Pourquoi un tel decoupage ? Tout d'abord, l'ensemble P E peut ^etre constitue par 3 types
3.4 Proprietes de deduction
3.4.2 Les proprietes de Gardenfors et Makinson et leur semantique
Gardenfors et Makinson ont explore les di erentes voies dans lesquelles le concept d'\expectation" peut ^etre utilise pour faire un raisonnement non-monotone (voir [GM94]). L'idee est que, lors d'un raisonnement, on utilise des informations dans lesquelles on croit fermement mais aussi des informations attendues ou esperees (ce que l'on nomme en anglais :\expectations"). Un tel concept peut prendre plusieurs formes : lesensembles d'\expectations", et lesordres d'\expectations". D'un c^ote, les \expectations" peuvent donc ^etre considerees comme des propositions exprimees avec le m^eme langage que les croyances certaines. Ainsi on peut parler d'ensembles d'\expectations" et utiliser ces ensembles pour de nir une nouvelle relation d'inference non-monotone : j ssi est
implique logiquement par avec les ensembles d'\expectations" (le plus possible d'\expectations" qui soient consistantes avec ). De l'autre c^ote, les \expectations" peuvent ^etre considerees comme un ordre entre des propositions, en particulier celles en lesquelles on ne croit pas fermement : j ssi est implique logiquement par avec toutes les propositions qui sont susamment bien
attendues a la lumiere de . Le probleme technique est bien-s^ur de savoir de nir le \susamment bien attendues". Ces 2 idees sont liees et reviennent a peu-pres au m^eme (voir l'etude presentee en section 2.2.5 page 24).
Remarquons avant toute chose que Gardenfors et Makinson se placent systematiquement dans une optique de revision, ce qui signi e que leur ensemble de depart est en general consistant et que c'est l'ajout d'une nouvelle croyance qui amene l'inconsistance.
Gardenfors et Makinson se basent sur les hypotheses suivantes. Le langage utilise L est propo- sitionnel et ferme pour les 4 connecteurs logiques. Il n'y aura aucun rajout de regle par defaut, d'operateur modal, etc. Toutes les \expectations" seront exprimees avec L. Le langage ainsi utilise est suppose compact, comme chez Kraus, Lehmann et Magidor.
3.4.2.1 Les proprietes de Gardenfors et Makinson
Gardenfors et Makinson proposent les proprietes suivantes.
De nition 3.4.20
Une relation j est une relation d'inference non-monotone ssi elle possede les4 proprietes suivantes :
la supra-classicite : `
j
,
l'equivalence logique gauche : j= $ ; j
j
,
l'a aiblissement droit (\right weakening") : j= ! ; j
j , le ET : j ; j j ^ . Remarques :
La supra-classicite implique la propriete de re exivite.
L'a aiblissement droit avec le ET et la compacite de`impliquent lapropriete de fermeture:
j i pour tout i2B ;B`
j
.
De nition 3.4.21
On appelle ensemble des postulats de base l'ensemble suivant de proprietes :la conditionnalisation faible : j j !
,
la monotonie rationnelle faible : j6: ;j !
j
, la preservation de la consistance : j?
`?
(avec?representant la contradiction).
De nition 3.4.22
On appelle ensemble etendu des postulats l'ensemble suivant de proprietes :les postulats de base,
la cumulativite : j ; ` j , j , le OU : j ; j _ j , la monotonie rationnelle : j ; j6: ^ j . Remarques :
La rationalite disjonctive est une consequence de l'ensemble etendu de postulats.
La cumulativite, avec les postulats de base, est equivalente a la coupure plus la monotonie prudente (voir la propriete 4.3.1 page 170 explicitant le lien entre toutes ces proprietes). La cumulativite, avec les postulats de base, est equivalente a lareciprocite:
j ; j
j , j
Le OU, avec les postulats de base, est equivalent a laconditionnalisation(appelee propriete
S dans [KLM90]) :
^ j
j !
La monotonie rationnelle s'exprime ici de maniere di erente mais elle est equivalente a celle de Kraus, Lehmann, Magidor.
3.4.2.2 Le cas des ensembles d'\expectations"
Notons un ensemble de formules de L jouant le r^ole d'un ensemble d'\expectations"11, et
rappelons les de nitions suivantes donnees dans [Gar91, GM94] :
De nition 3.4.23
Un ensemble D est un sous-ensemble maximal de qui ne peut impliquerlogiquement ssi : 1. D,
2. 62Cn(D),
3. 2Cn(D
0)pour toutD0 tel queD D
0 .
L'ensemble de tous les sous-ensembles maximaux de ne pouvant impliquer est note? .
Pour veri er si j , on utilise ?: . Toutefois, il subsiste un probleme important : en general
l'ensemble ?: n'est pas un singleton. Comment choisir entre tous les ensembles maximaux ?
Pour cela, on rajoute une fonction de selection S qui depend de . Cette fonction prend en
argument l'ensemble de tous les ensembles maximaux et elle renvoie les ensembles preferes. Remarquons que ?: est l'ensemble des sous-ensembles maximaux -consistants de .
De nition 3.4.24
Une operation d'inference \expectative" C;S est de nie pour tout 2L parl'equation12 :
C;S( ) = \fCn(f g[ D) tel que D 2 S(?: )g avec un ensemble non vide
d'\expectations" et S une fonction de selection ;
C;S est dite fermee quand = Cn();
C;S est dite generee avec consistance quand est consistant.
On de nit donc j;S par 2C;S( ) (c'est-a-dire est implique logiquement par toutes les
unions de avec un sous-ensemble de maximal -consistant prefere). Remarques :
L'approche par ensembles d'\expectations" est une approche prudente, donc correspond a ce que j'appelle le principe Uni.
