Ondelette de Haar

u s DE?

Rð V

u ? u D< î û ? Rð V ? û <

=>ŒÂ (8.6)

Cela signifie que ^?

Rð V ? )

<

, donc aussi ^{? &}

<

et ^{©þ«ª ð(¬„­ ?}

Rð V î ? .

Remarque. Chaque syst`eme orthonormal complet donne suite `a une application

* ò î

êÒ!Ed¶$jïm'ö$ ð

ñ

íŠó+

< ê ð

ñ í (8.7)

qui envoie une fonction ^ó sur la suite des coefficients de Fourier, c.-`a-d., <sup>* ê0óí î o? u p u</sup> o`u

ó, uô?

u ÿ u . Par l’identit´e de Parseval, la suite ^{o? u p u} est en effet dans

< ê ð

ñ í , et on a que

û ó û < î û *

ê0óÈí

û < î û

o?

u p u

û <

. En identifiant les fonctions avec la mˆeme s´erie de Fourier, on obtient alors une isom´etrie. Cette derni`ere application n’est pas surjective, car l’espace^î êÒ!Ed¶$jïm'ö$ ð

ñ í

n’est pas complet (voir Exercice 29).

Un probl`eme important est de trouver un espace qui contient

î

ê[!{d¶$jïm'$Fð

ñ í et qui soit complet pour que cette isom´etrie devienne bijective. Pour ce but, il s’av`ere que l’int´egrale de Riemann n’est pas suffisante. L’int´egrale de Lebesgue permet d’interpr´eter le compl´et´e de^î ê[!{dÕ$kï¯'ö$ ð

ñ í comme un espace de classes de fonctions de carr´e int´egrable au sens de Lebesgue (voir le cours Analyse III pour plus de d´etails).

IV.9 Ondelette de Haar

L’analyse de Fourier est bas´ee sur les fonctions

wmy u ü î

qui sont uniformes sur tout l’intervalle consid´er´e. Elle ne peut pas traˆıter de mani`ere efficace des ph´enom`enes locaux. Par exemple, on a des grandes difficult´es d’approximer une fonction proche d’une discontinuit´e (ph´enom`ene de Gibbs). Dans le traitement des images, o`u on est typiquement confront´e `a des changements abruptes de couleurs, ceci est un grand d´esavantage. Le but est alors de trouver un syst`eme orthogonal de^î êÒ!Ed¶$jïm'ö$ ð

ñ í pour lequel la s´erie de Fourier s’adapte mieux aux ph´enom`enes locaux.

L’origine de la “base de Haar” que nous allons pr´esenter dans ce paragraphe, est l´eg`erement diff´erente. Apr`es le ‘d´esastre’ des th´eor`emes de convergence pour s´eries de Fourier et fonctions continues (fausse preuve de Cauchy, correction de Dirichlet, contre-exemple de Fej´er), Hilbert pose

`a son ´etudiant A. Haar le probl`eme suivant : trouver (enfin) une base de fonctions orthogonales, o`u la convergence (uniforme) est assur´ee pour toute fonction continue. Le r´esultat de ces recherches est la “base de Haar” (1910, voir la figure IV.14).

La base de Haar (ondelettes de Haar). Sur l’intervalle ^!{$

' nous consid´erons la fonction con-stante ^{ÿ êë}í î}

ainsi que

-êìë}í

î

si^ë"!{($

% ê('

si^ë"ê

% ê$

'.

Elle s’appelle ondelette m`ere et nous permet de construire toutes les autres fonctions de la base par dilatation et par translation :

- u

jêìë}í

î ê u T < - ê ê u ë

ºí pour ^|þ‹ et ^{î $}

$jkjê

u

94 S´eries de Fourier

FIG. IV.14: Les ondelettes de Haar On voit une grande diff´erence avec la base de sinus ^{o ýnþÿ | û ëôp u}

:

sur l’intervalle ^!#$

'. La

premi`ere fonction

- — î

-ressemble beaucoup la fonction^{ýnþÿ û ë} . Pour^| fix´e, les fonctions

- u —

pour ^{î $}

$jjj`$ê

u

correspondent ensemble `a la fonction <sup>ýþÿ ê u û ë</sup> . Elles permettent mieux de s’adapter aux ph´enom`enes locaux. Par contre, on a beaucoup moins de frequences `a disposition (seulement les puissances de^ê ).

