La monotonie prudente

Rappelons que la propriete de la monotonie prudente se denit par j ;j

^j

Rappel 4.3.5

Pourp =Uni,8m2fBo,Incl,Lex,E



g, la relation d'inference non-monotone

G-p-m, denie a l'aide des denitions 2.6.1 page 30 et 2.6.2 page 30, verie la propriete de la monotonie prudente.

Preuve :

voir section 4.3.1 page 153. 2

Theoreme 4.3.14

Pour p = Exi, 8m 2 fBo,Incl,Lex,E



g, la relation d'inference non-

monotone G-p-m, denie a l'aide des denitions 2.6.1 page 30 et 2.6.2 page 30, ne verie pas

la propriete de la monotonie prudente.

Preuve :

Il sut de prendre un contre-exemple ; posons la base E suivante :

x;! ! ;x;

!x

!x x!

8m, le calcul des sous-bases m-preferees de E fournit les resultats suivants : 8m2fIncl,Lexgles sous-bases m-preferees de E sont :

Y1=fx;! ; ! ;x; ; !x ;!xget

Y2=fx;! ; ! ;x; ; !x ; x!g;

pour m =Bo, parmi les sous-bases m-preferees de E, on trouve :

Y1=fx;! ; ! ;x; ; !x ;!xg,

Y2=fx;! ; ! ;x; ; !x ; x!g;

pour m =E, les sous-bases m-preferees de E sont :

Y1= Cn(fx;! ; ! ;x; ;  !x ;!xg) et

Y2= Cn(fx;! ; ! ;x; ;  !x ; x!g) ;

pour E, on obtient :

8m2fIncl,Lexgles sous-bases m-preferees de E sont :

Y0

1 =f! ; x;! ; ! ;x; ; !x ;!xget

Y0

2 =f! ; x;! ; ! ;x; ; !x ; x!g;

pour m =Bo, parmi les sous-bases m-preferees de E, on trouve :

Y0

1 =f! ; x;! ; ! ;x; ; !x ;!xg,

Y0

2 =f! ; x;! ; ! ;x; ; !x ; x!g;

pour m =E, les sous-bases m-preferees de 

E sont : Y0 1 = Cn(f! ; x;! ; ! ;x; ; !x ;!xg) et Y0 2 = Cn(f! ; x;! ; ! ;x; ; !x ; x!g) ; pour (^)E, on obtient :

8m2fIncl,Lexgla sous-base m-preferee de (^)E est :

Y00

1 =f! ;! ; x;! ; ! ;x; ;  !x ;!xg

pour m =Bo, parmi les sous-bases m-preferees de (^)E, on trouve :

Y00

1 =f! ;! ; x;! ; ! ;x; ;  !x ;!xg,

Y00

pour m =E, les sous-bases m-preferees de ( ^)E sont : Y00 1 = Cn(f! ;! ; x;! ; ! ;x; ; !x ;!xg) et Y00 2 = Cn(f! ;! ; x;! ; ! ;x; ; x!g) ; 8m, on constate que : 9Y 0 sous-base m-preferee de  E telle que Y 0 ` (les Y 0 1) ; 9Y 0 sous-base m-preferee de  E telle que Y 0 ` (les Y 0 2) ; 69Y 00sous-base m-preferee de ( ^)E telle que Y 00 ` . 2

Theoreme 4.3.15

Pour p = Arg, 8m 2 fBo,Incl,Lex,E



g, la relation d'inference non-

monotone G-p-m, denie a l'aide des denitions 2.6.1 page 30 et 2.6.2 page 30,ne verie pas la propriete de la monotonie prudente.

Preuve :

Il sut de prendre un contre-exemple ; posons la base E suivante :

x;! x;! ; !x

!x x!

