Principe du maximum - Analyse Complexe

°Å±

¼: .

Théorème 7.2 (Théorème de Liouville) Chaque fonction entière et bornée est constante.

Démonstration. Par le Théorème de Cauchy–Taylor une fonction entière

: peut ˆetre ´ecrite

sous la forme d’une s´erie

donn´es par (6.2).

Comme

5 ¦ .5 0 Æ¶J»", l’inégalité de Cauchy (Théorème 7.1) implique que

Þ 5 Þ ·

(par hypoth`ese^1é* est major´ee par¹

ind´ependant de ), on arrive `a

¦¶ pour^º .

La mˆeme preuve montre aussi que si une fonction enti`ere satisfait

Þ Théorème 7.3 (Théorème Fondamental de l’Algèbre) Pour chaque polynôme

Démonstration. L’inégalité de triangle appliquée à ^D ^D ^¦ ^:

µ D

Ceci implique l’existence d’un

9 % ¶ tel que

La démonstration du théorème est par l’absurde. Supposons que ^: n’ait pas de racine dans ^ø^÷ . La fonction ¼:¬Å¦ºO»

? serait donc entière. La minoration précédente de ^: montre

alors que

Par compacit´e de ^ÚÀw# ^÷

ø J Þ Þ

9 Ü , la fonction

¼: est donc born´ee partout (cf. [HW, p. 289]).

Cela contredit le Th´eor`eme de Liouville, car ^: n’est pas constante.

µ . En appliquant itérativement le Théorème 7.3 on arrive finalement à une factorisation ^¼:¬¦ ^D ^ó2

µ Å

(óÀÈÈÈ?ó2

µ D .

II.8 Principe du maximum

On doit ce théorème à Riemann [1851, p. 22] pour les fonctions harmoniques. D’après [Remmert 1991, p. 259], l’auteur de ce résultat important, pour le cas des fonctions holomorphes, est inconnu.

Les premières traces semblent être un article de Schottky (1892) et de Carathéodory (1912).

Lemme 8.1 Soit

: holomorphe dans un ouvert^> , continue dans^> . Si un point ^#> est un

maximum local de

, alors

¼: est constante dans un voisinage de .

Calcul int´egral et th´eorie de Cauchy 41

FIG. II.7: Démonstration du Lemme 8.1 Démonstration. Si l’hypothèse, il existe^% ^¶ tel que

¼:

·:1 pour^{½¦( C!} ^³ ,^¶ ^{·¹Ã·¿EÕ} . Regardons l’image

de cette courbe placée dans le disque ferméÊwÏ¼¶: . Avec une rotation par l’angle

µ s ¦ µ

suivie d’une translation par

µ Þ

¼C

, nous ramenons le point ⁶ sur l’axe réel et ensuite à l’origine. Après cette transformation la courbe est donnée par ¨ª¤6Y¦2!

6# . Par la propri´et´e de la moyenne (formule (5.4)) nous avons

¨ª¤62e¦ ¶ÀÈ (8.1)

La courbe^¨ªH6 ´etant dans ^E}d

µ 1 , nous avons Re^¨mH6Ôé¶ sauf si^{¨ª¤6¦é¶} . La continuit´e de

¨ª¤6 et (8.1) impliquent que Re¨ª¤6W¦ç¶ pour tout (cf. [HW, p. 233, exercice 5.5]). Mais le seul

point, o`u le cercle en question touche l’axe imaginaire, est ^¶ . Ainsi ^¨ªH6 ^¦S¶ pour^w# ^¶

¿EÕ

¼: est constante sur le bord de^EJ6 . Le facteur

POÀ peut donc sortir de l’int´egrale (5.1), ce qui

entraˆıne que

¼: est constante partout dans ce cercle.

