Principe de l’argument

l’un des plus formidables triomphes d’Euler. Mˆeme le cas ^PÙk% fut une ´enigme pour Leibniz et Joh. Bernoulli pendant un demi-si`ecle (plus pr´ecis´ement: de 1673 `a 1740).

La formule (6.7) peut ˆetre justifi´ee de la mˆeme mani`ere. Pour la fonction <sup>ú_ûUü“ý* %=9¶'· H ü</sup> (voir la formule (6.8)) on a des pˆoles d’ordre et le Th´eor`eme de Mittag-Leffler donne

%

En utilisant la formule (6.16) pour ^{Pž %} et

H %=9

J

, les termes constants s’annulent et on retrouve la formule (6.8). La formule (6.9) peut aussi ˆetre v´erifi´ee de cette mani`ere.

III.7 Principe de l’argument

A l’aide du th´eor`eme des r´esidus nous d´emontrons ici le c´el`ebre “principe de l’argument”. La` premi`ere application de ce principe est due `a Riemann (1859, Werke p. 148, pour estimer le nombre de z´eros de sa “fonction <sup>^</sup> ”), une deuxi`eme par E.J. Routh (1877, dans un travail sur la stabilit´e d’un syst`eme).

Th´eor`eme 7.1 (Principe de l’argument) Soit ^z un domaine ´etoil´e et ^b la courbe ferm´ee par-courant ^{|z dans le sens positif. Si ^{ú°ûPü“ý} est m´eromorphe dans un voisinage de l’adh´erence

zž¤z~s{|z et sans z´ero ni pˆole sur^b , alors

%

:Qƒ[ ] ú n û^Qý

ú°û^oý

”_^a¤úbûPúmýé.4”ûUúmý (7.1)

o`u <sup>úwûUúmý</sup> et <sup>4”ûUúmý</sup> sont, respectivement, le nombre de z´eros et le nombre de pˆoles de <sup>ú°ûPü“ý</sup> `a

l’int´erieur de^b , compt´es avec leur multiplicit´e.

D´emonstration. La fonction ^{ú n} ûUü“ý'9‘ú°ûUüåý est m´eromorphe et poss`ede des pˆoles l`a o`u <sup>ú°ûPü“ý</sup> est soit z´ero soit infinie. `A l’aide de (4.2), on voit que

si ú°ûPü“ý\ûUüm.‡þý

Le th´eor`eme des r´esidus pour cette fonction donne l’affirmation (7.1).

Interpr´etation g´eom´etrique du principe de l’argument. Le quotient ^{ú n} ûUü“ý'9‘ú°ûUüåý est la d´eriv´ee

deµ8XûUú_ûUü“ý ý . Aussi longtemps que la valeur de^ú_ûUü“ý reste dans un domaine o`u^µ8X5 est d´efinie et

analytique, on a trouv´e une primitive de^{ú n} ûPü“ýˆ9‘ú_ûUü“ý et par cons´equent on a

]76

g=< d´enote une partie de la courbe^b . Si on veut appliquer cette formule `a la courbe

enti`ere^b , il faut interpr´eter ^µ8X> comme fonction multi-valu´ee. N´eanmoins la partie r´eelle de

µ8X> (qui est^µ2X

-

-) est le mˆeme pour^uBú°û“b û&%Æýý2ú_û“b û

ý ý (la courbe^b est ferm´ee). Ainsi

Singularit´es et fonctions m´eromorphes 65

0 2 4 6

2 4

−2

b_£

b B b H

b_‹ ?

FIG. III.8: Le principe de l’argument pour la fonction ú°ûUüåýž¶'· ûUü892“ýˆ9Sû

? Å

.0Ó-ý

] ú n û„^oý

ú°û^Qý

”…^a!µ8X ú°ûdb$û&%Æýý .›µ8X ú°û“b û

ýý [ V8W'XûPú°û“b û&%Æýý ý/.V8W'XûPú°û“b û ýý ý

7

(7.3) Ceci est un multiple entier de ^=Qƒ[ et compte le nombre de tours qu’effectue le vecteur^{ú°ûUü“ý} , quand

ü parcourt^b dans le sens positif.

