4.1.3 Etude de complexite des dierentes relations d'inference dans des cas particuliers

L'etude de complexite des relations d'inference presentees dans la section precedente est reprise ici en traitant quatre cas particuliers :

celui ou (E;<) est un ensemble totalement et strictement ordonne ; ce qui revient a dire que l'on a une base initiale E stratiee avec une seule formule par strate ;

celui ou (E;<) est un ensemble totalement ordonne de formules sous forme conjonctive normale (formules Cnf) ;

celui ou (E;<) est un ensemble totalement ordonne de conjonctions de clauses de Horn ; celui ou (E;<) est un ensemble totalement et strictement ordonne de conjonctions de clauses de Horn.

Les relations d'inference Uni (Exi, Arg)-T(S, Car, E) ne sont concernees ni par le premier,

ni par le dernier de ces quatre cas particuliers. En eet, ces relations d'inference ne tiennent pas compte de l'ordre sur E. On peut aussi montrer que, dans ces cas la, les problemes Uni (Exi, Arg)-Incl(Lex) deviennent equivalents (voir demonstration dans la section suivante).

L'etude du second cas particulier permet de traiter une sous-famille de la logique propositionnelle tres souvent utilisee (les clauses) mais ne permet cependant aucune simplication de la complexite des problemes etudies.

Dans le troisieme cas particulier, le problemeGsat devient polynomial et sera note Sat-Horn,

ce qui induit bien s^ur des complexites plus faibles pour les problemes poses.

Le quatrieme cas permet de combiner les premier et troisieme cas et d'obtenir ainsi de meilleurs resultats mais sur une classe de problemes tres restreinte.

4.1.3.1 Cas d'une base stratiee avec une seule formule par strate

Dans toute cette section, (E;<) denotera une base stratiee avec une seule formule par strate. Dans le cas particulier d'une base strictement stratiee, on a la propriete suivante :

Propriete 4.1.22

Soit< ordre total et strict surE, il y a une seule these preferee pour l'ordre

Preuve :

Prenons les notations suivantes : E = E1[:::[En(Ei strate composee d'une seule

formule), on note Fi= Ei\F,8i et8F sous-ensemble de E.

Rappelons les deux denitions suivantes :

Denition 4.1.7

SoientAetB deux sous-ensembles consistants deE,A =

A1[:::[AnetB = B1[:::[Bn,Aest prefere aB pour l'ordre \Inclusion

Based" (note B incl A) ssi il existei tel que Bi  Ai18 et 8j < i, Aj =

Bj19.

Denition 4.1.8

Soient A et B deux sous-ensembles consistants de E,

A = A1[:::[An et B = B1[:::[Bn, A est prefere a B pour l'ordre

lexicographique (noteB lexA) ssi il existei tel que jBij<jAij et8j < i, jAjj=jBjj.

Remarquons en premier lieu que, dans le cas d'une base dont les strates sont composees d'une seule formule, on a : 8i, Ai =? ou Ai =ffigavec fi la formule de la strate

numero i. De m^eme pour B.

Montrons alors que les deux ordres donnent le m^eme resultat :8B et8A, B inclA ,BlexA.

B inclA ,

9i tel que BiAi et8j < i, Aj = Bj ,

9i tel que Bi=?et Ai=ffiget8j < i, soit Aj = Bj =?, soit Aj= Bj=ffjg ,

9i tel que jBij= 0 etjAij= 1 et 8j < i, soit jAjj=jBjj= 0, soitjAjj=jBjj= 1 ,

9i tel que jBij<jAijet8j < i,jAjj=jBjj ,

B lexA.

Montrons ensuite l'unicite des theses preferees :

Denition 4.1.9

Une these preferee pour l'ordre \Inclusion Based"20_deE

est un ensemble S = S1[:::[Sn tel que 8k2[1:::n] S1[:::[Sk est un

sous-ensemble maximal consistant de E1[:::[Ek.

Cette denition induit le processus constructif suivant : pour chaque strate k en partant de la plus prioritaire, soit la formule fk (de la strate k) est consistante avec l'ensemble

solution deja construit, alors le nouvel ensemble solution est egal a l'union de ffkg

avec l'ancien ensemble solution, soit fk est inconsistante avec l'ensemble solution deja

construit, alors l'ensemble solution reste inchange. Dans tous les cas, a la n de chaque etape du processus, on a qu'un seul ensemble solution. 2

18_{Le symbole}denote l'inclusion stricte.

