction

18. En utilisant le corollaire 3.3 d´emontrer que la fonction

ê VÀwÔ#¼

ê ùÈÀÑÈá1í!#"$rÀ

est holomorphe sur ^×

Ø}Ù

¿ÉÛÝ.

19. Trouver une solution^{õj¿·òÛhô.Á} du probl`eme de Dirichlet suivant:

õî¼ sur ^&¼ ^Ú^,ÛÜÓÝ(' ^Ú^,ÛÜÓÝNÛ õj¿·òjÛ,Á£¼¸õj¿),ÛhôÁ£¼ ,Û õj¿·òÛÜÓ,Á£¼¸òÛfõj¿Ó,ÛhôÁ£¼¸ô

Idée. Considérer la partie réelle (ou imaginaire) d’une fonction holomorphe (polynomial très simple).

20. D´eterminer le rayon de convergence de la s´erie binomiale (^*,+^- )

¿ÓKáÀÁ/.rÔ#¼Ó©á*jÀâá

21. Déterminer le domaine de définition de la fonction de Bessel d’indice zéro définie par

; 9

22. On sait que la s´erie

5 8:9 Ê 5

¿ÀrÉªí%Á

5 converge pour^Àù¼4< et diverge pour^À ^¼ßÉ= . Que sait on au sujet de la convergence ou de la divergence des s´eries suivantes?

23. D´eterminer les coefficients de la s´erie

À ü áÓ,Ó,ÀâÉ

et calculer le rayon de convergence de la s´erie ainsi obtenue.

Pour une fraction rationnelle arbitraire, deviner une formule pour le rayon de convergence.

Quel est le rayon de convergence de la s´erie qu’on obtient si l’on d´eveloppe la fonction de (9.2) autour du point ^¼Ó ?

Indication. D´ecomposition en fractions simples.

26 Diff´erentiabilit´e dans ^÷ 24. Soient ^Æ,ÊEDÌ , ^{Æ FDÌ} deux suites dans ⁺^- . Supposons que ^ïHG

DJI

FD existe et que cette limite est non-negative. Alors on a toujours

(om a utilisé ce résultat dans la preuve du théorème sur la ^Ø^× -différentiabilité d’une série entière).

Montrer par un contre exemple que l’affirmation

est fausse en g´en´eral.

25. Soit ^¾¿À[Á ^¼½Ê

convergence. D´emontrer que

est une primitive de^¾¿ÀÁ sur^ÎWV¿),Á , c.-`a-d., le rayon de convergence de cette s´erie est^R et on a que

TYX

¿ÀÁ ¼¾¿ÀÁ.

26. La fonction!#"véZC!ð À est la primitive de ^¾¿ÀÁV¼ ¿ÓVá`ÀÜü,Á ÄÅ qui s’anulle pour ^À¯¼[ . Calculer les coefficients de la s´erie pour!#"véZC!ð À .

R´esultat. !#"véZC!ð À¼ÀâÉ]\6^

B 27. D´emontrer que

c:M ¿Àâás» Á ¼dc:MÂÀe1#c?MK»

28. Exprimer les fonctions ^ëXï^ðÀ et ^éhê,ëjÀ en termes de ^c?M ^¿·íÀÁ et c?Mj¿É¬í%ÀÁ et utiliser le r´esultat de l’exercice 27 pour d´emontrer la formule

ëvïð ¿À á1» Á£¼¸ëvïðÂÀ éhê,ëÑ»yá}éhê,ëjÀ5ëvïðâ»

29. Calculer les cinq premiers termes de la s´erie pour ¾¿ÀÁ ¼dc:M ¿)*

ê ¿ÓKá}ÀÁÁ et comparer les avec la

s´erie de l’exercice 20.

30. Soit^» ¼!#"véhëvïð À . Inspirez vous du dessin (qui lui mˆeme est inspir´e d’un dessin de Newton 1669) pour voir que

Insérer pour cette dernière fonction la série binomiale et obtenir par intégration la série (de Newton) pour!#"véhëXïð À . Déterminer le rayon de convergence.

31. Les nombres de Bernoulli sont les coefficients de la s´erie

a) D´emontrer la formule de r´ecurrence

3 j 9 á 3Ó j Å á

et calculer les premiers dix nombres de Bernoulli.

b) En observant que

À d´emontrer que^jmlâ¼ siⁿ ^ÒÓ est impair.

