Preuve : Etude d'appartenance et de completude.
4.3.2 Les nouveaux resultats
4.3.2.4 La conditionnalisation faible
Rappelons que la propriete de conditionnalisation faible se de nit par j j !
Theoreme 4.3.7
8p 2 fUni,Exi,Argg, 8m 2 fBo,Incl,Lex, E
g, la relation d'inference
non-monotone G-p-m, de nie a l'aide des de nitions 2.6.1 page 30 et 2.6.2 page 30, veri e la propriete de conditionnalisation faible.
Preuve :
Pour G-Uni-m : voir theoreme 2.6.1 page 43 et pour m =Bo,InclouLex, voir
aussi section 4.3.1 page 153. Pour G-Exi-m : 8m, j 9;m )8m, 9Y 0 sous-base m-preferee de E telle que Y0
` ; par de nition (voir section 2.2 page 7) les Y
0 ne peuvent avoir que
deux formes possibles : soit Y0=
f g[Y avec Y sous-base m-preferee de E ; alors on peut appliquer
le theoreme de la deduction et on obtient : 9Y sous-base m-preferee de E
telle que Y ` ! ;
soit Y0 =
f g[S avec S sous-ensemble de E qui n'est pas une sous-base
m-preferee de E ; S est donc issu d'une sous-base Y m-preferee de E incon- sistante avec )il existe Y sous-base m-preferee de E telle que Y `(: ) )il existe Y sous-base m-preferee de E telle que Y `(: )_ )il existe
Y sous-base m-preferee de E telle que Y `( ! ).
Pour G-Arg-m :8m, jA;m )8m,9Y
0sous-base m-preferee de E telle que Y0 ` et8Y 0sous-base m-preferee de E, Y 0 6`(: ) ; gr^ace a la demonstration
de la propriete de conditionnalisation faible pour les relations d'inference G-Exi-
m, on sait deja que \9Y
0sous-base m-preferee de
E telle que Y 0
` )9Y
sous-base m-preferee de E telle que Y `( ! )" ; raisonnons par l'absurde en
supposant que:(8Y sous-base m-preferee de E, Y 6`:( ! )) ; ceci implique
que 9Y sous-base preferee de E telle que Y ` :( ! ) ) 9Y sous-base m-
preferee de E consistante avec telle que Y [f g ` : ) 9Y
0 sous-base m-
preferee de E telle que Y 0
` : ) contradiction avec l'hypothese \8Y 0 sous-base m-preferee de E Y 0 6`(: )". 2
4.3.2.5 Le OU
Rappelons que la propriete du OU se de nit par j ; j
_ j
Rappel 4.3.1
Pourp =Uni,8m2fBo,Incl,Lex,E
g, la relation d'inference non-monotone
G-p-m, de nie a l'aide des de nitions 2.6.1 page 30 et 2.6.2 page 30, veri e la propriete du OU.
Preuve :
Voir section 4.3.1 page 153. 2Theoreme 4.3.8
8p 2 fExi,Argg, 8m 2 fBo,Incl,Lex, E
g, la relation d'inference non-
monotone G-p-m, de nie a l'aide des de nitions 2.6.1 page 30 et 2.6.2 page 30,ne veri e pas la propriete du OU.
Pour G-Exi-m : Il sut de prendre un contre-exemple ; soit la base E suivante
(strati ee en deux strates) :
x; ! ! ;x
!x x!
