Fonctions continues, Th´eor`eme de Fej´er

èå

åæoé9$

åæ

å

f

f

g

h h

o`u <sup>èå5é</sup> est la fonction du cas particulier. Supposons que les sommes partielles de la s´erie de Fourier associ´ee `a la fonction^{e èå5é} convergent uniform´ement vers cette fonction dans un voisinage de^åæ . Nous avons donc que, proche de^åæ , les fonctions ^{ïð»è3å5é} associ´ees `a^ç-è3å5é satisfont

ïðñèå5é

î e èå5é*-dï·ú òi* XZ å *>C¶è3ò

1 : é[

Ceci explique l’erreur proche de la discontinuit´e dans le^ê i`eme et le<sup>ë</sup> i`eme dessin de la figure IV.3.

IV.6 Fonctions continues, Th´eor`eme de Fej´er

“Fej´er avait l’habitude de travailler couch´e sur le dos par terre, et en regardant le plafond. Sa femme de m´enage s’en est ´etonn´ee, et pensait d’abord qu’il ´etait malade. Lorsque Fej´er l’a rassur´e qu’il ´etait en bonne sant´e, elle a explos´e : Monsieur le Professeur ! Vous allez donner quelques heures `a l’universit´e, puis vous rentrez et vous vous couchez par terre. Mais enfin, quand travaillez-vous ?”

(Sain M´arton, A matematikat¨ort´eneti ABC, trad. et comm. par E. Bayer) Un des grands myst`eres du 19e si`ecle a ´et´e de savoir si, pour chaque fonction continue, la s´erie de Fourier converge vers^ç . Malgr´e les d´efauts de la preuve de Cauchy (1826) pour ce r´esultat, il a ´et´e g´en´eralement accept´e (par Dirichlet et Riemann). Un contre-exemple de du Bois-Reymond (1873) a mis fin `a cet espoir et, vers la fin du 19e si`ecle, le seul r´esultat rigoureusement ´etabli concernant la convergence des ces s´eries a ´et´e la preuve de Dirichlet de 1829, suivie de quelques variantes (Dini, Jordan).

Dans cette situation morose, une sensation ´eclate: un jeune Hongrois de 20 ans publie dans les Comptes Rendus de 1900 (p. 984) sur 4 pages la preuve que, pour chaque fonction continue p´eriodique, les sommes de Ces`aro convergent uniform´ement vers <sup>ç</sup> . Fej´er est un des principaux architectes d’une ´ecole math´ematique hongroise de tout premier ordre (Lanczos, Erd¨os, Erd´elyi, F. et M. Riesz, Tur´an, P´olya, Szeg¨o, J. von Neumann, Kalm´ar, K`arm`an, Halmos, Haar, Wigner).

Sommes de Ces`aro. Dans les ann´ees 1890, de nombreux chercheurs (Stieltjes, Ces`aro, Poincar´e et E. Borel) ont tent´e de “dompter” des s´eries irr´eguli`eres en th´eorie des nombres ou des s´eries divergentes par des processus de “lissage” ou “sommation”. La m´ethode la plus simple est celle de Ces`aro (voir aussi Cauchy 1821, p. 59): on remplace une suite^,\æ2$j,

:

$k,

<

$j,ml$jjj par

ð î

,\æ&*-,

:

*>,

<

*>jjn*>,7ð

1 :

ò (6.1)

Un exercice “must” pour tout cours de premi`ere ann´ee (voir [HW, p. 187]) : si la suite des <sup>,7ð</sup> converge, alors la suite des <sup>ð</sup> converge aussi et vers la mˆeme limite. Mais cette derni`ere peut converger, mˆeme si la premi`ere ne converge pas. Par exemple, ^{o,7ðp î o}

$`$

$k($

$k$kjjqp .