Th´eor`eme 9.1 Les fonctions

o‘ÿ²$

forment un syst`eme orthonormal de l’espace^{î êÒ!{($}

'ö$Fð ñ í .

D´emonstration. L’orthogonalit´e du syst`eme est facilement v´erifi´ee en distinguant plusieurs cas.

Comme la fonction ^D

- u —

kêë}í2D

<

vaut^{ê u} sur un intervalle de longueur ^ê 1 u

et z´ero ailleurs, on a que

û - u — û < î

pour tout^|$ .

Chaque combinaison lin´eaire ^{? ÿP* ð} 1 : u s

<0/

1 :

s ? u —- u — est une fonction en escalier. Elle est dans l’espace ^{é ð} de fonctions qui sont constantes sur les intervalles ^§nð

— î

. La valeur²³ de cette combinaison lin´eaire sur^§ð

— est donn´ee par (pour La matrice dans (9.2) est orthogonale `a une constante pr`es. Ceci entraˆıne que chaque fonction en escalier dans^{é ð} peut ˆetre ´ecrite sous forme d’une telle combinaison lin´eaire.

Lemme 9.2 Soit^{óP î êÒ!{($}

˜ø sont les coefficients de Fourier pour la base de Haar, alors la somme partielle

ïðÈêìë}í

est la fonction en escalier qui prend la valeur moyenne ^{2 ð}

—

Bò

î ê ð 8:90;<

ó²êìë}í

ë sur l’intervalle

§ð

S´eries de Fourier 95 D´emonstration. La fonction ^ïðêë}í est dans l’espace ^éð . Par le Th´eor`eme 7.4, cette fonction minimise la norme

û ó

ïð û <

parmi toutes les fonctions en escalier dans^{é ð} . Par cons´equent, la valeur^{2 ð}

— de^{ïðÈêìë}í} sur l’intervalle^§nð

— minimise l’expression

8:90;<

En calculant les d´eriv´ees par rapport aux parties r´eelle et imaginaire de^{2 ð}

— on voit que la valeur optimale est donn´ee par ^{2 ð}

—

±ò

î ê ð 8 9>;<

óŠêìë}í

ë .

Th´eor`eme 9.3 Pour chaque fonction continue ^{ó ò®!{($}

'-ó ð

ñ

, la s´erie de Fourier pour la base de Haar converge uniform´ement vers ^óŠêë}í , c.-`a-d., pour les fonctions^ïðêë}í du Lemme 9.2 on a

ª@?BA

D´emonstration. Sur l’intervalle compact ^!{$

' la fonction ^óŠêë}í est uniform´ement continue. Pour un ^{Œ H} arbitraire, il existe donc un ^{ H} pour lequel ^{DEó²êìë}í óŠê íDF Œ} si ^{Dë ’ D } .

 , et la convergence uniforme est ´etablie.

Corollaire 9.4 Le syst`eme orthonormal (9.1) est complet dans^{î êÒ!{($}

'ö$ ð ñ í .

D´emonstration. Par le mˆeme raisonnement que dans la d´emonstration du Th´eor`eme 7.7 il suffit de consid´erer des fonctions continues. La compl`etude est une cons´equence du Th´eor`eme 9.3, car la convergence uniforme entraˆıne la convergence en moyenne quadratique.

Les fonctions trigonom´etriques ^{o w yu ü p} et la base de Haar sont deux cas extrˆemes pour des syst`emes orthogonaux. Pour le premier, les fonctions sont d’une tr`es grande r´egularit´e, mais on est confront´e au ph´enom`ene de Gibbs proche des discontinuit´es. Pour le deuxi`eme, les fonctions de la base sont peu r´eguli`eres (elles sont discontinues), mais elles s’adaptent bien aux ph´enom`enes locaux.