Exemple. Dans la Figure III.8 sont dessin´es les vecteurs^{ú°ûPü“ý} attach´es au point ^ü pour la fonction

ú°ûPü“ýa ¶'· ûUü292‘ýˆ9Cû

? Å

.çÓý o`u ^Ú«%

7ÿ í et ^Ó}%8%

7L . Cette fonction poss`ede deux z´eros (^üü

et ^üjG=Q ) et deux pˆoles (üÃëû$·mÓ-ýˆ98 etü»Ëû$·mÓ5á=[rQ_ýˆ98 `a l’int´erieur du chemin^b . On peut

observer que l’entier (7.1) vaut pour les courbes^b_£ ,^{b B} et^b

H

, il vaut^.j% pour^b_‹ et de nouveau pour la courbe^b .

Ce th´eor`eme poss`ede d’innombrables applications, entre autres le “th´eor`eme de Rouch´e” et

une^ùÁ5s% -`eme preuve du th´eor`eme fondamental de l’alg`ebre.

Th´eor`eme 7.2 (th´eor`eme de Rouch´e) Soient ^{ú°ûUüåý} et ^{3 ûPü“ý} des fonctions m´eromorphes dans un ouvert^z et soit^b une courbe telle que le principe de l’argument peut ˆetre appliqu´e. Si

-ú°ûUüåý/.

3

ûPü“ý - -3

ûUü“ý

-pour tout ^{ü"sb S} (7.4)

alors

úbûPúmý/.@4”ûUúmý«úbû

3

ýé.4”û 3 ý 7

En particulier, quand ^{ú°ûUü“ý} et^{3 ûPü“ý} sont holomorphes, alors elles ont le mˆeme nombre de z´eros `a l’int´erieur de^b .

66 Singularit´es et fonctions m´eromorphes D´emonstration. En cons´equence de (7.4), les fonctions^ú_ûUü“ý et^{3 ûUüåý} n’ont ni z´eros ni pˆoles sur^b . Il existe alors un voisinage ^A de la courbe^b o`u le quotient ^B ûUü“ýŠ@ú°ûUüåýˆ9

3

ûUüåý est holomorphe et

tel que

-B ûPü“ý/.u%

- % pour ^ü"CA

7

Ceci implique que la fonction Log^{ûDB ûUüåýý} est bien d´efinie dans ^A et qu’elle est une primitive de

B n ûPü“ýˆ9EB ûPü“ý . Pour la courbe ferm´ee ^b on obtient donc ] B n ûUü“ý'9EB ûUü“ý|”Qü€

. L’´egalit´e ^{B n 9EB0}

ú n9‘úÊ.

3 n9 3

et le principe de l’argument permettent de conclure.

Donnons encore quelques applications typiques de ce r´esultat:

F Une d´emonstration du th´eoreme fondamental de l’alg`ebre. Soit^{º ûUüåýž}

÷

un polyn ˆome de degr´ee ^ù . Sur un cercle de rayon ^• (avec ^• suffisamment grand) on a

-º ûUü“ýR.ü

-. Le th´eor`eme de Rouch´e implique que<sup>º ûUü“ý</sup> poss`ede le mˆeme nombre de z´eros dans ^{ÿ û ý} que ^{3 ûPü“ýs}

÷

ü=÷ (c.-`a-d., exactement ^ù z´eros, compt´es avec leurs multiplicit´es).

F Continuit´e des z´eros d’un polynˆome. Soit ^{º ûPü SHG ý(}

÷ ûG ý üO÷5

7O7O7 5!

B û G ý ü`5ž A£û

G ý un

polyn ˆome `a coefficients d´ependant continˆument d’un param`etre ^G . Si ^üÖþ est une racine de^{º ûPü SHG £8ý} de multiplicit´e^> , alors pour^, et

-G . G £

-assez petits, le polyn ˆome^{º ûPü SHG ý} a^>

racines dans le disque^{ÿJI ûPþŠý} . Ceci suit du th´eor`eme de Rouch´e, car il existe un^”() tel que

-º ûUü

Un ^”ü) satisfaisant la deuxi`eme in´egalit´e existe, parce que les z´eros sont isol´es. La pre-mi`ere in´egalit´e est due `a la continuit´e des coefficients, si^G est suffisamment proche de^{G £} .

