Calcul d’int´egrales par la m´ethode des r´esidus

ú°û^Qý2‘…^Š.

‚

†'‡

B :Ž

ú°û„^oý2‘…^`

(4.5) o`u les<sup>‰ †</sup> sont les cercles qui contournent les points singuliers dans le sens positif. On obtient la formule (4.4) en remplac¸ant les derni`eres int´egrales par (4.1).

Si une fonction ^ú_ûUü“ý est holomorphe dans un domaine^z et si^ü*"z est un point fix´e, alors la fonction

3

û„^oý

ú°û^Qý

^6.‡ü

(4.6) poss`ede <sup>ü</sup> comme seul point singulier avec Res<sup>û3 S ü“ý0 ú°ûPü“ý</sup> (voir (4.2)). Dans ce cas, le Th´eor`eme 4.2 des r´esidus devient la formule int´egrale de Cauchy (II.5.1).

III.5 Calcul d’int´egrales par la m´ethode des r´esidus

“La th´eorie des r´esidus se prˆete avec une merveilleuse simplicit´e `a la recherche des int´egrales d´efinies, et voici comment:” (H. Laurent, Th´eorie des R´esidus, 1865) Nous sommes maintenant de retour `a la toute premi`ere motivation de Cauchy pour entreprendre ses recherches en analyse complexe, `a savoir la justification et la g´en´eralisation des calculs d’int´egrales entrepris par Euler et Laplace.

“L’art” de trouver des int´egrales d´efinies a ´et´e cultiv´e tout au long des 18`eme et 19`eme si`ecle, Dirichlet et Kronecker ont donn´e des cours (jusqu’`a 6 heures hebdomadaires) sur le sujet. Au-jourd’hui, il existe de longues tables (par ex. celles de Gr¨obner–Hofreiter ou Gradstein–Ryshik qui t´emoignent d’un travail incroyable) et des programmes informatiques (par ex. Maple ou Mathe-matica), qui “crachent” ces int´egrales en quelques millisecondes. Mais, pour un esprit scientifique, il est, encore et toujours, int´eressant de voir comment ces tr´esors du savoir ont ´et´e trouv´es.

L’id´ee est tr`es simple: on choisit une fonction <sup>ú°ûPü“ý</sup> , on choisit un chemin <sup>b</sup> et on ´evalue l’int´egrale (4.4) en calculant les r´esidus; ensuite on la partage en parties r´eelle et imaginaire, et on trouve deux formules d’int´egrales (dont une est souvent triviale). Discutons quelques situations typiques qui conduisent `a des int´egrales int´eressantes.

1) Int´egrales impropres.

Considerons des int´egrales

‘

@ ‘

ú°û“’Gý|”O’

þ B þ H

þŒ‹

b •

. •

o`u la fonction ^{ú°ûUü“ý} n’a qu’un nombre fini de singularit´es (aucune sur l’axe r´eel) et satisfait ^{( ‘} ü6–oú°ûPü“ý

.

Comme chemin d’int´egration on prend l’intervalle r´eel ^{—˜. • S •<™}, suivi d’un grand demi-cercle

• – ?

fšg, ^›cŠ›Q (voir la petite figure). Sous la condition ^‘ üm–oú°ûPü“ýœ

, l’int´egrale sur le demi-cercle tend vers pour^{•ž Ÿ} et on trouve

‘

@ ‘

ú°ûd’Gý|”O’ ž:Qƒ[

Im^Œ¡'¢R£

Res^{ûUú S þ&‚6ý S} (5.1)

o`u la somme est sur toutes les singularit´es^þŒ‚ de^ú_ûUü“ý dans le demi-plan sup´erieur.

Singularit´es et fonctions m´eromorphes 57 Exemple. De cette mani`ere on obtient

‘

sans avoir besoin de calculer une primitive de la fonction ^{ú°û“’Gý¥ %=9Sûd’ K 5k%Æý}. En effet, les singularit´es concern´ees sont ^{þ B ?§¦©¨ª} , ^þ

H

«[ et ^{þŒ‹ ?C¬E¦©¨ª} . Les r´esidus correspondants sont

þ

2) Int´egrales trigonom´etriques.

Pour une int´egrale de la forme

H²±

£ ³

û´:µ8¶8c

S

¶&·cý|”Oc

on consid`ere le cercle unit´e^{b û“cý ? fšg} avec ^0ce¤=Q et on observe que

H²± Il suffit alors de calculer les singularit´es et leurs r´esidus pour la fonction de la deuxi`eme int´egrale dans (5.2). Si

³

ûd¸

SŒ¹

ý est une fonction rationnelle, l’int´egrant de (5.2) est aussi rationnel.

Exemple. On obtient les formules (pour^º»"¥¼• )

H²±

ºTH.u% `a l’int´erieur du cercle unit´e^b de

r´esidu Res^{ûUú S þ B ýG%=9Sû}

n´ecessite le calcul du r´esidu d’un pˆole double. Pour ´eviter cela, on peut d´eriver l’int´egrale (5.4) par rapport au param`etre^º .

3) Transformation de Fourier.

Il s’agit des int´egrales impropres de la forme

‘

o`u la fonction^{3 ûUüåý} n’a qu’un nombre fini de singularit´es (au-cune sur l’axe r´eel) et satisfait ^{: ‘ 3 ûUü“ý} .

