Les resultats deja existants et leurs incidences

Les travaux de Kraus, Lehmann et Magidor [KLM90], ainsi que ceux de Gardenfors et Makin- son [GM94] fournissent la totalite des resultats concernant les relations d'inference denies a partir

33_{En eet, la relation \est plus prudente que" est construite a partir de la relation d'inclusion qui est transitive.} 34_{C'est l'option choisie par les auteurs de [BDP93, Ben94] ; ils demontrent ainsi que :}

la relationG-Arg-Tverie la propriete d'aaiblissement droit denie par j=! ;Ej

Ej ;

la relationG-Arg-Tne verie pas la propriete du ET denie par Ej ;Ej

UNI-BO UNI-INCL UNI-LEX EXI-LEX EXI-INCL ARG-INCL ARG-BO ARG-CAR _ARG-LEX ARG-T ARG-S UNI-CAR UNI-T UNI-S EXI-T EXI-CAR EXI-S (1) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (20) (21) (22) (23) (24) ₍₂₅₎ (26) (36) (35) (34) (33) (31) (30) (16) Légende :

b = a est plus prudent que b a EXI-BO (37) (32) (2) UNI-E* ARG-E* EXI-E* Figure 4.1 :Liens de prudence en tre les relations d'inf erence non-monotone de classe 1 154

Légende :

b = a est plus prudent que b a (1) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (22) (25) (26) (36) (35) (16) (32) (2) G-UNI-BO G-UNI-E* G-UNI-LEX G-ARG-LEX G-EXI-LEX G-EXI-E* G-EXI-BO G-ARG-E* G-ARG-BO G-EXI-INCL G-ARG-INCL G-UNI-INCL

Figure 4.2 : Liens de prudence entre les relations d'inference non-monotone de classe 2 du principeUni. En eet, tous les theoremes de representation (voir section 3.4 page 55) se rame- nent a l'utilisation d'une approche \sceptique" : il existe un modele d'un type particulier tel que

toutesles interpretations verient une propriete donnee.

4.3.1.1

G

-

Uni-Incl

,

G

-

Uni-Lex

,

G

-

Uni-Bo

En utilisant ces theoremes de representation, Benferhat, Cayrol, Dubois, Lang et Prade ont de- montre les resultats suivants :

G-Uni-Inclest une relation d'inference preferentielle (voir [BCD+_{93, Ben94]).}

G-Uni-Lexest une relation d'inference rationnelle (voir [BCD+93, Ben94]).

G-Uni-Boest une relation d'inference quasiment rationnelle, puisque la relation d'inference issue de la logique possibiliste, et notee`, est quasiment rationnelle (voir [Ben94]) et qu'il a

ete demontre dans [BCD+_{93] que} j 8;Bo

,`. La denomination de \quasiment rationnelle"

vient du fait que Benferhat et ses collegues n'utilisent pas la forme classique des proprietes de supra-classicite et de re exivite mais une forme restreinte. En eet, ils ont choisi comme convention le principe appele \Nihil ex Absurdo", c'est-a-dire qu'en presence d'une incon- sistance, ils choisissent de ne rien deduire35 _{; ceci les amene donc a denir les proprietes de}

deduction suivantes :

propriete de re exivite restreinte : si 6=?alors j,

la supra-classicite restreinte : si 6=?alors  `

j .

On dit alors qu'une relation d'inference est quasiment rationnelle quand elle verie la mo- notonie rationnelle, la re exivite restreinte et toutes les proprietes du systeme P excepte la re exivite classique.

Toutes ces demonstrations s'articulent autour de la reconnaissance d'un modele particulier permet- tant de denir la relation d'inference etudiee, puis de l'application du theoreme de representation correspondant.

On a aussi les resultats suivants :

G-Uni-Inclverie les proprietes de : supra-classicite, equivalence logique gauche, aaiblisse- ment droit, ET, conditionnalisation faible, preservation de la consistance, cumulativite, OU et ne verie pas les proprietes de monotonie rationnelle et de monotonie rationnelle faible (voir [BCD+_93]).

G-Uni-Lexverie les proprietes de : supra-classicite, equivalence logique gauche, aaiblisse-

ment droit, ET, conditionnalisation faible, preservation de la consistance, cumulativite, OU, monotonie rationnelle et monotonie rationnelle faible (voir [BCD+_{93]) ; G-Uni-Lexverie}

donc les postulats etendus de Gardenfors et Makinson (voir [GM94]).

G-Uni-Boverie les proprietes de : supra-classicite restreinte, equivalence logique gauche,

aaiblissement droit, ET, preservation de la consistance, OU, monotonie rationnelle et mo- notonie rationnelle faible (voir [BCD+_{93, Ben94]). La conditionnalisation faible et la cu-}

mulativite n'apparaissent pas dans ces resultats. Toutefois, la conditionnalisation faible est prouvee a la fois par :

le theoreme 2.6.1 page 43 donne dans ce document,

une propriete donnee dans [BDP92] qui dit que la propriete de conditionnalisation est impliquee soit par les proprietes d'equivalence logique gauche, d'aaiblissement droit, du ET, du OU, de la monotonie rationnelle, de la re exivite restreinte et du Nihil ex Absurdo, soit par les proprietes d'equivalence logique gauche, d'aaiblissement droit, du ET, du OU, de la monotonie prudente, de la re exivite ; or la conditionnalisation faible est un cas particulier de la conditionnalisation.