F Lemme de Hurwitz. Soit ^oú

÷

ûUü“ý

÷ Í B une suite de fonctions holomorphes dans ^z qui con-verge localement uniform´ement vers une fonction holomorphe ^{ú°ûUü“ý} (c.-`a-d., converge uni-form´ement sur chaque sous-ensemble compact de^z ). Supposons que^ú_ûUü“ý ne s’annule pas sur le bord ^{{ ÿ ûPþŠý} d’un disque. Alors, pour ^ù suffisamment grand, ^ú

÷

ûPü“ý et ^ú_ûUü“ý ont le

mˆeme nombre de z´eros dans ^{ÿ ûPþŠý} . Pour la d´emonstration de ce lemme on remarque que

-ú ÷

1. Calculer les limites suivantes dans ^K

L

(si elles existent)

M3N3O

2. Lesquelles des fonctions suivantes sont holomorphes dans un voisinage deP"ced :

P ‹ R P S V X R P

. Calculer sa projec-tion st´er´eographique Pnm `a partir du pˆole nord ^h

V V\Xol

sur le plan passant par l’´equateur. Calculer

´egalement sa projectionP%p `a partir du pˆole sud^h

V V\"Xol

. Montrer que

Pnm0q Pnprc X Y

Ceci motive l’´etude de l’infini `a l’aide de la transformationPst Xou

P .

Singularit´es et fonctions m´eromorphes 67

.0.0

FIG. III.9: Fonction ^{? BED} avec singularit´e essentielle; la valeur absolue `a gauche et les lignes de niveau avec valeurs^PRQ (^{P TSOU % SOU S}

, d´emontrer par un calcul direct que pour tout^xyzKLw{>|

o}

5. La fonction

vh

est holomorphe dans ^K

Lƒ{,|

V\"XoV\

}

. Calculer les trois d´eveloppements de Laurent: pour

"„†…

6. Les fonctions suivantes poss`edent une singularit´e au point<sup>‰</sup> c . D´ecider s’il s’agit d’une singularit´e supprimable, d’un pˆole (quel ordre) o`u d’une singularit´e essentielle:

SŠR

:F , d´emontrer que les lignes de niveau de

… lemniscates (voir la Fig. III.4).

Rappel. La c´el`ebre “lemniscate” de Jac. Bernoulli est d´efinie par ^{hj’ H R”“ H}

l H

c‡•

H hj’ H “ H l

(voir [HW, p. 314, 315 et 329).

8. Pour chacune des fonctions suivantes d´eterminer les pˆoles et les r´esidus en ces pˆoles:

P R X

9. En utilisant le th´eor`eme des r´esidus calculer l’int´egrale

] Ž R Ž @

P ‹ — P

o`u^˜ parcourt le bord du carr´e de sommets^™

™

š

dans le sens positif.

10. Calculer l’int´egrale

‘

@ ‘ — ’

’ I R ’ H R X Y

11. D´emontrer que pour des entiers^›

V)œ

Indication. Consid´erer le chemin de la figure.

68 Singularit´es et fonctions m´eromorphes 12. Soit^¡¢h P l

un polynˆome de degr´ee

œ”£¤

. D´emontrer que la somme des r´esidus de la fonction

Xou

¡¢h

P l

est z´ero.

13. Par la m´ethode des r´esidus, montrer que

‘

14. Calculer l’int´egrale

‘

Indication. Utiliser les mˆemes id´ees que pour l’int´egrale du type (5) dans le paragraphe III.5.

15. D´emontrer que

‘

£ M ‘ ’

X R ’ H — ’ c Y

Indication. Prendre un chemin comme dans l’int´egrale du type (5) dans le paragraphe III.5 et une d´etermination du logarithme qui est une fonction holomorphe dans ^K

L

priv´e de la demi-droite d’argument

>uo

. 16. V´erifier la formule

‘

17. Calculer les int´egrales suivantes

‘

18. En applicant le th´eor`eme de Mittag-Leffler d´emontrer la formule

`abP"c

En d´eduire que

X

19. D´emontrer que toutes les racines du polynˆome ^vh P l cP«

‹ P ‹ R

Xo

sont situ´ees entre les cercles

…P … c X

et

…P … c

.

Indication. Appliquer le th´eor`eme de Rouch´e avec^¬¢h P l c Xo

sur le petit cercle et avec^¬¢h P l c‡P^«

sur le grand cercle.