Un grand probl`eme est de trouver un syst`eme orthonormal complet qui est form´e par des fonc-tions reguli`eres (continue, diff´erentiable, `a support compact, etc.) qui localisent bien. Les di-verses r´eponses `a cette question (ondelettes de Meyer, ondelettes de Daubechies, ^jk) n´ecessitent la connaissance de fonctions de carr´e int´egrable au sens de Lebesgue et des moyens de l’analyse fonctionnelle (voir le cours “Analyse III”).

IV.10 Exercices

1. Consid´erons la s´erie de Fourier ^{u­ s}

1 Ecrire cette s´erie sous la forme

ú>K R´eciproquement, transformer la s´erie de Fourier donn´ee en notations r´eelles par

h u ö ù en la s´erie correspondante en notations complexes.

96 S´eries de Fourier 2. Calculer la s´erie de Fourier de la fonction ^ù

4

-p´eriodique donn´ee par (voir la 5`eme fonction de la Fig. IV.3)

3. Calculer la s´erie de Fourier de la fonction ^ù

4

-p´eriodique donn´ee par (voir la 2`eme fonction de la Fig. IV.3)

une fonction avec s´erie de Fourier

f

Calculer les s´eries de Fourier de

f

Quelle est la parit´e de ces fonctions ? 5. Calculer la s´erie de Fourier de la fonction^ù

4

-p´eriodique donn´ee par

f

o`u^h n’est pas entier.

R´esultat :

6. En supposant que la s´erie de Fourier de l’exercice 5 repr´esente la fonction^{LONP h} , montrer que

(`a comparer avec la formule (III.6.7)).

7. On dit qu’une fonction

f_a

hW

Q

bcldf

satisfait une condition de Lipschitz d’ordre^mn s’il existe

F n tel que a) Une fonction, qui satisfait (10.1) avec^mrn , est constante.

b) Une fonction, qui satisfait (10.1) avec^{m ö} , est `a variation born´ee.

c) Pour^ms , trouver une fonction^f qui satisfait (10.1) mais qui n’est pas `a variation born´ee.

Indication. Sur l’intervalle

a

Wm

b

, consid´erer la fonction qui satisfait

f ö

,

f \ H ö 3 u \ H p

et qui est lin´eaire sur chaque intervalle ^a

\ H 7

Wm

\ H b

. 8. Consid´erons une fonction qui satisfait (10.1) et qui est^ù

4

-p´eriodique. Montrer que les coefficients de Fourier satisfont l’estimation

^F u ^ ] Fù 4

^HR^

p pour tout^H . Indication. Par un changement de variables montrer que

F u ö

Prendre la moyenne arithm´etique de ces deux repr´esentations de^{F u} . 9. Pour quelle valeur de^m , la fonction

f

ö p

PiST \

est-elle `a variation born´ee sur

a

Wm

b

?

S´eries de Fourier 97 10. Montrer qu’une s´erie de Fourier

h

peut ˆetre ´ecrite sous la forme ^h

seulement un nombre fini des coefficients de Fourier de^f qui sont non nulles.

12. a) En utilisant le th´eor`eme des r´esidus (int´egrales trigonom´etriques), calculer la s´erie de Fourier de

f

b) A l’aide de la s´erie g´eom´etrique, v´erifier que

u

13. Soit^{g E~‚} analytique dans un voisinage de la couronne circulaire ^{ ~€qe‚ J9}

\„ƒ

. Montrer que les coefficients de Fourier de la fonction^{f ö g G yü} satisfont l’estimation (d´ecroissance exponentielle)

^F u ^

]‡†‰ˆŠŒ‹Ž

ƒ u

14. D´emontrer que les noyaux de Dirichlet poss`edent la propri´et´e que

)

15. Justifier la formule

<

, montrer les formules

3 < ö ÷

continue par morceaux et designons par ^{F u} ses coefficients de Fourier. La

fonction ^“

est continue, `a variation born´ee et^ù

4

-p´eriodique. Montrer (int´egration par parties) que

“

Ainsi on a l’´egalit´e

ü

98 S´eries de Fourier

18. Soit la fonction^f d´efinie par la s´erie

f

_ö ­

u s 1 ­ F uG yu ü

Si cette s´erie converge uniform´ement, d´emontrer que les ^{F u} sont les coefficients de Fourier de la fonction^f .