19_{Rappelons que cette denition correspond a l'ordre democratique.}

Theoreme 4.1.25 (Complexitede

Uni

(

Exi

,

Arg

)-

Bo

)

Dans le cas d'une base stratiee stric- tement,Uni-Bo(respectivementExi-Bo,Arg-Bo) est note 1/Strate-Uni-Bo(respectivement 1/Strate-Exi-Bo, 1/Strate-Arg-Bo). Les complexites sont :

siNP 6=co-NP, 1/Strate-Uni-Bo2
p2 - (NP [co-NP)

1/Strate-Exi-Bo estp2-complet

sip2 6= p2, 1/Strate-Arg-Bo 2
p3 - (p2 [ p2)

Preuve : Etude d'appartenance.

Contrairement a ce qui se passe pour les methodes \Inclusion Based" et lexicographique (voir propriete 4.1.22 page 110), je n'ai pas ici de simplication des algorithmes. En eet, le fait qu'il n'y ait qu'une formule par strate intervient dans le calcul des a(Y ) mais ne permet pas de se ramener a une seule et unique sous-base preferee pour l'ordre \Best-Out" (voir l'exemple donne a la section 2.2.4 page 19). On garde donc les m^emes resultats d'appartenance que ceux vus precedemment :

1/Strate-Uni-Boappartient au plus a la classe de complexite
p₂,

1/Strate-Exi-Boappartient au plus a la classe de complexite p₂,

1/Strate-Arg-Boappartient au plus a la classe de complexite
p₃.

Etude de completude.

Pour 1/Strate-Uni-Bo, on peut conserver exactement la m^eme demonstration

que celle du cas general, puisque les transformations utilisees denissent des bases avec une seule formule par strate.

On prouve donc que : 1/Strate-Uni-Bo2
p2 - (NP[co-NP).

Par contre, pour 1/Strate-Exi-Bo, la demonstration du cas general ne s'ap-

plique plus puisque la base E =fa1;:::;an;:a1;:::;:angn'est pas strictement

stratiee. Je propose alors une nouvelle transformation polynomiale : Soit \E;H", une instance deExi-S, posons :

- f(H) = H, - (f(E);<) =f?g[Estrat

avec?symbolisant la contradiction et constituant seul la

premiere strate et Estratl'ensemble constitue des formules de E

ordonnees strictement (ordre arbitraire).

D'apres la denition de l'ordre \Best-Out", leamax correspondant a f(E) est 1. Ainsi, les sous-bases preferees pour l'ordre \Best-Out" de f(E) sont exactement les sous-bases consistantes de Estrat, elles-m^eme etant les sous-bases consistantes

de E. On a donc :

9Y sous base consistante de E telle que Y `H ,

9Y sous base consistante preferee pour l'ordre \Best-Out" de f(E) telle que

Y `H

On a ainsiExi-S/1/Strate-Exi-Bo. Le probleme 1/Strate-Exi-Boest donc

p_2-complet.

Pour 1/Strate-Arg-Bo, je peux garder la m^eme demonstration que celle du cas

general en partant des problemes 1/Strate-Exi-Bo et co-1/Strate-Exi-Bo,

puisque les deux transformations polynomiales utilisees generent des sous-bases stratiees strictement. J'en conclus que 1/Strate-Arg-Bo2
p3- (p2 [p2) si

p2 6= p2.

Propriete 4.1.23 (

Uni

(

Exi

,

Arg

)-

Incl

et

Uni

(

Exi

,

Arg

)-

Lex

)

Comme il existe une unique these preferee a la fois pour l'ordre \Inclusion Based" et pour l'ordre lexicographique, on constate alors que les problemes Uni-Incl, Exi-Incl et Arg-Incl deviennent equivalents ainsi que les problemesUni-Lex,Exi-Lex etArg-Lex. J'obtiens ainsi un unique probleme note 1/Strate.

Theoreme 4.1.26 (Complexite de

Uni

(

Exi

,

Arg

)-

Incl

et

Uni

(

Exi

,

Arg

)-

Lex

)

1/Strate est
p2-complet.

Dans le document Contribution à l'étude des relations d'inférence non-monotone combinant inférence classique et préférences (Page 121-124)