Pourquoi un tel decoupage ? Tout d'abord, l'ensemble P E peut ^etre constitue par 3 types
3.4 Proprietes de deduction
3.4.1 Les proprietes de Kraus, Lehmann et Magidor et leur semantique
3.4.1.2 Le systeme CL
En rajoutant des proprietes au systeme C, on obtient le systeme CL(systeme C avec boucles - \loop" en anglais) :
De nition 3.4.12
Le systeme CL est b^ati a partir du systeme C et de la propriete de la boucle :0j 1 ; 1j 2 ;::: ; k 1j k ; kj 0
0j k
Ce systeme de nit une relation de consequence notee : jcl.
A partir de la propriete ci-dessus, on peut en deduire une autre appelee propriete numero 15 de Kraus, Lehmann, Magidor:
0j 1 ; 1j 2 ;::: ; k 1j k ; kj 0
ij j;8i;j = 0;:::;k
La semantique associee a ce nouveau systeme CL est identique a celle decrite pour le systeme C, en utilisant cette fois desmodeles cumulatifs ordonnes(voir exemple gure 3.2 page suivante).
De nition 3.4.13
Un modele cumulatif ordonne est un modele cumulatif pour lequel la relationLa transitivité de l’ordre < n’apparaît pas sur le schéma pour éviter les surcharges.
ej ej
: ei<ej ej : état j
mi : monde i
mi : l(ej) = {les mi}
mk ml ei Légende : e0 e1 e2 e3 e4 m3 m6 m1 m2 m5 m4 m0 m7
Figure 3.2 : Exemple d'un modele cumulatif ordonne
Comme dans le cas cumulatif, Kraus, Lehmann, Magidor obtiennent alors le theoreme de repre- sentation 3.4.2.
Theoreme de representation 3.4.2
Pour toute relation jcl, il existe un modele cumulatif or-donne de nissant une relationj=cl et veri ant : etant donnees et deux formules quelconques
du langage L, jcl, j=cl
3.4.1.3 Le systeme P
De la m^eme facon, Kraus, Lehmann et Magidor ont de ni lesysteme P(P pour preference) :
De nition 3.4.14
Le systeme P est b^ati a partir du systeme C et de la propriete du OU :j ; j
_ j
Ce systeme de nit une relation de consequence notee : jp.
Il est plus puissant que le systeme CL et surtout il permet de traiter les disjonctions de formules. On dira alors qu'une relation de consequence respectant le systeme P est unerelation de consequence preferentielle. A partir de la propriete ci-dessus et de certaines des proprietes du systeme C, on peut en deduire de nouvelles proprietes :
propriete S(appelee conditionnalisationdans [GM94]) : ^ j
j !
propriete D: ^: j ; ^ j
j
propriete numero 19 de Kraus, Lehmann, Magidor : j ; j
La transitivité de l’ordre < n’apparaît pas sur le schéma pour éviter les surcharges.
ej ej
: ei<ej ej : état j
mi : monde i
mi : l(ej) = {les mi}
mk ml ei Légende : e1 e2 e0 e3 e4 e6 e5 m1 m5 m3 m4 m0 m2 m6
Figure 3.3 : Exemple d'un modele preferentiel
propriete numero 20 de Kraus, Lehmann, Magidor : _ j ; j
j !
propriete numero 21 de Kraus, Lehmann, Magidor : _ j ; _ j
_ j
propriete numero 22 de Kraus, Lehmann, Magidor : _ j ; _ j
j !
La semantique de ce systeme repose sur desmodeles preferentiels(voir exemple gure 3.3).
De nition 3.4.15
Un modele preferentiel est un modele cumulatif ordonne dans lequel la fonctionlfait pointer chaque etat vers un monde unique (et non plus vers un ensemble de mondes). Il de nit une relation de consequence notee :j=p.
Kraus, Lehmann, Magidor obtiennent alors le theoreme de representation 3.4.3.