Si l’on applique cette id´ee `a la suite de sommes partielles ^{ïð»è3å5é} de (3.1), on aura la formule

ðñèå5é

î

ò ð 1 : r[s

æ ï r èå5é

î

ò ð 1 : rQs

æ tut#v r ?

uxwmy

u ü î tut{z

DE|}D

ò ?

uxwmy

u ü (6.2)

84 S´eries de Fourier

En exprimant les sommes partielles ^{ïð»è3å5é} `a l’aide du noyeau de Dirichlet <sup>/Æð»èO,oé</sup> de (4.2), on obtient pour la somme partielle de Ces`aro

o`u le noyeau de Fej´er^{€»ðñè0,oé} est donn´e par

€ñð»èO,ˆé

La d´efinition (6.4) ensemble avec la formule (4.2) pour^{/ r è0,oé} donnent (6.5).

Lemme 6.2 (Suite de Dirac) Les noyaux de Fej´er forment une suite de Dirac, c.-`a-d., ils satisfont

€»ð»è0,oé&‹$

D´emonstration. L’affirmation (6.6) est une cons´equence imm´ediate de (6.5), de (6.4) et du fait que ⁾

1() / r

è0,oé

, î

. Pour d´emontrer (6.7), fixons^Œ›N et^{û ‹œB} arbitraire. On peut donc trouver un^“ tel que pour^òJ‹“ et pour ^{ž=ŸDE,D= û} l’estimation €»ðñè0,oé = :

< ) ð vraie. Ceci d´emontre (6.7). Notons qu’on a aussi

S´eries de Fourier 85 Th´eor`eme 6.3 (Fej´er 1900) a) Pour chaque fonction<sup>ê û</sup> -p´eriodique et continue sur<sup>§¨</sup> , les sommes de Ces`aro de la s´erie de Fourier convergent uniform´ement vers ^çèå5é .

b) Au cas o`u ^ç-è3å5é est continue par morceaux¹, la convergence vers ^çèå5é est uniforme dans chaque intervalle ferm´e sans point de discontinuit´e, et on a que

© en chaque point^åæ de discontinuit´e.

D´emonstration. a) La preuve est similaire `a la preuve de Landau du “Th´eor`eme d’Approximation de Weierstrass” ([HW, p. 265]). Nous d´ecomposons la diff´erence entre ^ðñèå5é et ^ç-è3å5é en trois parties (d’abord on restreint l’int´egrale sur ^èå ¯$nå°*>é , puis on remplace^{ç-è é} par^çèå5é ):

D’apr`es des th´eor`emes d’Analyse I ([HW], p. 207 et 219), ^{ç-è é} est born´ee et uniform´ement con-tinue sur l’intervalle compact ^{!#$ê û '}.

Nous commenc¸ons par choisir un^{Œ´^} arbitraire. Puis, nous avons un ^{+^} pour satisfaire

D9çè

 é

ç-è3å5é2DxµŒ uniform´ement en^å si ^{D± åFD¶} . Ensuite, nous prenons^ò suffisamment grand

pour satisfaire (6.7) et donc aussi (6.8). Ainsi nous avons

Dèè

éQ¹ pour tout^{å"!#$ê û '} et la convergence uniforme est ´etablie.

b) Supposons que ^ç-èå5é est seulement continue par morceaux. Comme dans la d´emonstration du Lemme 4.1, formule (4.3), nous avons

La d´emonstration est maintenant similaire `a celle du Th´eor`eme 4.2, mais beaucoup plus simple.

Nous consid´erons

born´ee et le noyau de Fej´er satisfait (6.7).

1Une fonction ¿ŽÀÂÁ{ÃjĘÅOÆÈÇÉEÊ est continue par morceaux s’il existe un partage Þ˾Ì(Í®ÎiÌÐÏ&ÎJÑÒјÑÎi̶ӎ˚Å

tel que^¿ÕÔqÌ9Ö est continue sur chaque intervalle ouvert Ôq̶×QÄØ̶×ÙÈÏQÖ et `a chaque point de discontinuit´e la limite `a droite

¿ÕÔq̶×mÚŠÖ et la limite `a gauche¿ÕÔÛÌ×QÜ&Ö existent.