Rappelons qu’un ensemble ^>? ^÷

s’appelle connexe (plus pr´ecisement connexe par arcs) si pour deux points arbitraires

E¡

#> il existe un chemin continu ^çtÄ¶

¢£

> dans ^> avec

¼¶JY¦ et^#OY¦

Théorème 8.2 (Principe du Maximum, Fonctions Holomorphes) Soit ^> un ensemble ouvert, borné et connexe, et soit

: holomorphe dans ^> et continue dans ^> . Si

¼:

Þ · 1 pour

}#YR> , alors

ÔB1 pour tout ^D#X> (8.2)

sauf si ¼:¬¦dfhgSi6j dans^> . D´emonstration. Soit ¹ ^X ^¦

l \ 3 ¡ Þ

. Si les seuls points maximaux sont sur ^RL> , alors

1 X

·1 et les autres points satisfont (8.2). Sinon, il existe ^#¢> (notons que ^> est ouvert et

donc I(#£RL> ) avec

¦¤1

X. Le clou de la d´emonstration consiste `a regarder l’ensemble

[HW97, p. 295]), et ouvert (Lemme 8.1).

Pour montrer que ^¥ ^¦> , ce qui complète la démonstration par la continuité de

¼: sur ^> , nous prenons un point

#;> et un chemin continu^ÇÄ¶

¢m£

> qui relie avec

(ce chemin existe car^> est connexe). Consid´erons le nombre

42 Calcul intégral et théorie de Cauchy Dans les démonstrations du Lemme 8.1 et du Théorème 8.2 on n’a pas vraiment utilisé l’holo-morphie de

¼: . On a seulement utilisé la propriété de la moyenne (qui est satisfaite par les

fonctions holomorphes, mais aussi par leurs parties r´eelles et imaginaires).

Rappelons qu’une fonction r´eelle^§ÃH

« s’appelle harmonique (voir le Théorème I.4.3) si elle est deux fois continûment

Théorème 8.3 (Principe du Maximum, Fonctions Harmoniques) Soit ^> un ensemble ouvert, borné et connexe, et soit^§H

«K#XRL> , alors

ª ÔI§¤

òYÔB1 pour tout ^H

òK#W> (8.3)

sauf si ^§¤

òm¦\dfhgSi6j dans^> .

D´emonstration. Par le Lemme 8.4, la fonction harmonique^§H

ò est localement la partie réelle d’une fonction holomorphe. Donc, elle satisfait la propriété de la moyenne. Avec cette observation les démonstrations deviennent identiques à celles du Lemme 8.1 et du Théorème 8.2. Comme la fonction^§H

ò est r´eelle, on n’est pas oblig´e de travailler avec la valeur absolue et on obtient les majorations dans les deux directions.

Lemme 8.4 Une fonction qui est harmonique sur un domaine ^>? ^ø^÷ , est localement la partie réelle d’une fonction holomorphe. En conséquence, chaque fonction harmonique est infiniment différentiable.

D´emonstration. Soit ^§¤

sur^> . On v´erifie facilement que la fonction

satisfait les ´equations de Cauchy–Riemann ({§¨?«¨t¦Ê

holomorphe par le Corollaire I.3.3, et localement intégrable par le Théorème 4.2 de Cauchy. Dans un disque autour d’un point fixé ^½¦Áñ]

il existe alors une primitive^<÷¼: qui est donn´ee par

<æ:¬¦2<æ6 ð

UOÀ2QO o`u est une courbe arbitraire dans le disque qui r´elie avec . Prenons

comme le chemin compos´e par les segments

¡C

et on voit qu’avec le choix <æ6W¦B§

de la constante d’int´egration, la fonction^§H

ò est la partie r´eelle de la fonction holomorphe^<÷¼: .

Remarque (interprétation physique des fonctions har-moniques). Considérons une membrane élastique at-tachée à un fil de fer (courbe fermée dans ^B ). La sur-face de la membrane est décrite par une fonction har-monique^§¤

d´ecrit la courbe du fil de fer. Cette interpr´etation nous permet de bien comprendre le principe du maximum.

Le dessin de droite montre la partie r´eelle de la fonction holomorphe ^?¸¦x ^w au-dessus du carr´ee

·¹d·º

·ÇA·Á .

Calcul int´egral et th´eorie de Cauchy 43

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