Remarquons que les relations G-Uni-Incl, G-Uni-Bo et G-Uni-Lex ne sont pas denies de maniere identique dans [BCD+_{93] et dans ce document. Toutefois, la propriete 2.6.11 page 46}

permet de se rendre compte que les deux denitions sont equivalentes et que l'on peut donc utiliser les resultats presentes dans [BCD+_{93] dans le cadre present.}

4.3.1.2

G

-

Uni-E

et

G

-

Exi-E

Dans [Bra93], Brass etudie un sous-ensemble de la logique des defauts (mecanismeE) : les defauts

super-normaux. Ceci correspond au cas particulier du mecanismeInclsur une base de croyances

possedant deux strates. Quatre principes sont invoques dans ce travail dont les principes G-Uni

et G-Exi.

Ainsi, Brass a demontre que :

G-Uni-E, dans le cas des defauts super-normaux, verie les proprietes suivantes :

la re exivite,

l'aaiblissement droit, l'equivalence logique gauche, le ET,

le OU.

G-Exi-E, dans le cas des defauts super-normaux, verie les proprietes suivantes :

l'aaiblissement droit, l'equivalence logique gauche.

Pour prouver que G-Uni-E est preferentielle, dans le cas des defauts super-normaux, il sut de

prouver qu'elle verie les proprietes de coupure et de monotonie prudente.

Theoreme 4.3.1

Dans le cas des defauts super-normaux, la relationG-Uni-Everie la propriete

de la coupure (sij et^j alorsj ).

Preuve :

On part des hypotheses j et ^j .

La premiere hypothese implique que 8Y extension de T = (W [fg;D), Y ` ; or

les extensions sont fermees pour la consequence logique, donc 2Y .

La seconde hypothese implique que8Y

0 extension de T0 = (W

[f;g;D), Y 0

` ;

or les extensions Y0 de T0sont construites a partir de T comme suit :

soit Y0= C

n(Y [fg) ssi Y est -consistante,

soit Y0= C

n(S[fg) ssi S est le resultat d'une branche dont l'hypothese man-

quante etait \2l'extension".

Or, on sait que 8Y; 2Y , donc le premier cas revient a dire que 8Y ,9Y

0 telle que

Y0= Y . Et on sait que 8Y

0, Y0

` ; donc8Y , Y ` et on en conclut que j . 2

Theoreme 4.3.2

Dans le cas des defauts super-normaux, la relationG-Uni-Everie la propriete

de monotonie prudente (si j et j alors^j ).

Preuve :

On sait (voir [Bre89b]) que, dans le cas d'une theorie des defauts super-

normale T = (W;D), les extensions obtenues correspondent exactement aux theses incl-preferees obtenues sur la base E composee de deux strates E1= W et E2 =fles

consequents des defauts de Dg.

Or, on sait que la relation G-Uni-Incl verie la monotonie prudente puisqu'elle est preferentielle.

On a donc : si 8Y these incl-preferee de E, Y `  et Y ` alors 8Y 0 these

incl-preferee de (^)E, Y 0

` .

Sachant que les Y theses incl-preferees de E sont exactement les extensions de

T = (W[fg;D) et que les Y

0theses incl-preferees de (

^)E sont exactement

les extensions de (^)T = (W [f;g;D), on deduit que la relation G-Uni-E 

verie la propriete de monotonie prudente36_. 2

Contre-exemplepour la monotonierationnelle.

Ici aussi, le contre-exemple donne dans [Ben94]

pour G-Uni-Inclpeut s'appliquer :

La theorie des defauts T est la suivante : W =fa;b!;a!cg,

D =f: !a=!a ; :!b=!b ; : c!=c!g.

On obtient ainsi 2 extensions :

Y1= Cn(fa;b!;a!c ;!ag) ;

Y2= Cn(fa;b!;a!c ;!b ;c!g) ;

Toutes ces extensions inferent la formule a_(:c) et il existe une extension qui n'infere pas :c. Posons :  =vrai,  = c, = a_(:c). On a ainsi j et j6(:).

Si on rajoute la formule  a la base E, on obtient (^)j6 , car il existe une extension de E

qui n'infere pas (l'extension Y = Cn(fa;b! ;a!c ;!b ;!cg)).

Theoreme 4.3.3

Dans le cas des defauts super-normaux, la relationG-Uni-Eest preferentielle

et non rationnelle.

Contre-exemple dans le cas des defauts normaux.

Prenons la theorie suivante :

W =fg,

D =f: a=a ;(a_b) : (:a)=(:a)g.

Il est facile de voir sur cette theorie, que la relation G-Uni-Ene verie pas la monotonie prudente.

En eet, cette theorie admet une seule extension Y = Cnfag. Cette extension permet d'inferer les

formules a et a_b. Posons :

 =vrai,  = a_b,

= a.

On a ainsi j et j.

Si on rajoute la formule  a la base E on obtient (^)j6 , car il existe maintenant deux

extensions pour E : Y1= Cnfaget Y2= Cnf:a;bg) avec Y2qui n'infere pas .

4.3.1.3 Conclusion sur les resultats deja existants

Dans les tableaux 4.4 page suivante et 4.5 page ci-contre, je donne tous les resultats obtenus sur les relations G-Uni-m pour m2fBo,Incl,Lex,E



get sur G-Exi-E

dans cette section et dans

la section 2.6.4 page 43. Le tableau 4.4 page ci-contre permet de se situer par rapport aux travaux de Kraus, Lehmann et Magidor (voir [KLM90]) et le tableau 4.5 page suivante permet de se situer par rapport aux travaux de Gardenfors et Makinson (voir [GM94]).

Dans le document Contribution à l'étude des relations d'inférence non-monotone combinant inférence classique et préférences (Page 164-169)