86 S´eries de Fourier

Contre-Exemple de Fej´er

(fonction continue avec s´erie de Fourier divergente)

Neuf ans apr`es son premier coup d’´eclat, Fej´er trouve une deuxi`eme “trivialit´as´av´a” pour faire un pied de nez aux grands maˆıtres du 19e si`ecle : son exemple d’une fonction continue pour laquelle la s´erie de Fourier diverge en un point (Crelle J. 137, 1909, p. 1–5; Ges. Arbeiten I, p. 538). Au-paravant, un premier exemple, tr`es compliqu´e, est dˆu `a P. du Bois-Reymond (1873), un deuxi`eme, d´ej`a plus simple, `a H.A. Schwarz, un troisi`eme `a Lebesgue (Lec¸ons, p. 84–88). Mais seulement Fej´er apporte une simplicit´e qui le rend appropri´e, comme il dit, “f¨ur Vorlesungszwecke”.

−1 0 1 2 3 4

Motivation. Consid´erons la fonction^{e èå5é î ýþÿ “ å} sur ^{!#$ û '} et prolongeons la en une fonction paire. Sa s´erie de Fourier va ˆetre une “s´erie cosinus” (voir Fig. IV.11) avec coefficients (utiliser la formule ^{ê ýþÿ®ƒ ‡kˆ ý(… î ýþÿ èƒ * … é* ýþÿ è ƒ … é} )

On voit que les^{d u} non-nuls sont positifs pour ^|+N“ et n´egatifs pour^|+N“ . La somme partielle

ïðñèOEé

î ðu s æ d u est alors maximale pour^{ò î “} (une sorte de r´esonance), ensuite elle d´ecroˆıt de mani`ere monotone vers z´ero, comme il se doit car<sup>e èOgé î</sup> . On a<sup>ïð»è¸EéF‹Þ</sup> pour tout<sup>ò</sup> et on peut minorer la valeur maximale<sup>ïÐßZèOgé</sup> `a l’aide de l’aire d’une hyperbole :

ïÐß èOgé

Le contre-exemple. On consid`ere donc (Fig. IV.12) la fonction paire qui sur ^{!#$ û '} est donn´ee par

ç-è3å5é Le d´enominateur^æ

<

assure la convergence uniforme, et donc la continuit´e de ^ç-èå5é . Les sommes partielles^ïðñèOEé de cette fonction ont une “r´esonance” vers^{ò î ê å}

¥ $ æ î

$ê$jkj, dont la hauteur

d´epassera

FIG. IV.12: Exemple de Fej´er

S´eries de Fourier 87 Remarques. Une fois un exemple^çèå5é trouv´e, pour lequel la s´erie de Fourier diverge en un point, on peut, `a l’aide de translations et superpositions, fabriquer un exemple pour lequel la s´erie diverge en un nombre d´enombrable de points.

La fonction (6.13) de la Fig. IV.12 n’est certainement pas `a variation born´ee. Cela peut aider

`a comprendre pourquoi le concept de variation born´ee a tellement facilit´e les preuves des para-graphes pr´ec´edents.

La th´eorie de convergence des s´eries de Fourier pour fonctions continues a trouv´e dans les ann´ees 60 une certaine maturit´e, grˆace `a un th´eor`eme de Kahane et Katznelson (pour chaque en-semble^é de mesure nulle il existe une fonction continue tel que^ïð diverge sur^é ), et un th´eor`eme r´eciproque de Carleson (pour chaque fonction continue p´eriodique les^ïð convergent vers ^ç sauf sur un ´eventuel ensemble de mesure nulle).

Exemple 6.4 Pour quatre fonctions de l’Exemple 1.2 nous montrons dans la Fig. IV.13 (`a com-parer avec la Fig. IV.3) quelques approximations par des sommes partielles de Ces`aro ^{ðÈêìë}í} . Nous observons que les oscillations proches des discontinuit´es (phenom`ene de Gibbs) ont disparu.

0 1 2 3 4 5 6 7

−1 1 2

n = 24 n = 24

−2 0 2 4

−1 1

n = 12 n = 12 ππ

0 2 4

−1 1

n = 12 n = 12

0 1 2 3

1

n = 12 n = 12

FIG. IV.13: Approximation par des sommes de Ces`aro

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