Différentiabilité dans ^÷ 27 c) En remplaçant^À par^í%À dans (9.4) trouver les coefficients de la série pour

éhê À¼

d) V´erifier l’identit´e C!ðÂÀ¼éhê ÀâÉ

éhê X¿

ÀÁ et en d´eduire la formule

C!ðÂÀ¹¼

32. Déterminer les premiers termes de la série pour^C!ðÂÀ de plusieurs manières différentes:

a) comme le quotient des deux s´eries dans ^C!ð ^Àw¼ ^ëvïðÂÀpo?éhê,ë?À ;

b) comme fonction inverse de la s´erie pour !#"véZC!ð@À (utiliser les formules pour la composition des s´eries);

c) comme solution de l’équation différentielle ^» ^X ^¼ÓKá1» ^ü (justifiér cette équation différentielle).

33. Soient^R:q ^Ò et^RJrKÒ les rayons de convergence des séries pour^¾¿ÀÁ et^ÿ ^¿·»@Á et soit ^¾¿),Á£¼ . La démonstration du théorème 7.3 (composition de séries) montre que la série pour la fonction composée

¿¾¿ÀÁÁ poss`ede un rayon de convergence

Rts G ïð R q Û<ëLKNM Ë 7

5 8

Å ÈÊ 5 ÈË 5vu R:r º

Calculer cette estimation du rayon de convergence pour l’inverse de la s´erie^éhê,ëjÀ :

34. Montrer que l’´equation cubique

À B É U À Éî»F¼ (9.7)

poss`ede une solution unique proche de si^» et suffisamment petit. Plus pr´ecisement, il existe des voisinages ^ý de ^À

¼x et ^y de ^»

¼z tels que pour tout^»{|y il existe un unique ^Àúý satisfaisant (9.7). Dev´eloper cette racine en puissances de^» (calculer les premiers^U termes).

35. D´eterminer toutes les racines complexes des ´equations suivantes:

ëvïðÂÀw¼ ,Û éhê,ëjÀ¼ ,Û c:M ¿ à

ÀÁ É @

c?M@ÀKá}<ó¼

36. Dev´eloper la fonction^{¾¿À[Áâ¼} ^{ê VÀ} (branche pricipale) en s´erie autour d’un point^À

9 ×

qui n’est pas sur l’axe réel négatif. Quel est le rayon de convergence de cette série?

37. Une exercice difficile. D´emontrer, par r´ecurrence, que pout tout^Àµ×^Ø et pour^~s

En d´eduire que pour tout nombre complexe^À ,

a) à l’aide de la formule d’Euler appliquée à ^ò1¼dC!ð ^À¼¸ëvïðÂÀpo?éhê,ë?À ; b) à l’aide de séries entières pour !#"véZC!ð À et

ê ¿ÓKá}ÀÁ.

28 Diff´erentiabilit´e dans ^÷

39. D´emontrer les identit´es (d’Euler 1746 et de Johann Bernoulli 1702)

í j¼

ÄJ

k ü Û i k ü

¼¸í

Quelles autres valeurs pour^í etⁱ ^k ^ü pourrait-on imaginer?

40. Pour un^À fixé (par exemple,ÀþÔ#¼MÓrá¹í ), les valeurs représentées par ^À ^9O^Å ^9O⁹ ^Å sont toutes sur une spirale. Donner cette spirale en coordonnées polaires sous la forme^Ë ^{¼ *X¿ìÁ} .

1 2

−2 −1

1 2

−2

−1

FIG. I.15: Les valeurs de ^m ^9O^Å ^9O⁹ ^Å (Exercice 40).

Chapitre II

Calcul int´egral et th´eorie de Cauchy

“Was soll man sich nun bei ^ìÑò1 ^ò für^ò¸¼ ^ÊVásí denken? ^ºÜºÜº Ich behaupte nun, dass das Integral ^ìÑòt1 ^ò nach zweien verschiednen Übergängen immer einerlei Werth erhalte.”

(C.F. Gauss 1811, lettre `a Bessel, Werke 8, p. 91)

“L’intention de Cauchy, proclamée dans l’introduction de son mémoire, était de rendre rigoureuse une méthode d’intégration utilisée déjà par Euler et surtout par Laplace^ºÜºÜº”

(B. Belhoste, Cauchy, p. 179, en parlant de Cauchy 1814) Le “Mémoire” reconnu comme “le plus important des travaux de Cauchy” est intitulé Mémoire sur les intégrales définies, prises entre les limites imaginaires, publié en 1825, en quelques exem-plaires, et inclus seulement en 1974 dans les Oeuvres de Cauchy (cf. [Remmert 1991]).

Le but de ce chapitre est de donner un sens `a

)

?2N o`u

sont des nombres complexes reliés par une courbe et est une variable complexe. La théorie du calcul intégral complexe nous permet de mieux comprendre les fonctions holomorphes et analytiques introduites au chapitre I.

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