Theoreme de representation 3.4.3
Pour toute relation jp, il existe un modele preferentielde nissant une relation j=p et veri ant : etant donnees et deux formules quelconques du
langage L, jp, j=p
P peut-il ^etre considere comme un systeme convenable pour faire du raisonnement non-monotone ? Il semblerait que l'on ne puisse ajouter aucune autre regle de type deductif (permettant de deduire de nouvelles assertions). On peut par contre rajouter des regles d'un autre type, celles qui deduisent de l'absence d'une assertion l'absence d'une autre assertion :
propriete de la rationalite de la negation: ^ j6 ; ^: j6
j6
propriete de la rationalite disjonctive : j6 ; j6
propriete de la monotonie rationnelle: ^ j6 ; j6:
j6
Cette propriete de la monotonie rationnelle est presentee aussi par Gardenfors et Makinson dans [Gar91, GM94] mais sous une autre forme.
L'utilisation de la monotonie rationnelle etait initialement destinee a resoudre le probleme de non- pertinence qui apparaissait dans le systeme P : si une formule est une consequence non-monotone de la formule et si la formule n'a \rien a voir" avec (par exemple, parce que ne gure pas dans la base), alors on voudrait que soit une consequence non-monotone de ^ . L'exemple
suivant, emprunte a [Ben94] illustre bien ce probleme :
soit la base E = fO!V;P !O;P !(:V )gavec O = oiseau, P = pingouin, V =
vole ; posons R = rouge, si on sait que OjV , on voudrait alors que (O^R)jV , ce
qui n'est pas le cas.
Lehmann et Magidor ont donc poursuivi leurs investigations sur les relations d'inference preferen- tielle en de nissant la notion de relation d'inference rationnelle(voir [LM92]). Remarquons que Gardenfors et Makinson dans [GM94] ont introduit un type semblable de relation d'inference, qui utilise lui-aussi la notion de monotonie rationnelle (voir de nition 3.4.22 page 68 et theoreme 3.4.9 page 70).
De nition 3.4.16
Une relation d'inference rationnelle est une relation veri ant les proprietes dusysteme P et la propriete de monotonie rationnelle. Ce systeme, appele systeme R, de nit une relation de consequence notee : jr.
La semantique correspondante s'appuie sur la notion demodele range(voir exemple gure 3.4 page suivante). Ces modeles sont des modeles preferentiels particuliers.
De nition 3.4.17
Un modele preferentiel (S;l;<) est appele modele range ssi la relation< estde nie de la maniere suivante : il existe un ensemble totalement ordonne (represente par la relation<) et une fonction Rde S dans telle que :8(s;t)un couple d'etats de S, s < t ssi
R(s) <R(t). Il de nit une relation de consequence notee :j=r.
L'ordre sur etant total, on a une notion d'equivalence entre etats de m^eme rang, ce qui n'existe pas dans les types de modeles presentes jusqu'alors. Lehmann et Magidor obtiennent alors le theoreme de representation 3.4.4.
Theoreme de representation 3.4.4
Pour toute relation jr, il existe un modele range de nis-sant une relationj=r et veri ant : etant donnees etdeux formules quelconques du langageL,
jr , j=r
Or, quand on calcule l'ensemble des formules issu d'une relation d'inference rationnelle pour un ensemble des formules initial donne, on constate que cet ensemble n'est pas unique. Lehmann et Magidor resolvent ce probleme en proposant un mode de selection d'un ensemble particulier, qu'ils appellent lafermeture rationnelle. La construction de cet ensemble se fait a l'aide d'une fonction qui associe a chaque formule du langage un nombre entier positif symbolisant l'\exceptionnalite" de la formule. La base de croyances est ainsi strati ee (voir l'algorithme de de nition de cette fonction dans [LM92]).
La semantique de cette relation d'inference rationnelle particuliere repose alors sur un modele range particulier dont la de nition est donnee dans [LM92].
En fait, cette propriete se revelera insusante pour resoudre la totalite du probleme de non- pertinence (voir [Ben94] et la section 4.4.4 page 182 de ce document).
La transitivité de l’ordre < n’apparaît pas sur le schéma pour éviter les surcharges.
ej ej
: ei<ej ej : état j
mi : monde i
mi : l(ej) = {les mi}
mk ml
ei
Légende :
rang x : numéro de rang dans l’ordre total correspondant à <
e1 e2 e0 e3 e4 e6 e5 Rang 2 Rang 3 Rang 0 Rang 1 m1 m5 m3 m4 m0 m2 m6
ej ej
: ei<ej ej : état j
mi : monde i
mi : l(ej) = {les mi}
mk ml ei Légende : e0 e1 m6 m1 m2 m5
Figure 3.5 : Exemple d'un modele simplement cumulatif