4.1.2.20 Etude de la complexite de Exi-E

Rappel :

Le probleme Exi-E est le suivant : \verier que H est une consequence faible de

E = (W;D) theorie des defauts propositionnelle en utilisant les extensions de E". Notation : Ej

9;E

H.

Ce probleme a ete etudie par Gottlob dans le cas general (voir [Got92]). Ses conclusions sont les suivantes.

Theoreme 4.1.21

Exi-Eestp2-complet.

Remarques :

Gottlob a montre que Exi-E reste p₂-complet m^eme si E = (W;D) est une

theorie des defauts propositionnelle normale.

Et, dans le cas particulier correspondant au mecanismeE, on obtient un resultat similaire.

Theoreme 4.1.22

Exi-E estp

2-complet.

Preuve :

M^eme principe que pour le theoreme 4.1.20 page precedente. 2

4.1.2.21 Etude de la complexite de

Arg-E

Rappel :

Le problemeArg-Eest le suivant : \verier que H est une consequence argumentative

de E = (W;D) theorie des defauts propositionnelle en utilisant les extensions de E". Notation : Ej

A;E_H.

A ma connaissance, Gottlob ne s'est pas encore interesse a ce type de relation d'inference sur une theorie des defauts.

Theoreme 4.1.23

Sip26= p2,Arg-E2
p3- (p2[p2).

Preuve :

1ere

_{partie : l'appartenance a une classe.}

On propose l'algorithme 4.31 pourArg-E.

Algorithme 4.31 :

Arg-E((E;<), H)

debut

verier que (E;<)j6 9;E

:H

verier que (E;<)j 9;E

H

n

Cet algorithme est polynomial et il fait appel a un oracle de complexite p2 (Exi-E).

La complexite deArg-Eest donc au plusP

p

2 =
p3.

2eme

_{partie : la completude ?}

J'ai toujours les m^emes dicultes a etudier la completude, donc j'essaye de montrer queArg-E2
p3 - (p2[p2).

Pour cela on compare le problemeArg-Eavec des problemes de classe inferieure dans

la hierarchie polynomiale. On constate alors que :

Etat de la branche de l'arbre de E Resultat sur la construction de l'arbre pour f(E)

inconsistance inconsistance extension Y0 extension Y de f(E) =

Cn(Y0

[fH!Gg)

echec car certaines hypotheses sur

l'extension n'ont pas ete veriees hypothese manquante est satisfaite parpeut-^etre une solution si la seule le fait :

\H!G2l'extension" ;

or ce cas est impossible puisque G n'appara^t pas dans E ;

on a donc un echec Tableau 4.1 : Demonstration de complexite pourArg-E:Exi-E/Arg-E

Soit \E = (W;D);H", une instance deExi-E, posons :

- f(H) = G,

- f(E) = (W [fH!Gg;D)

avec G nouvelle variable propositionnelle (G n'appara^t pas dans W, ni dans D).

Remarques preliminaires :

H ! G est consistante avec n'importe quelle extension Y

0de E : si Y0 est

une extension, elle est consistante et elle admet donc un modele M0. Or G

n'appara^t pas dans E, donc n'appara^t pas dans Y0. On peut ainsi etendre le

modele M0de Y0a un modele M en rajoutant la valeurvraipour la variable

propositionnelle G. On a ainsi M modele de Y0et modele de H

!G. H!G

est donc consistante avec toute extension Y0de E.

H!G ne permet pas l'activation d'autres defauts que ceux actives pour le

calcul des extensions de E, puisque G n'appara^t pas dans D (et en particulier, dans les pre-requis des defauts de D).

Le fait de rajouter cette premisse a E permet de reprendre en integralite l'arbre de recherche des extensions de E et de construire l'arbre de recherche des extensions de f(E) a partir de l'etude sur chaque branche de l'arbre de E de l'ajout de la premisse H!G (voir la methode de construction de l'arbre

de recherche en section 2.2.3 page 16).

Cela donne les resultats presentes dans le tableau 4.1 et on obtient les proprietes suivantes :

Propriete 4.1.16

Quelle que soitY extension de f(E),Y est de la formeY0

[ fH!Ggavec Y

0 extension deE.

Propriete 4.1.17

Quelle que soitY extension def(E),Y `GssiY

0

`H (voir

argumentation dans la demonstration du theoreme 4.1.3 page 78).