Le calcul des sous-bases m-preferees de E fournit les resultats suivants :
8m2fIncl,Lexgles sous-bases m-preferees de E sont :
Y1 =fx; ! ; ! ;x ;!xget
Y2 =fx; ! ; ! ;x ; x!g;
pour m =Bo, parmi les sous-bases m-preferees de E, on trouve37 :
Y1 =fx; ! ; ! ;x ;!xg,
Y2 =fx; ! ; ! ;x ; x!g;
pour m =E, les sous-bases m-preferees de E sont :
Y1 = Cn(fx; ! ; ! ;x ;!xg) et
Y2 = Cn(fx; ! ; ! ;x ; x!g) ;
pour E, on obtient :
8m2fIncl,Lexgles sous-bases m-preferees de E sont :
Y0
1 =f! ; x; ! ; ! ;x ;!xget
Y0
2 =f! ; x; ! ; ! ;x ; x!g;
pour m =Bo, parmi les sous-bases m-preferees de E, on trouve :
Y0
1 =f! ; x; ! ; ! ;x ;!xg,
Y0
2 =f! ; x; ! ; ! ;x ; x!g;
pour m =E, les sous-bases m-preferees de
E sont : Y0 1 = Cn(f! ; x; ! ; ! ;x ;!xg) et Y0 2 = Cn(f! ; x; ! ; ! ;x ; x!g) ; pour E, on obtient :
8m2fIncl,Lexgles sous-bases m-preferees de E sont :
Y00
1 =f! ; x; ! ; ! ;x ;!xget
Y00
2 =f! ; x; ! ; ! ;x ; x!g;
pour m =Bo, parmi les sous-bases m-preferees de E, on trouve :
Y00
1 =f! ; x; ! ; ! ;x ;!xg,
Y00
2 =f! ; x; ! ; ! ;x ; x!g;
pour m =E, les sous-bases m-preferees de
E sont : Y00 1 = Cn(f! ; x; ! ; ! ;x ;!xg) et Y00 2 = Cn(f! ; x; ! ; ! ;x ; x!g) ; pour ( _ )E, on obtient :
8m2fIncl,Lexgles sous-bases m-preferees de ( _ )E sont :
Y000
1 =f! ; ; x; ! ; ! ;x ;!xget
Y000
2 =f! ; ; x; ! ; ! ;x ; x!g;
pour m =Bo, parmi les sous-bases m-preferees de ( _ )E, on trouve :
Y000
1 =f! ; ; x; ! ; ! ;x ;!xg,
Y000
2 =f! ; ; x; ! ; ! ;x ; x!g;
pour m =E, les sous-bases m-preferees de (
_ )E sont :
Y000
1 = Cn(f! ; ; x; ! ; ! ;x ;!xg) et
37Je cite ici, parmi les sous-basesBo-prefereesdeE, les sous-bases maximalesconsistantes (voir la propriete2.6.3
page 37). Remarquonsalors que si ces sous-basesn'inferentpas une formulealors aucuneautre sous-baseBo-preferee
n'inferera cette formule. Cette remarque s'applique tres souvent dans les contre-exemples concernant le mecanisme
Y000 2 = Cn(f! ; ; x; ! ; ! ;x ; x!g) ; 8m, on constate que : 9Y 0 sous-base m-preferee de E telle que Y 0 ` (les Y 0 1) ; 9Y 00 sous-base m-preferee de E telle que Y 00 ` (les Y 00 2 ) ; 69Y 000sous-base m-preferee de ( _ )E telle que Y 000 ` .
Pour G-Arg-m : le contre-exemple applique au cas G-Exi-m s'applique ici aussi
et,8m, on constate que : 9Y 0sous-base m-preferee de E telle que Y 0 ` (les Y 0 1) et8Y 0sous-base m-preferee de E, Y 0 6`(: ) ; 9Y 00sous-base m-preferee de E telle que Y 00 ` (les Y 00 2) et8Y 00sous-base m-preferee de E, Y 00 6`(: ) ; 69Y 000sous-base m-preferee de ( _ )E telle que Y 000 ` et8Y 000sous-base m-preferee de ( _ )E, Y 000 6`(: ). 2
4.3.2.6 La monotonie rationnelle
Rappelons que la propriete de monotonie rationnelle se de nit par j ; j6:
^ j
Rappel 4.3.2
Quel que soit m 2 fIncl,E
g, la relation d'inference non-monotone G-Uni-m,
de nie a l'aide des de nitions 2.6.1 page 30 et 2.6.2 page 30,ne veri e pas la propriete de mono- tonie rationnelle.
Preuve :
Voir section 4.3.1 page 153. 2Rappel 4.3.3
Quel que soit m 2 fBo,Lexg, la relation d'inference non-monotone G-Uni-m,de nie a l'aide des de nitions 2.6.1 page 30 et 2.6.2 page 30, veri e la propriete de monotonie rationnelle.
Preuve :
Voir section 4.3.1 page 153. 2Theoreme 4.3.9
Pour p =Exi, quel que soitm2fBo,Incl,Lex,E
g, la relation d'inference
non-monotone G-p-m, de nie a l'aide des de nitions 2.6.1 page 30 et 2.6.2 page 30, veri e la propriete de monotonie rationnelle.
Preuve :
Elle utilise le lemme suivant :Lemme 4.3.1
8m2fBo,Incl,Lex,E
gun mecanisme de selection, soient et
deux formules, soit Y une sous-base m-preferee de E qui est -consistante alors
Y [f gest une sous-base m-preferee de ( ^ )E.
Preuve :
Pour m = InclouLex, d'apres les theoremes de caracterisation 2.6.3
page 33 et 2.6.7 page 40, on sait que Y =f g[S avec S sous-ensemble
de E, S -consistant et S m-prefere parmi les sous-bases de E - consistantes ; sachant que Y est -consistante, on obtient que S est ^ -consistant, donc S est m-prefere parmi les sous-bases de E ^ -
consistantes ; en e et, si ne n'etait pas le cas, on aurait un sous-ensemble S0 m-prefere a S qui serait
^ -consistant, donc -consistant et donc
Pour m = Bo, d'apres le theoreme de caracterisation 2.6.4 page 37, on
sait que Y = f g[S avec S E, S -consistant et N( E)S ;
sachant que Y est -consistante, on obtient que S est ^ -consistant
et que N( E) est ^ -consistant ; donc N(( ^ )E) = N( E)
et Y [f gest une sous-base preferee de ( ^ )E.