Dans le cas ou est ferme pour la deduction ( = Cn()), pour tout et pour tout
D2S(?: ) les ensembles Cn(f g[D) peuvent ^etre vus comme des mondes dans lesquels
est vrai. On rejoint ainsi la terminologie de Shoham et ses modeles preferes (voir [Sho87]). Gardenfors et Makinson obtiennent alors le theoreme de representation 3.4.7.
Theoreme de representation 3.4.7
Une relation d'inference non-monotone j satisfait lespostulats de base ssi il existe une relation d'inference \expectative" fermee et generee avec consis- tance j;S telle que j ssi j;S pour tous et deL.
Si on impose des restrictions a la fonction de selection S, on obtient une relation d'inference veri ant d'autres proprietes que celles apparaissant dans les postulats de base.
Prenons, par exemple, la condition (SC) suivante :
De nition 3.4.25
La condition (SC) est :siS(?: )?: ?: alorsS(?: ) = S(?: ).
Cette condition signi e intuitivement : si les sous-bases -consistantes preferees sont des sous-bases -consistantes, elles-m^eme etant des sous-bases -consistantes, alors les sous-bases -consistantes preferees sont les sous-bases -consistantes preferees.
Gardenfors et Makinson obtiennent ainsi le theoreme de representation 3.4.8.
Theoreme de representation 3.4.8
Une relation d'inference non-monotone j satisfait lespostulats de base et la propriete de cumulativite ssi il existe une relation d'inference \expecta- tive" fermee et generee avec consistance j;S veri ant la condition (SC) telle que j ssi
j;S pour tous et de L.
Un autre cas possible pour restreindre la fonction S est l'utilisationde preferences dans la de nition de S.
De nition 3.4.26
Une fonction de selection S est relationnelle sur ssi il existe une relationsur les sous-ensembles de telle que, pour toute formule consistante, on a :
S(?: ) =fD2?: tel que DD
0pour toutD0
2?: g.
S est dite relationnelle transitivement ssiS est relationnelle en utilisant une relation transitive.
Gardenfors et Makinson obtiennent ainsi le theoreme de representation 3.4.9.
Theoreme de representation 3.4.9
Une relation d'inference non-monotone j satisfait l'en-semble etendu des postulats de base ssi il existe une relation d'inference \expectative" fermee, generee avec consistance et relationnelle transitivement j;S telle que j ssi j;S pour
tous et de L.
3.4.2.3 Le cas des ordres d'\expectations"
Bien qu'il soit possible de trouver des theoremes de representation, l'utilisation des fonctions de selection comme mecanisme pour generer des inferences non-monotones n'est pas satisfaisant dans le cadre du calcul de ces inferences, la de nition fonctionnelle de la fonction S n'etant en general pas disponible.
Gardenfors et Makinson ont donc propose d'utiliser des ordres sur les formules de . Ces ordres sont destines a representer les divers degres de certitude des formules. L'ordre \expectatif" va concerner toutes les formules, on n'a plus besoin d'isoler un ensemble d'\expectations". On travaille donc a partir de (L;) et signi era que est au moins autant attendu, espere que .
Cette relation de pre-ordre possede les proprietes suivantes : la transitivite : si et alors (proprieteP1),
la dominance : si ` alors (proprieteP2),
la conjonctivite : pour tous et , ^ ou ^ (proprieteP3).
Remarque : ces trois conditions impliquent que l'ordre est total.
De nition 3.4.27
j est une relation d'inference \expectative" comparative ssi il existe un ordresatisfaisant les 3 proprietesP1 aP3 et tel que la condition (Cj) soit veri ee :
j ssi 2Cn(f g[f tel que : < g).
Remarque la condition (Cj) peut aussi s'exprimer de la facon suivante : j ssi, soit ` ,
soit il existe 2L tel que ^ ` et: < .
Gardenfors et Makinson obtiennent alors le theoreme de representation 3.4.10.
Theoreme de representation 3.4.10
j est une relation d'inference non-monotone surLsa-tisfaisant l'ensemble etendu des postulats ssi j est une relation d'inference \expectative" compa-
rative.
Le lien entre cette approche utilisant les ordres \expectatifs" et les modeles preferes de Shoham (cf [Sho87]) est le suivant :
Theoreme 3.4.3
Pour tout ordre \expectatif", on peut trouver un modele preferentiel adequattel que l'inference \expectative" soit identique a l'inference issue de ce modele, et vice-versa.
De nition 3.4.28
Soit le triplet M = (S;j=;@) avec S un ensemble non vide d'etats, j= unerelation de satisfaction entre les elements deS et les formules deL, et @une relation entre etats.
M est un modele preferentiel adequat ssi il veri e les 4 proprietes suivantes : 1. la classicite :8s2S et , 2L,
sj=: ssis6j= , et
sj= ^ ssisj= etsj= ;
2. l'extension : pour tout consistant au sens deCn, il existe uns2S tel que sj= ;
3. base sur une relation de preference@qui est irre exive, transitive et rangee ;
4. limite de maniere nie13: c'est-a-dire que pour toute formule qui est satisfaite par un etat
non prefere, il existe un etat prefere qui la satisfait.
Gardenfors et Makinson donnent alors un theoreme recapitulatif :
Theoreme 3.4.4
Soit j une relation entre des formules de L, les 4 conditions suivantes sontequivalentes :
1. j est determinee par j;S une relation d'inference \expectative", transitivement relation-
nelle, generee avec consistance et fermee ;
2. j est determinee par un ordre \expectatif"surL en utilisant la condition (Cj) ;
3. j est determinee par un modele preferentiel adequat ;
4. j satisfait les proprietes de supra-classicite, equivalence logique gauche, ET, cumulativite,
OU, monotonie rationnelle et preservation de la consistance.