19. (Sommation d’Abel) Soit

{ Alors, pour chaque suite^{ h u}

…

satisfaisant ^{j]µh u S}

:

converge et que sa somme est major´ee par^–>h . Indication. Soit ^{ð ö h { 7 h}

d´emontrer que^{ ð}

…

forme une suite de Cauchy.

20. Consid´erons les deux s´eries

h Si les coefficients^{ h u}

…

et^

Q u …

sont positifs et convergent monotoniquement vers z´ero, alors les deux s´eries de (10.2) convergent pour tout sauf ´eventuellement pour les valeurs ^{ö@ù H}

4

dans le cas de la premi`ere s´erie. De plus, on a convergence uniforme sur chaque intervalle ferm´e

aš W ù 4 3 š b

avec

š n .

Indication. Majorer ^{ðu s LONP H} et ^{ðu s PBST H} et utiliser la sommation d’Abel.

21. Pour quelles valeurs de , les fonctions repr´esent´ees par les s´eries

­

sont-elles continues ? Quel est le graphe de la deuxi`eme fonction ? 22. Soient

f W g

deux fonctions ^ù

4

-p´eriodiques continues et `a variation born´ee. Montrer que les coeffi-cients de Fourier complexes de la convolution

t u sont celles pour

f

respectivement^g . 23. Supposons que les fonctions^f et^g soient donn´ees par des s´eries

f

qui convergent uniform´ement sur

df

. Montrer que les coefficients de Fourier du produit ^{f ž g} sont donn´ees par ^F

œ t u ö ­

rQs

­)F r t u 1 r

.

S´eries de Fourier 99

en s´erie de Fourier par rapport au syst`eme orthonormal^{  u}

…

u

:

. b) Calculer les sommes partielles ^{< ðÕ} .

c) Calculer les sommes de Ces`aro^{¢ < ðÕ}. Indication. D´emontrer

d u S : ö d u 1 :

pour les int´egrales

d u ö )

FIG. IV.15: Sommes partielles ^ðÕ et sommes de Ces`aro^{¢ ð} pour la fonction de l’Exercice 24 25. Donner une suite^{ g u}

…

de fonctions dans^¤

a 26. D´emontrer que ^

4 1

u forme un syst`eme orthogonal dans^¤

a3 4 W 4 b W 

‚ .

27. Soit^{  u}

…

u un syt`eme orthogonal complet de^¤

a

t u sont les coefficients de Fourier de^{f W g} , montrer que

¦f W

g§>ö

u F u t u

28. D´emontrer que



est un syst`eme orthogonal dans^¤

a

W

4 \ ù b W 

‚ . Est-il complet ? 29. On consid`ere la suite de fonctions^

f ð … ð : V´erifier que cette suite est une suite de Cauchy dans^{¤ a Wm}

bW df par rapport `a la semi-norme ^{¥ ž ¥ <} . D´emontrer que cette suite n’a pas de limite dans cette espace.

100 S´eries de Fourier 30. Fonctions de Rademacher. Pour^{H ö WmW ù} , dessiner les fonctions

ƒ u

ö sign^{PBST ù u}

4

D´emontrer que le syst`eme^

ƒ u …

u est orthonormal dans^¤

a

Wm

bW df , mais il n’est pas complet.

Indication. Chaque fonction, qui est sym´etrique par rapport `a la droite ^ö

\ ù

, est orthogonale `a

ƒ u

pour tout^H¨U .

31. Combien de termes de la s´erie de Fourier pour la base de Haar sont n´ecessaires pour approximer la fonction ^{f ö} sur ^{a Wm}

b

avec un erreur maximale de ? Ceci n’est pas possible avec le syst`eme orthogonal^{ PBST H}

4 … u

:

!

Chapitre V

Equations aux d´eriv´ees partielles

Contrairement aux ´equations diff´erentielles ordinaires (voir le cours “Analyse II, partie r´eelle”), les

´equations aux d´eriv´ees partielles ont comme fonction inconnue une fonction de plusieurs variables et l’´equation contient des d´eriv´ees partielles. Les s´eries de Fourier ont ´et´e les premiers outils pour leur solution. Nous consid´erons ce chapitre surtout comme une application int´eressante de la th´eorie des s´eries de Fourier (chapitre IV).

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