Pour m =E, comme je me restreins au cas des defauts super-normaux,
je peux utiliser la propriete donnee dans [Bre89b] qui prouve, dans ce cas la, qu'il est toujours possible de trouver une strati cation de la base permettant d'obtenir les m^emes resultats avec le mecanisme Inclque
ceux obtenus avec le mecanisme E ; je pose ainsi E la base strati ee
composee des deux strates E0 et E1 avec E0 = W consistant et E1 =
fles consequents de chaque defaut de Dg; a chaque Y sous-base incl-
preferee de E correspond une extension YEde (W[f g;D) telle que
YE = Cn(Y ) ; donc si YE est -consistante alors Y est -consistante ;
sachant que la propriete est vraie pour Incl, on obtient que Y [f g
est incl-preferee de ( ^ )E, donc YE[f g est une extension de
( ^ )(W;D). 2 8m2fBo, Incl,Lex,E g, j et j6(: ))9Y 0sous-base m-preferee de E telle que Y ` et 8Y 0 sous-base m-preferee de E, Y 0
6` (: ), donc toutes les
sous-bases m-preferees de E sont -consistantes ) 9Y
0sous-base m-preferee de
E telle que Y 0
[f g` ; or par le lemme 4.3.1 page precedente, Y 0 [f gest une sous-base m-preferee de ( ^ )E)9Y 00sous-base m-preferee de ( ^ )E telle que Y00 ` )( ^ )j 2
Theoreme 4.3.10
Pour p = Arg, quel que soit m2 fBo,Incl,Lex,E
g, la relation d'infe-
rence non-monotone G-p-m, de nie a l'aide des de nitions 2.6.1 page 30 et 2.6.2 page 30, ne veri e pas la propriete de monotonie rationnelle.
Preuve :
Il sut de prendre un contre-exemple ; soit la base E strati ee en deuxstrates suivante :
x; ! ; !x
!x x!
8m, le calcul des sous-bases m-preferees de E fournit les resultats suivants : 8m2fIncl,Lexgles sous-bases m-preferees de E sont :
Y1=fx; ! ; ; !x ;!xget
Y2=fx; ! ; ; !x ; x!g;
pour m =Bo, parmi les sous-bases m-preferees de E, on trouve :
Y1=fx; ! ; ; !x ;!xg,
Y2=fx; ! ; ; !x ; x!g;
pour m =E, les sous-bases m-preferees de E sont :
Y1= Cn(fx; ! ; ; !x ;!xg) et
Y2= Cn(fx; ! ; ; !x ; x!g) ;
pour E, on obtient :
8m2fIncl,Lexgles sous-bases m-preferees de E sont :
Y0
1 =f! ; x; ! ; ; !x ;!xget
Y0
pour m =Bo, parmi les sous-bases m-preferees de E, on trouve :
Y0
1 =f! ; x; ! ; ; !x ;!xg,
Y0
2 =f! ; x; ! ; ; !x ; x!g;
pour m =E, les sous-bases m-preferees de
E sont : Y0 1 = Cn(f! ; x; ! ; ; !x ;!xg) et Y0 2 = Cn(f! ; x; ! ; ; !x ; x!g) ; pour ( ^ )E38, on obtient :
8m2fIncl,Lexgles sous-bases m-preferees de ( ^ )E sont :
Y00
1 =f! ;! ; x; ! ; ; !x ;!xget
Y00
2 =f! ;! ; x; ! ; ; !x ; x!g;
pour m =Bo, parmi les sous-bases m-preferees de ( ^ )E, on trouve :
Y00
1 =f! ;! ; x; ! ; ; !x ;!xg,
Y00
2 =f! ;! ; x; ! ; ; !x ; x!g;
pour m =E, les sous-bases m-preferees de (
^ )E sont : Y00 1 = Cn(f! ;! ; x; ! ; ; !x ;!xg) et Y00 2 = Cn(f! ;! ; x; ! ; ; !x ; x!g) ; 8m, on constate que : 9Y 0 sous-base m-preferee de E telle que Y 0 ` (les Y 0 1) et 8Y 0 sous-base m-preferee de E, Y 0 6`(: ) ; 8Y 0 sous-base m-preferee de E, Y 0 6`(: ) ; 9Y 00sous-base m-preferee de ( ^ )E telle que Y 00 ` (les Y 00 1 ) et9Y 00sous-base
m-preferee de ( ^ )E telle que Y 00
`(: ) (les Y 00
2).