8m, le calcul des sous-bases m-preferees de E fournit les resultats suivants : 8m2fIncl,Lexgles sous-bases m-preferees de E sont :

Y1=fx;! ; x;! ; ; !x ;!xget

Y2=fx;! ; x;! ; ; !x ; x!g;

pour m =Bo, parmi les sous-bases m-preferees de E, on trouve :

Y1=fx;! ; x;! ; ; !x ;!xg,

Y2=fx;! ; x;! ; ; !x ; x!g;

pour m =E, les sous-bases m-preferees de E sont :

Y1= Cn(fx;! ; x;! ; ; !x ;!xg) et

Y2= Cn(fx;! ; x;! ; ; !x ; x!g) ;

pour E, on obtient :

8m2fIncl,Lexgles sous-bases m-preferees de E sont :

Y0

1 =f! ; x;! ; x;! ; ; !x ;!xget

Y0

2 =f! ; x;! ; x;! ; ; !x ; x!g;

pour m =Bo, parmi les sous-bases m-preferees de E, on trouve :

Y0

1 =f! ; x;! ; x;! ; ; !x ;!xg,

Y0

2 =f! ; x;! ; x;! ; ; !x ; x!g;

pour m =E, les sous-bases m-preferees de 

E sont : Y0 1 = Cn(f! ; x;! ; x;! ; ; !x ;!xg) et Y0 2 = Cn(f! ; x;! ; x;! ; ; !x ; x!g) ; pour (^)E, on obtient :

8m2fIncl,Lexgla sous-base m-preferee de (^)E est :

Y00

1 =f! ;! ; x;! ; x;! ; ; !x ;!xg

Y00

2 =f! ;! ; x;! ; x;! ; ; !x ; x!g;

pour m =Bo, parmi les sous-bases m-preferees de (^)E, on trouve :

Y00

Y00

2 =f! ;! ; x;! ; x;! ; ; !x ; x!g;

pour m =E, les sous-bases m-preferees de (

^)E sont : Y00 1 = Cn(f! ;! ; x;! ; x;! ; ; !x ;!xg) et Y00 2 = Cn(f! ;! ; x;! ; x;! ; ; !x ; x!g) ; 8m, on constate que : 9Y 0 sous-base m-preferee de  E telle que Y 0 `  (les Y 0 1) et 8Y 0 sous-base m-preferee de E, Y 0 6`: ; 9Y 0 sous-base m-preferee de  E telle que Y 0 ` (les Y 0 2) et 8Y 0 sous-base m-preferee de E, Y 0 6`: ; 9Y 00sous-base m-preferee de ( ^)E telle que Y 00 ` (les Y 00 1 ) et9Y 00sous-base

m-preferee de (^)E telle que Y 00 `: (les Y 00 2). 2

4.3.2.11 La cumulativite

Rappelons que la propriete de cumulativite se denit par j ; `

j ,j

Avant toute chose, je donne d'abord la demonstration de la propriete 4.3.1 presentee dans [GM94].

Propriete 4.3.1

Les proprietes de coupure, monotonie prudente, equivalence logique gauche et

supra-classicite impliquent la propriete de cumulativite.

Preuve :

Soient  et , deux formules telles que j et `.

supposons que j ; avec j et la monotonie prudente, on obtient que ^

j ; d'autre part, on sait que  `)` !)`(^)$ ; donc en

appliquant l'equivalence logique gauche, on obtient que j ;

supposons que j ; avec  `  et la supra-classicite, on obtient que j ;

donc avec j et j , on obtient (^)j ; puis en appliquant la coupure,

on obtient que j .

2

Theoreme 4.3.16

Pourp =Uni, quel que soitm2fBo,Incl,Lex,E



g, la relation d'inference

non-monotone G-p-m, denie a l'aide des denitions 2.6.1 page 30 et 2.6.2 page 30, verie la propriete de cumulativite.

