4.1.2 Etude de complexite dans le cas general

4.1.2.1 Etude de la complexite de

Uni-T

Rappel :

Le problemeUni-Test le suivant : \verier que H est une consequence forte de E3

en utilisant les theses denies a partir de E". Notation : Ej

8;T

H.

Theoreme 4.1.1

Uni-Testp2-complet.

Preuve :

1ere

_{partie : l'appartenance a une classe.}

Notons que ce mecanisme d'inference non-monotone correspond exactement au meca- nisme de revision Sbretudie par Nebel dans [Neb91] (voir l'annexe A page 235). La

demonstration proposee par Nebel s'applique donc parfaitement au mecanismeUni-T.

Je vais quand m^eme la reprendre dans son integralite4_.

Raisonner sur Uni-Tnecessite de passer en revue toutes les theses de E pour savoir

si H est consequence forte. On va donc faire la demonstration plut^ot sur le probleme co-Uni-T(Ej6

8;T

H) car dans ce cas-la il sura de trouver une seule these qui n'infere pas H5_{. On propose l'algorithme 4.1 pour co-Uni-T.}

Algorithme 4.1 :

co-Uni-T(E, H)

debut

deviner un sous-ensemble Y de E

1 verier que Y est une these de E

verier que Y n'infere pas H

n

Pour resoudre le point 1 de l'algorithme 4.1, on peut verier la consistance de Y puis prendre chaque element z de EnY et verier l'inconsistance de Y [fzg.

On obtient ainsi pour co-Uni-Tle nouvel algorithme 4.2 page suivante6.

Quant a la resolution des points 1, 2, et 3 de l'algorithme ci-dessus, elle peut se faire en utilisant un oracle non deterministe polynomial,puisque le probleme \Soit un ensemble de formules BC et une formule H, BC 6`H ?" est NP et que le probleme \Soit un

ensemble de formules BC et une formule H, BC `H ?" est co-NP. L'algorithme donne

pour co-Uni-Test donc non deterministe (a cause du \deviner") polynomial et il fait

2_{En eet, la classe de complexite dans le cas general constitue une borne superieure a la complexite dans le cas}

particulier. De m^eme, la completude dans le cas particulier implique la completude dans le cas general si les deux cas correspondent a une m^eme classe de complexite.₃

Ici, l'ordre< ne sert a rien, j'utiliserai donc la notation E au lieu de (E;<). Cette remarque est valable pour

Uni₄(Exi,Arg)-T(S,Car,E).

Pourquoi la reprendre au lieu de se contenter de citer le resultat de Nebel ? Parce que les mecanismes mis en uvre ici vont ^etre rediscutes lors de l'etude des cas particuliers (voir section 4.1.3 page 110).₅

Cette remarque est valable pour toutes les demonstrations portant sur une relation d'inference utilisant la consequence forte. Elle ne sera donc pas repetee.₆

Cette technique de ranage de l'algorithme initial sera systematiquement utilisee pour toute etude d'apparte- nance concernant les relations d'inference utilisant des theses. Elle ne sera donc pas repetee.

Algorithme 4.2 :

co-Uni-T(E, H) (version ranee)

debut

deviner un sous-ensemble Y de E

1 verier que Y est consistant

pour

chaque element z de EnY

faire

2 verier que Y [fzgest inconsistant 3 verier que Y n'infere pas H

n

appel a un oracle lui aussi non deterministe polynomial. Ainsi, le probleme co-Uni-T

appartient a la classe de complexiteNPNP= 

p

2. Le problemeUni-Tappartient alors

a la classe de complexite p2.

Attention, il s'agit la d'une limite maximale7_.

2eme

_{partie : la completude ?}

On espere montrer queUni-Test p₂-complet, donc que co-Uni-Test p₂-complet. On

conna^t des problemes p2-complets, et si on arrive a ramener un de ces problemes a co-

Uni-Tpar une transformation polynomiale,on aura demontre la completude8. Prenons

par exemple le probleme 2-Qbf(voir entre autres [Neb91], [Joh90] et la demonstration

deSbrdans l'annexe A page 235). La question est de savoir si on peut passer de 2-Qbf

a co-Uni-Tgr^ace a une transformation polynomiale.

Soit \9a8bG(a;b)" une instance de 2-Qbf, posons :

E =fa1;:::;an;:a1;:::;:an;:G(a;b)g, et H =:G(a;b).