Montrons alors que : \f(E) infere f(H) avec la methodeArg-E" equivaut a \E

infere H avec la methodeExi-E" :

f(E) infere G avec la methodeArg-E

,

il existe Y extension de f(E) telle que Y `G

et aucune des autres extensions n'infere:G. ,

(a cause de la propriete 4.1.18 page precedente) il existe Y extension de f(E) telle que Y `G

,

(a cause des proprietes 4.1.16 page precedente et 4.1.17 page precedente) il existe Y0 extension de E telle que Y0

`H ,

E infere H avec la methodeExi-E

le probleme co-Exi-Ese ramene polynomialement aArg-E:

Soit \E = (W;D);H", une instance de co-Exi-E, posons :

- f(E) = (W;D[f::H=:Hg,

- f(H) =:H.

Remarque preliminaire :

Le fait de rajouter un defaut a E permet de reprendre dans son integralite l'arbre de recherche des extensions de E et de construire l'arbre de recherche des ex- tensions de f(E) a partir de l'arbre pour E et de l'etude sur chaque branche de l'arbre de E de l'activation ou non du defaut ::H=:H. Cela donne les resultats

presentes dans le tableau 4.2 page ci-contre et on obtient les proprietes suivantes :

Propriete 4.1.19

Si toutes les extensions Y0 de E sont consistantes avec

:H

(donc n'inferent pas H) alors toutes les extensions def(E) inferent :H et n'in-

ferent pas H ;

Propriete 4.1.20

S'il existe une extensionY0de Equi infereH(donc inconsis-

tante avec:H) alors il existe une extensionY de f(E)qui infereH (Y = Y 0) ;

Propriete 4.1.21

(contraposee de la propriete 4.1.20) Si aucune extensionY de

f(E) n'infereH alors aucune extension Y0de E n'infereH.

Montrons alors que : \f(E) infere f(H) avec la methodeArg-E" equivaut a \E

n'infere pas H avec la methodeExi-E".

Tout d'abord :

f(E) infere :H avec la methodeArg-E ,

9Y extension de f(E) telle que Y `:H

et8Y extension de f(E), Y 6`H )

(a cause de la propriete 4.1.21)

8Y

0extension de E, Y0 6`H ,

E n'infere pas H avec la methodeExi-E

Et reciproquement :

E n'infere pas H avec la methodeExi-E

, 8Y

0extension de E, Y0 6`H )

(a cause de la propriete 4.1.19)

Etat de la branche de

l'arbre de E Statut du defaut ::H=:H

(applique ou non) Resultat sur la constructionde l'arbre pour f(E) inconsistance dans les deux cas inconsistance

extension Y0

consistante avec:H

donc n'inferant pas H

application du defaut : H ne doit pas2a l'extension

nale extension Y de f(E) = Cn(Y0 [f:Hg) si:H62Y 0 ou Cn(Y0) sinon Y contient:H et n'infere pas H non application du defaut :

H doit2a l'extension nale

echec : H ne peut pas2a l'extension nale extension Y0 inconsistante avec:H donc inferant H application du defaut : H ne doit pas2a l'extension

nale

echec :

H2a l'extension nale

non application du defaut : H doit2a l'extension nale

extension Y de f(E) = Y0

Y ne contient pas:H et

infere H echec car certaines

hypotheses sur l'extension n'ont pas

ete veriees

application du defaut : H ne doit pas2a l'extension

nale

peut-^etre une solution si la seule hypothese manquante

est satisfaite par le fait : \:H2l'extension" ;

dans ce cas la, on a : extension Y de f(E) = Cn(S[f:Hg) avec S = W

[fles consequents des

defauts de E actives pour cette brancheg

Y contient:H et n'infere

pas H non application du defaut :

H doit2a l'extension nale

echec :

la non application du defaut ne permet pas de verier les hypotheses manquant deja

pour l'extension de E Tableau 4.2 : Demonstration de complexite pourArg-E: co-Exi-E/Arg-E

)

9Y extension de f(E) telle que Y `:H

et8Y extension de f(E), Y 6`H ,

f(E) infere :H avec la methodeArg-E

On a doncExi-E/Arg-Eet co-Exi-E/Arg-E(avecExi-Equi est 

p

2-complet et

co-Exi-Equi est p2-complet). Ainsi, comme pourArg-T, on prouve que, si p26= 

p 2,

Arg-E2
p3 - (p2[p2). 2

Et, dans le cas particulier correspondant au mecanismeE, on obtient un resultat similaire.

Theoreme 4.1.24

Sip26= p2,Arg-E



2
p3 - (p2[p2)

Preuve :

M^eme principe que pour le theoreme 4.1.20 page 105. 2

4.1.3 Etude de complexite des dierentes relations d'inference dans des

Dans le document Contribution à l'étude des relations d'inférence non-monotone combinant inférence classique et préférences (Page 117-121)