Preuve :

(pour m =InclouLex, voir aussi la section 4.3.1 page 153) Quel que soit

m2fBo,Incl,Lex,E 

g, on utilise la propriete 4.3.1. En eet, dans ce cas-la, toutes

les proprietes necessaires sont veriees (voir les theoremes 4.3.2.1 page 158, 4.3.2.7 page 165, 4.3.2.9page 166, 4.3.2.10page 168). On peut donc en conclure que la propriete

de cumulativite est veriee. 2

Theoreme 4.3.17

Pourp =Exi, quel que soitm2fBo,Incl,Lex,E



g, la relation d'inference

non-monotoneG-p-m, denie a l'aide des denitions 2.6.1 page 30 et 2.6.2 page 30, ne verie pas

la propriete de cumulativite.

Preuve :

On sait gr^ace a [GM94] que la propriete de cumulativite est equivalente

aux proprietes de coupure et de monotonie prudente quand les postulats de base sont veries.

Or, pour p =Exi,8m2fBo,Incl,Lex, E 

g, tous ces postulats de base sont veries

(voir les theoremes 4.3.2.1 page 158, 4.3.2.7 page 165, 4.3.2.8 page 166, 4.3.2.12 page suivante, 4.3.2.4 page 161, 4.3.2.3 page 160, 4.3.2.13 page 173), alors que les proprietes de coupure et de monotonie prudente ne sont pas veriees (voir les theoremes 4.3.2.9 page 166, 4.3.2.10 page 168). Donc la propriete de cumulativite n'est pas veriee. 2

Theoreme 4.3.18

Pour p = Arg, 8m 2 fBo,Incl,Lex,E



g, la relation d'inference non-

monotone G-p-m, denie a l'aide des denitions 2.6.1 page 30 et 2.6.2 page 30,ne verie pas la propriete de la cumulativite.

Preuve :

Il sut de prendre un contre-exemple ; posons la base E suivante :

x;! ;! ;x

!x x!

et posons  = ^.

8m, le calcul des sous-bases m-preferees de E fournit les resultats suivants : 8m2fIncl,Lexgles sous-bases m-preferees de E sont :

Y1=fx;! ; ;! ;x ;!xget

Y2=fx;! ; ;! ;x ; x!g;

pour m =Bo, parmi les sous-bases m-preferees de E, on trouve : Y1=fx;! ; ;! ;x ;!xg,

Y2=fx;! ; ;! ;x ; x!g;

pour m =E, les sous-bases m-preferees de E sont :

Y1= Cn(fx;! ; ;! ;x ;!xg) et

Y2= Cn(fx;! ; ;! ;x ; x!g) ;

pour E, on obtient :

8m2fIncl,Lexgles sous-bases m-preferees de E sont :

Y0

1 =f! ; x;! ; ;! ;x ;!xget

Y0

2 =f! ; x;! ; ;! ;x ; x!g;

pour m =Bo, parmi les sous-bases m-preferees de E, on trouve :

Y0

1 =f! ; x;! ; ;! ;x ;!xg,

Y0

2 =f! ; x;! ; ;! ;x ; x!g;

pour m =E, les sous-bases m-preferees de 

E sont : Y0 1 = Cn(f! ; x;! ; ;! ;x ;!xg) et Y0 2 = Cn(f! ; x;! ; ;! ;x ; x!g) ; pour E, on obtient :

8m2fIncl,Lexgles sous-bases m-preferees de E sont :

Y00

1 =f! ; x;! ; ;! ;x ;!xget

Y00

2 =f! ; x;! ; ;! ;x ; x!g;

pour m =Bo, parmi les sous-bases m-preferees de E, on trouve :

Y00

1 =f! ; x;! ; ;! ;x ;!xg,

Y00

2 =f! ; x;! ; ;! ;x ; x!g;

pour m =E, les sous-bases m-preferees de 

E sont :