Remarques :

les theses de E sont de la forme :

soit fl1;:::;lng avec li = ai ou :ai, 8i, et fl1;:::;lng inconsistant avec :G(a;b),

soit fl1;:::;ln;:G(a;b)gavec li = ai ou :ai, 8i, et fl1;:::;lng consistant

avec:G(a;b),

on a dans E toutes les \valeurs" possibles pour les variables propositionnelles a1;:::;andont on cherche s'il existe un modele,

on n'impose aucune contrainte sur les variables propositionnelles b1;:::;bm, dont

tous les modeles doivent ^etre pris en compte. On a alors :

9a8bG(a;b) satisable ,

il existe une assignation des variables propositionnelles a1;:::;antelle que sans la

moindre contrainte sur les variables propositionnelles b1;:::;bm (donc pour toute

assignation de b1;:::;bm) on a G(a;b) vraie9

,

9fl1;:::;lngtelle quefl1;:::;lngj= G(a;b) ,

7_{Cette remarque est valable pour toutes les demonstrations d'appartenance a une classe de complexite. Elle ne}

sera donc pas repetee.₈

Ce mecanisme de raisonnement est systematiquement utilise des que l'on cherche a prouver la completude.

9_{Cette etape du raisonnement sur 2-Qbfpermettantle passage de \}9a8bG(a;b) satisable" a \9fl1;:::;lngtelle

9fl1;:::;lngtelle quefl1;:::;lnginconsistante avec:G(a;b) ,

9une thesefl1;:::;lng6`:G(a;b) ,

Ej6 8;T

H

On a donc montre que 2-Qbf /co-Uni-T. Or 2-Qbfest p2-complet et on a vu que

co-Uni-T2 p2. On en deduit que co-Uni-Test p2-complet et donc que Uni-Test

p2-complet. 2

4.1.2.2 Etude de la complexite de

Exi-T

Rappel :

Le problemeExi-T est le suivant : \verier que H est une consequence faible de E

en utilisant les theses denies a partir de E". Notation : Ej

9;T

H.

Theoreme 4.1.2

Exi-T estp2-complet.

Preuve :

1ere

_{partie : l'appartenance a une classe.}

On propose l'algorithme 4.3 pour Exi-T.

Algorithme 4.3 :

Exi-T(E, H)

debut

deviner un sous-ensemble Y de E verier que Y est une these de E verier que Y infere H

n

Cet algorithme est non deterministe (a cause du \deviner") polynomial et il fait appel a un oracle lui aussi non deterministe polynomial. Le problemeExi-Tappartient donc

a la classe de complexiteNPNP = p2.

2eme

_{partie : la completude ?}

Reprenons le probleme 2-Qbf et essayons de passer de 2-Qbf a Exi-T gr^ace a une transformation polynomiale.

Soit \9a8bG(a;b)", une instance de 2-Qbf, posons :

H = G(a;b) et E =fa1;:::;an;:a1;:::;:ang.

Les remarques faites lors de la demonstration de Uni-Tsont toujours valables, excep- tion faite de la premiere qui devient :

la base E est egale afa1;:::;an;:a1;:::;:ang, ce qui signie que quelle que soit

la these Y , c'est-a-dire une sous-base maximale consistante, on a Y =fl1;:::;lng

avec li = ai ou:ai,8i = 1:::n.

Montrons alors que : \fa1;:::;an;:a1;:::;:anginfere G(a;b) avec la methodeExi-T"

equivaut a \9a8bG(a;b) satisable" :

fa1;:::;an;:a1;:::;:anginfere G(a;b) avec la methodeExi-T ,

il existe un sous-ensemble Y =fl1;:::;lngavec li = ai ou:ai,8i = 1;:::;n

tel que Y `G(a;b) ,

il existefl1;:::;lngqui infere G(a;b) ,

9a8bG(a;b) est satisable

On a donc montre que 2-Qbf/Exi-T. Or 2-Qbfest 

p

2-complet etExi-T2

p 2. On

en deduit que Exi-Test p2-complet10. 2

4.1.2.3 Etude de la complexite de

Arg-T

Rappel :

Le problemeArg-Test le suivant : \verier que H est une consequence argumentative

de E en utilisant les theses denies a partir de E". Notation : EjA;TH.

Theoreme 4.1.3

Si p26=  p 2,Arg-T2
p 3 - (p2[ p 2).

J'ai choisi d'exprimer ce resultat sous cette forme an de bien \visualiser" la place occupee par le probleme etudie dans la classe
p3, plut^ot que d'utiliser la forme \Arg-T2
p3 et est p2-dicile

et p2-dicile".

Preuve :

1ere

_{partie : l'appartenance a une classe.}

On propose l'algorithme 4.4 pour Arg-T.

Algorithme 4.4 :

Arg-T(E, H)

debut

Dans le document Contribution à l'étude des relations d'inférence non-monotone combinant inférence classique et préférences (Page 86-89)