4.1 Complexite
4.1.1 Champ de l'etude de complexite
J'ai choisi d'etudier ici la complexite des 21 relations d'inference (E;<)jp;mH de la classe 1 avec
les notations suivantes :
E = la base initiale (ensemble de formules propositionnelles) supposee nie, < = ordre entre les formules de E,
p = principe d'inference,
m = mecanisme de de nition de sous-ensembles consistants de E avec un ordre entre ces sous-ensembles induit de <,
H = formule de la logique propositionnelle.
Rappelons, qu'en fait, les 12 autres relations d'inference ( jp;mE;<) de la classe 2 vont elles aussi
^etre traitees par cette etude (voir sections 2.6.6 page 46 et 4.1.4 page 144).
Pourquoi se limiter au cas de la logique propositionnelle ? Tout simplement parce que le mecanisme d'inference classique auquel on va se ramener, qui est decidable en logique des propositions, est indecidable en logique du premier ordre. Ce qui signi e qu'il n'existe pas d'algorithme pouvant resoudre le probleme dans le cas du premier ordre sur toutes ses instances. Or les calculs de complexite s'appuient sur l'existence de tels algorithmes de resolution.
Je traiterai d'abord le cas general ou (E;<) est un ensemble pre-ordonne de formules proposition- nelles quelconques et ou H est une formule propositionnelle quelconque.
Nous verrons dans la section 4.1.3 page 110 quatre cas particuliers pour (E;<) et H (une formule par strate, la forme conjonctive normale,les conjonctions de clauses de Horn, une formule par strate avec des conjonctions de clauses de Horn) qui, pour deux d'entre eux, reduisent considerablement la complexite des problemes poses.
Notons que l'etude de complexite porte sur des problemes et non sur des relations. Les problemes que j'etudie sont donc les suivants :
De nition 4.1.1
Soient une base ordonnee (E;<), une formule H, un mecanisme de selectionCes problemes seront notes p-m, c'est-a-dire de la m^eme facon que les classes de relations d'infe- rence associees. Ce choix de notation est destine a faciliter la lecture de ce document en evitant la multiplication des sigles.
Remarques importantes :
Dans toute cette section, ainsi que dans la section 4.1.3 page 110, j'utiliserai sans les rap- peler divers theoremes et de nitions de la theorie de la complexite qui sont repertories dans l'annexe A page 2351.
D'autre part, les demonstrations donnees dans cette section pourront para^tre repetitives, voire redondantes. En e et, la methode suivie est toujours la m^eme quel que soit le probleme traite ; elle consiste en deux etapes :
premierement, exhiber un algorithme permettant de resoudre ce probleme ; on obtient ainsi une borne superieure pour la complexite du dit-probleme (on parle de preuve d'appartenance a une classe de complexite) ;
deuxiemement, aner le resultat obtenu precedemment soit en trouvant une borne inferieure (par preuve de completude), soit en prouvant l'impossibilite d'appartenance a des sous-classes de la classe de complexite concernee ; dans tous les cas, cela revient a trouver une transformation polynomiale permettant de passer d'un probleme \connu" (au sens de la complexite) au probleme etudie.
De plus, les problemes traites ont de nombreux points communs, ce qui permet d'utiliser souvent le m^eme type d'algorithmes pour la preuve d'appartenance ou les m^emes problemes pour les preuves de completude. Ainsi, il n'est pas surprenant de constater que certaines preuves sont presque identiques a d'autres. On pourrait ^etre tente de \factoriser" ces de- monstrations s'il n'y avait justement ce \presque" qui represente les speci cites de chaque probleme et impose par la-m^eme la multiplication des demonstrations. Aux lecteurs presses, je conseillerai donc de passer directement a la section 4.1.4 page 144 dans laquelle je recapi- tule tous les resultats de complexite obtenus. Quant a ceux interesses par les preuves, voici quelques ls d'Ariane pour les guider dans le labyrinthe des demonstrations :
les preuves pour les problemesExi-m, qui sont tous de m^eme complexite (par exemple p2-complets dans le cas general), sontpresquetoutes identiques (algorithmes tres res-
semblants, utilisation du m^eme probleme pour la partie completude) ;
les preuves pour les problemesArg-m, qui sont tous de m^eme complexite (par exemple,
dans le cas general, p3 - (p2[
p
2), si p2 6=
p
2), sont presque toutes identiques (al-
gorithmes tres ressemblants, pas de preuve de completude mais utilisation des m^emes problemes pour aner la borne superieure de complexite) ;
le cas des Uni-m est un peu plus complexe car certains appartiennent a une classe de
complexite et d'autres a une autre classe ; on a donc deux techniques distinctes : les problemes Uni-m qui sont p2-complets sont traites a partir de leurs co-
problemes (qui sont p2-complets) de la m^eme facon que lesExi-m ;
les autres sont autant de cas particuliers a traiter ; en particulier ceux faisant intervenir la notion de cardinalite qui induisent un phenomene de \masquage" constituant le cur des demonstrations de complexite de ces problemes ; de m^eme, le cas de Uni-S est tout a fait special, puisqu'on constate que ce probleme est equivalent a l'inference classique et qu'il n'apporte donc rien dans le cadre d'un raisonnement non-monotone ;
1Aux lecteurs interesses par le contenu des preuves, je conseille une lecture rapide de l'annexe citee, dans laquelle
se trouvent les theoremes et de nitions utilises, mais surtout les demonstrations de la complexite de quelques processus de revision de croyances. Ce sont les mecanismes mis en uvre dans ces demonstrations qui m'ont largement inspiree pour la suite.
on cherche a exploiter au maximum les cas particuliers pour traiter les cas generaux2 ;
c'est par exemple les cas entre les mecanismesTetIncl, ou entre CaretLex ;
de m^eme, on utilise au mieux les liens, les equivalences entre certains problemes (par exemple, ceux induits par les mecanismesTet S, ou ceux issus deIncletE).
Tous les resultats de cette section ont fait l'objet de publications (voir [CLS93, LS94, CLS94b]).