Comme chemin nous consid´erons le bord du carr´e (voir la petite figure) o`u^) et ^{È )} sont suffisamment grands pour que toutes les singularit´es soient dans l’int´erieur du carr´e. Notant

É

ûd"ý4!ÊV:ËƒÌ ÌÎÍ -3

ûUüåý

-qui converge vers z´ero pour ^{ Ÿ} , l’int´egrale sur ^b

H

et l’int´egrale sur^b_‹Qûdcý peut ˆetre major´ee de la mˆeme mani`ere. Ainsi nous obtenons

58 Singularit´es et fonctions m´eromorphes

Exemple. On obtient alors sans calculs compliqu´es que, pour ^#) et pour^Óp"}

Une addition resp. soustraction de ces deux int´egrales donne le formules de Laplace (1810)

‘

4) Transformation de Mellin.

Consid´erons avec ^#"Õ et ⁽ Re ^% l’int´egrale impropre

‘

o`u la fonction^{3 ûUü“ý} n’a qu’un nombre fini de singularit´es (au-cune sur l’axe r´eel) et satisfait ^{£ 3 ûUü“ýü Å} ainsi que

‘ 3

ûPü“ý ü Å

.

Rappelons que la puissance ^{ü Å} est en g´en´eral multivalu´ee et donn´ee par ^{ü Å ×ֲ˯Ø} û„ œµ8X±ü“ý . Pour obtenir une fonction holomorphe il faut fixer une branche du logarithme. Nous consid´erons

µ8X üa!µ8X

-ü

-5Ù[|V8W'X±ü o`u l’argument est choisi pour que <sup>!V2W'X ü :Q</sup> . Par le Th´eor`eme I.8.2

la fonction ^µ8X±ü et alors aussi ^{ü Å} sont holomorphes dans le plan complexe priv´e de l’axe r´eel positif. Pour un r´eel^’l) et pour^{ü  ’} , la limite d’en haut et celle d’en bas sont diff´erentes; on a respectivement^{’ Å} et^{? H²± fhÅ ’ Å} .

Pour d´efinir le chemin d’int´egration, nous prenons un ^{È )} tr`es petit et un<sup>Ú)</sup> tr`es grand, et nous consid´erons les deux cercles de rayons ^È et reli´es par des segments horizontaux proches de l’axe r´eel positif (voir la petite figure). Avec ^É û“Ôýp4ÊV:Ë Ì Ì‡ -3

ûUüåý ü Å

-, les int´egrales sur les cercles peuvent ˆetre major´ees par

]ZÛ

Singularit´es et fonctions m´eromorphes 59

5) Une formule d’Euler.

Pour d´emontrer

‘

nous posons ^{ú°ûPü“ý ? f 9‘ü} et nous considerons le chemin de la figure avec^È petit et grand.

Le petit demi-cercle est n´ecessaire pour ´eviter le pˆole `a l’origine. L’int´egrale sur le grand demi-cercle ^{b û“cý ? fhg} ,^{ce"á—TS Q}

™

peut ˆetre estim´ee `a l’aide de ^¶&·c

1

Elle converge vers z´ero si ^{ Ÿ} . Comme la fonction ^{? f 9‘ü} est holomorphe dans l’int´erieur du chemin ferm´e, une int´egration sur ce chemin donne pour ^{ Ÿ}

@ Ð

L’int´egrale au milieu converge vers^Q si^{È } . En ´echangeant^’ par^.Á’ dans la premi`ere int´egrale et en utilisant ^{?ZfšÆ . ? @ fšÆ ç=[|¶'·’} nous obtenons la formule cherch´ee.

6) Encore des int´egrales impropres.

Cherchons `a calculer

‘

£

ú°ûd’Gý|”Ç’

o`u la fonction ^{ú°ûPü“ý} n’a qu’un nombre fini de singularit´es (aucune sur l’axe r´eel positif, l’origine incluse) et satisfait ^{( ‘} ü6–“ú°ûUü“ýè–8µ8X±ü(

.

L’id´ee est de consid´erer la fonction ^{3 ûPü“ý¾4} ú°ûPü“ým–ƒµ2X ü et le mˆeme chemin que pour la transformation de Mellin. Comme dans (5.7) on d´emontre que l’int´egrale de ^{3 ûUü“ý} sur le grand cercle disparaˆıt si ^{ Ÿ} . Celle sur le petit cercle avec rayon ^È , peut ˆetre estim´ee comme suit:

] Ü 3

Elle converge aussi vers z´ero pour ^{È } , car ^ú_ûUü“ý n’a pas de singularit´e `a l’origine. Pour l’int´egrale sur le chemin entier il reste alors (pour ^{ Ÿ} et^{È } )

et le th´eor`eme des r´esidus donne

‘ Exemple. Comme application concr`ete, calculons l’int´egrale suivante:

‘

sont respectivement .Á[rQû'%m5›[

Â

‘ý'9C%:ì , ^[„Q92 et .aí=[„Q²û'%m.0[

Â

‘ý'9C%:ì . La formule (5.9) donne la

valeur affirm´ee de l’int´egrale.

60 Singularit´es et fonctions m´eromorphes

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