20. Soit^vh P l

holomorphe sur le disque unit´e^­¯®c € B h l

et continue sur l’adh´erence^­ et supposons que

° h ­ l±

­ . D´emontrer alors (`a l’aide du th´eor`eme du Rouch´e) que^vh P l

c²P poss`ede exactement une solutionP

y­ .

21. Soit^vh P l

une fonction holomorphe et supposons que le bord de l’ensemble

³ c | P

soit param´etr´e par un chemin^˜·h¥

l

au sens positif. Rappelons que•ƒcº¹^¸

˜»h

¥ l

est le vecteur tangent `a cette courbe et ^¸

œ c -š

¹

˜·h

¥ l

le vecteur normal orient´e vers l’ext´erieur.

a) Expliquer pourquoi on a ^{¼ M}

 ‘ …

vh

P l …u

¼¸

œw½

dans cette situation;

b) En utilisant les ´equations de Cauchy–Riemann pour^M

 ‘ c) Montrer que a%‘

vh

P l

est strictement d´ecroissant lelong de^˜ (d´eriver^vhj˜·h¥

l'l

Ce r´esultat est illustr´e dans la Fig. III.10 pour la fonction

vh

Singularit´es et fonctions m´eromorphes 69

žû$m.

Â

‘ý'9

J

=ûŠ5

Â

‘ýˆ9

J

FIG. III.10: L’ensemble Â0²oü("}

/Ã

-ú°ûPü“ý

-)Ä%

pour la fonction^ú_ûUü“ý de (8.1).

22. Dans la Fig. III.10¹sont dessin´es les vecteurs^vh P l

attach´es au pointP_c

˜»h

¥ l

sur la courbe qui d´ecrit le bord de l’ensemble ^³ c | P

yÄK L”µ

…

vh

P l … ~ X }

(pour la fonction ^vh P l

de (8.1)). Uniquement en regardant cette figure, d´ecider combien de z´eros ou pˆoles sont dans chacune des composantes connexes born´ees de

³

et de

³

.

23. En utilisant le th´eor`eme de Rouch´e, d´emontrer le r´esultat suivant qu’on appelle aussi le “lemme de Zarantonello”: soit

…‰ … ~  

et soit^¡¢h P l

un polynˆome de degr´e^¨ satisfaisant^¡+h'‰

l c X

. Alors, on a

O

a[

Ì Ì‡ …

¡¢h

P l … £  

…‰ … Y

Indication. Comparer la fonction^vh P l c h P u ‰ l ‚

¡+h

P l

avec^¬¢h P l c h P u ‰ l ‚

.

1Cette figure est prise du livre “Solving Ordinary Differential Equations II” de Hairer & Wanner.

70 Singularit´es et fonctions m´eromorphes

Chapitre IV

S´eries de Fourier

La th´eorie de ce chapitre nous permet de mieux comprendre toute sorte de ph´enom`enes p´erio-diques. Elle a son origine au 18`eme si`ecle dans l’interpolation de fonctions p´eriodiques en as-tronomie, dans l’´etude de la cordre vibrante et du son avant d’entrer en force en sciences grˆace `a la Th´eorie de la Chaleur de Fourier (1822), voir le chapitre V.

Comme exemple, consid´erons la digitalisation d’un son (Fig. IV.1). On a enregistr´e ^{8 88} im-pulsions par seconde, dont^{% 8L} sont dessin´ees (ceci correspond `a ^{% 8LT9R8ÆÅ!L J}

7í millisecondes).

Il n’y a pas de doute que ces donn´ees repr´esentent un ph´enom`ene p´eriodique. On est souvent int´eress´e par l’´etude du spectre d’un tel signal, par les fr´equences dominantes, par la suppression d’un bruit de fond ´eventuel, etc.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

FIG. IV.1: Digitalisation du son “o” prononc´e par Martin

A part la r´esolution de certaines ´equations aux d´eriv´ees partielles, on utilise aujourd’hui des s´eries de Fourier (sa version discr`ete FFT, voir le cours “Analyse Num´erique”; un des “Top 10 Algorithms of the 20th Century”) et des modifications (ondelettes ou “wavelets”) dans beaucoup d’applications en informatique (compression de sons, compression d’image, JPEG).

Dans le document Analyse Complexe (Page 70-77)