debut verier que E j 6

9;T :H verier que Ej 9;T H

n

Cet algorithme est polynomial et il fait appel a un oracle de complexite p2 (Exi-T)11.

La complexite deArg-Test donc au plusP

p

2 =
p

3.

2eme

_{partie : la completude ?}

L'etude de la completude est plus dicile. En eet, on conna^t quelques problemes
p3-complets, par exemple le probleme du double sac a dos de [Joh90], ou quelques

problemes d'abduction de [EG93]. Toutefois, je n'ai pas reussi a ramener polynomia- lement un de ces problemes a Arg-T12. On ne peut donc pas prouver simplement la

completude, si completude il y a.

10_{Ce resultat n'est pas surprenant. Dans [EG93], Eiter et Gottlob ont deni le probleme abductif suivant :}

instance:P = (V;H;M;T) unPap(probleme d'abduction propositionnel) avecV un ensemble de

variables propositionnelles,H un ensemble d'hypotheses (atomes propositionnels), M un ensemble de manifestations (formules propositionnelles),T une theorie consistante (formules propositionnelles) ;

question : Existe-t-il une explication pourP ? (une explication est un sous-ensemble H

0 tel que H0 H, T[H 0est consistant, (T [H 0) j=M).

Ce probleme peut ^etre transforme enExi-Tde la maniere suivante :E = T[H et G = M.

11_{Voir la demonstration de la complexitedu mecanisme de revisionFmr(theoreme A.2.1 page 238 de l'annexe A}

page 235) pour l'utilisation dans un algorithme de deux oracles, l'un de complexiteX et l'autre de complexiteco-X.₁₂ Le probleme du double sac a dos de [Joh90] se ramene sans diculte majeure a un probleme de deduction en logique des predicats. Malheureusement, il faut que la logique utilisee dans le problemeArg-Tetudie ici soit la

logique propositionnelle, sinon les problemes de satisabilite deviennent indecidables et donc n'appartiennent plus aNP.

Par contre, on peut peut-^etre raner le resultat d'appartenance a une classe comme Nebel l'a fait dans le calcul des complexites deFmretUbr(voir dans [Neb91] et dans

l'annexe A page 235), c'est-a-dire montrer que Arg-T2
p3 - (p2 [p2).

Pour cela on compare le problemeArg-Ta des problemes de classe inferieure dans la

hierarchie polynomiale. On constate alors que :

le problemeExi-Tse ramene polynomialement aArg-T:

Soit \E;H", une instance deExi-T, posons :

- f(E) = E[fH!Ggavec G nouvelle variable propositionnelle

(G n'appara^t pas dans E), - f(H) = G. Remarques preliminaires :

H !G est consistante avec n'importe quelle these Y

0 de E : soit Y0 these.

Y0 est consistante, donc admet un modele M0. Or G n'appara^t pas dans E,

donc n'appara^t pas dans Y0. On peut ainsi etendre le modele M0de Y0a un

modele M en rajoutant la valeurvraipour la variable propositionnelle G. On a ainsi M modele de Y0et modele de H

!G. H!G est donc consistante

avec toute these de E.

Aucune des theses de f(E) n'infere:G.

Quelle que soit Y these de f(E), Y sera de la forme Y = Y0

[fH!Ggavec

Y0these de E. Ceci vient du fait que la formule H

!G est consistante avec

toutes les theses de E.

Quelle que soit Y these de f(E), Y `G ssi Y 0

`H, car :

Y0

`H)8M

0modele de Y0, M0(H) = vrai(soit X une formule, M(X)

est la valeur de verite de X dans l'interpretation M) ; on cherche a mon- trer que Y `G, donc que8M modele de Y , M est un modele de G ; M

etant un modele de Y et Y = Y0

[fH!Gg, M est donc un modele de

Y0et de H

!G ; ainsi, on a M(H) = vraiet M(H !G) =vrai, donc

M(G) = vrai, donc Y `G.

Y `G et supposons que Y 0

6`H)9M

0modele de Y0tel que M0(H) =

faux )9M modele de Y deni par M

0etendu avec M(G) =fauxce qui

contredit l'hypothese Y `G.

Montrons alors que : f(E)j

A;T_f(H) ,Ej 9;T H : f(E)jA;TG ,

il existe Y these de f(E) telle que Y `G

et aucune des autres theses n'infere:G ,

il existe Y these de f(E) telle que Y `G

(voir remarques preliminaires)

,

il existe Y0 these de E telle que Y0 `H

(voir remarques preliminaires)

,

Ej 9;T

H

le probleme co-Exi-Tse ramene polynomialement aArg-T:

Soit \E;H", une instance de co-Exi-T, posons :

- f(E) = E[f:Hg,

- f(H) =:H.

soit Y contient:H :

soit Y = Y0

[f:Hgavec Y

0these de E consistante avec

:H et:H62Y 0

donc Y0

6`H et Y infere:H,

soit Y = Y0 avec Y0these de E consistante avec

:H et :H 2 Y 0donc

Y0

6`H et Y infere:H,

soit il n'existe pas de these Y0 de E consistante avec

:H et alors il

existe un sous-ensemble S de E consistant, qui peut ^etre vide, tel que Y = S[f:Hg,

soit Y ne contient pas :H et alors Y = Y

0avec Y0these de E inconsistante

avec:H donc inferant H.

On a alors les proprietes suivantes :

Propriete 4.1.1

Si toutes les thesesY0 de E sont consistantes avec

:H (donc

n'inferent pas H) alors toutes les theses def(E) sont : soit de la formeY = Y0 [f:Hgsi:H62Y 0, soit de la formeY = Y0 si :H2Y 0,

et, bien s^ur, elles inferent :H et n'inferent pasH ;

Propriete 4.1.2

S'il existe une theseY0 de E qui infereH (donc inconsistante

avec :H) alors il existe une theseY de f(E) de la formeY = Y

0 qui infereH ;

Propriete 4.1.3

(contraposee de la propriete 4.1.2) si aucune these Y de f(E)

n'infereH alors aucune these Y0de E n'infereH.

Montrons alors que : f(E)jA;Tf(H),Ej6 9;T H. Tout d'abord : f(E)j A;T :H ,

9Y these de f(E) telle que Y `:H

et8Y these de f(E) Y 6`H )

(a cause de la propriete 4.1.3)

8Y 0these de E, Y0 6`H , Ej6 9;T H D'autre part : Ej6 9;T H , 8Y 0these de E, Y0 6`H )

(a cause de la propriete 4.1.1)

8Y these de f(E), Y 6`H et Y `:H )

9Y these de f(E) telle que Y `:H

et8Y these de f(E) Y 6`H ,

f(E)jA;T:H

On a donc Exi-T /Arg-T et co-Exi-T/ Arg-T(avec Exi-Tqui est p2-complet

et co-Exi-Tqui est p₂-complet). Donc Arg-T2
p3 et est p2-dicile et p2-dicile.

En utilisant le theoreme A.1.4 page 237 donne dans l'annexe A page 23513_{, on prouve}

donc que, si p26= p2,Arg-T2
p3- (p2[p2). 2

13_{Ce theoreme A.1.4 page 237 sera utilise de maniere systematique dans les demonstrations du type \le probleme}

2
pk - (pk

1[pk

Dans le document Contribution à l'étude des relations d'inférence non-monotone combinant inférence classique et préférences (Page 89-92)