Y00

1 = Cn(f! ; x;! ; ;! ;x ;!xg) et

Y00

8m, on constate que : 9Y 0 sous-base m-preferee de  E telle que Y 0 `  (les Y 0 1) et 8Y 0 sous-base m-preferee de E, Y 0 6`(:) ;  ` ; 9Y 00 sous-base m-preferee de  E telle que Y 00 ` (les Y 00 2) et 8Y 00 sous-base m-preferee de E, Y 00 6`(: ) ; 69Y 0sous-base m-preferee de  E telle que Y 0 ` et8Y 0sous-base m-preferee de E, Y 0 6`(: ). 2

4.3.2.12 Le ET

Rappelons que la propriete du ET se denit par j ;j

j^

Theoreme 4.3.19

8p2 fExi,Argg, 8m2 fBo,Incl,Lex,E



g, la relation d'inference non-

monotone G-p-m, denie a l'aide des denitions 2.6.1 page 30 et 2.6.2 page 30,ne verie pas la propriete du ET.

Preuve :

Pour G-Exi-m : Il sut de prendre un contre-exemple ; soit la base E suivante :

x;! ! ;x

!x x!

8m, le calcul des sous-bases m-preferees de E fournit les resultats suivants : 8m2fIncl,Lexgles sous-bases m-preferees de E sont :

Y1 =fx;! ; ! ;x ;!xget

Y2 =fx;! ; ! ;x ; x!g;

pour m =Bo, parmi les sous-bases m-preferees de E, on trouve :

Y1 =fx;! ; ! ;x ;!xg,

Y2 =fx;! ; ! ;x ; x!g;

pour m =E, les sous-bases m-preferees de E sont :

Y1 = Cn(fx;! ; ! ;x ;!xg) et

Y2 = Cn(fx;! ; ! ;x ; x!g) ;

pour E, on obtient :

8m2fIncl,Lexgles sous-bases m-preferees de E sont :

Y0

1 =f! ; x;! ; ! ;x ;!xget

Y0

2 =f! ; x;! ; ! ;x ; x!g;

pour m =Bo, parmi les sous-bases m-preferees de E, on trouve :

Y0

1 =f! ; x;! ; ! ;x ;!xg,

Y0

2 =f! ; x;! ; ! ;x ; x!g;

pour m =E, les sous-bases m-preferees de 

E sont : Y0 1 = Cn(f! ; x;! ; ! ;x ;!xg) et Y0 2 = Cn(f! ; x;! ; ! ;x ; x!g) ; 8m, on constate que : 9Y 0 sous-base m-preferee de  E telle que Y 0 ` (les Y 0 1) ; 9Y 0 sous-base m-preferee de  E telle que Y 0 ` (les Y 0 2) ; 69Y 0sous-base m-preferee de  E telle que Y 0 `(^ ).

Pour G-Arg-m : le contre-exemple applique au cas G-Exi-m s'applique ici aussi

et,8m, on constate que : 9Y 0sous-base m-preferee de  E telle que Y 0 ` (les Y 0 1) et8Y 0sous-base m-preferee de E, Y 0 6`(:) ; 9Y 0sous-base m-preferee de  E telle que Y 0 ` (les Y 0 2) et8Y 0sous-base m-preferee de E, Y 0 6`(: ) ; 69Y 0sous-base m-preferee de  E telle que Y 0 `^ . 2

Theoreme 4.3.20

Pour p = Uni, 8m 2 fBo,Incl,Lex,E



g, la relation d'inference non-

monotoneG-p-m, denie a l'aide des denitions 2.6.1 page 30 et 2.6.2 page 30, verie la propriete du ET.

Preuve :

(pour m =Bo,InclouLex, voir aussi section 4.3.1 page 153) La propriete

du ET est derivee des proprietes du systeme C (voir [KLM90]). Or, pour p = Uni,

8m2fBo, Incl,Lex,E 

g, la relation d'inference non-monotone G-p-m verie toutes

ces proprietes (voir section 4.3.1 page 153). Elle verie donc aussi la propriete du ET.

2

Dans le document Contribution à l'étude des relations d'inférence non-monotone combinant inférence classique et préférences (Page 179-184)