2
4.3.2.7 L'equivalence logique gauche
Rappelons que la propriete d'equivalence logique gauche se de nit par j= $ ; j
j
Theoreme 4.3.11
8p2 fUni,Exi,Argg,8m 2fBo,Incl,Lex,E
g, la relation d'inference
non-monotone G-p-m, de nie a l'aide des de nitions 2.6.1 page 30 et 2.6.2 page 30, veri e la propriete d'equivalence logique gauche.
Preuve :
Pour G-Uni-m : voir section 4.3.1 page 153.
Pour G-Exi-m : (pour G-Exi-E, voir aussi section 4.3.1 page 153) on sait que
j ,9Y 0sous-base m-preferee de E telle que Y 0 ` ; or,8m Y 0est de la forme S
[f gavec S un sous-ensemble de E m-prefere parmi
les sous-ensembles -consistants ;
d'autre part, on sait que est equivalent a , donc 8S sous-ensemble de E m-
prefere parmi les sous-ensembles -consistants, S est aussi un sous-ensemble de E m-prefere parmi les sous-ensembles -consistants, donc S[f gest une sous-base
m-preferee de E ; donc 9Y 0 sous-base m-preferee de E telle que Y 0 ` ) 9S sous-ensemble
de E m-prefere parmi les sous-ensembles -consistants tel que S[f g` ; or,
38Rappelons que je me situe dans un cadre syntaxique. Ceci implique que la formule ^ est un tout indivisible,
est equivalent a , donc S[f get S[f gont exactement les m^emes conse-
quences logiques ) 9S sous-ensemble de E m-prefere parmi les sous-ensembles
-consistants tel que S[f g` )9Y
00sous-base m-preferee de
E telle que
Y00 ` .
Pour G-Arg-m : on applique le m^eme raisonnement que pour G-Exi-m ;
on sait que, etant equivalent a , 8S, S[f get S[f g ont exactement les
m^emes consequences logiques, on obtient que :
9Y 0 sous-base m-preferee de E telle que Y 0 ` et8Y 0sous-base m-preferee de E, Y 0 6`: )9Y 00sous-base m-preferee de E telle que Y 00 ` et8Y 00 sous-base m-preferee de E, Y 00 6`: . 2
4.3.2.8 L'a aiblissement droit
Rappelons que la propriete d'a aiblissement droit se de nit par j= ! ; j
j
Theoreme 4.3.12
8p2 fUni,Exi,Argg,8m 2fBo,Incl,Lex,E
g, la relation d'inference
non-monotone G-p-m, de nie a l'aide des de nitions 2.6.1 page 30 et 2.6.2 page 30, veri e la propriete d'a aiblissement droit.
Preuve :
Pour G-Uni-m : voir section 4.3.1 page 153.
Pour G-Exi-m : (pour G-Exi-E, voir aussi section 4.3.1 page 153) on sait que j= ! , ` ! ; on sait aussi que j , 9Y
0 sous-base m-preferee de E telle que Y 0 ` ; donc9Y 0sous-base m-preferee de E telle que Y 0 ` .
Pour G-Arg-m : on sait que j= ! , ` ! ; on sait aussi que j , 9Y 0 sous-base m-preferee de E telle que Y 0 ` et8Y 0sous-base m-preferee de E, Y 0 6`(: ) ; donc9Y 0sous-base m-preferee de E telle que Y 0 ` et 8Y 0 sous-base m-preferee de E, Y 0
6`(: ) (ce dernier point se prouve en
raisonnant par l'absurde car s'il existe Y0sous-base m-preferee de
E telle que
Y0
`: alors il existe aussi Y
0sous-base m-preferee de E telle que Y 0 `: , puisque j= ! ,j=: !: ). 2
4.3.2.9 La coupure
Rappelons que la propriete de la coupure se de nit par j ; ^ j
j
Rappel 4.3.4
Pourp =Uni,8m2fBo,Incl,Lex,E
g, la relation d'inference non-monotone
G-p-m, de nie a l'aide des de nitions 2.6.1 page 30 et 2.6.2 page 30, veri e la propriete de la coupure.
Preuve :
voir section 4.3.1 page 153. 2Theoreme 4.3.13
8p2 fExi,Argg, 8m2 fBo,Incl,Lex,E
g, la relation d'inference non-
monotone G-p-m, de nie a l'aide des de nitions 2.6.1 page 30 et 2.6.2 page 30,ne veri e pas la propriete de la coupure.
Pour G-Exi-m : il sut de prendre un contre-exemple ; posons la base E strati ee
en deux strates suivante :
x; ! ; ! ;x
!x x!
8m, le calcul des sous-bases m-preferees de E fournit les resultats suivants : 8m2fIncl,Lexgles sous-bases m-preferees de E sont :
Y1 =fx; ! ; ; ! ;x ;!xget
Y2 =fx; ! ; ; ! ;x ; x!g;
pour m =Bo, parmi les sous-bases m-preferees de E, on trouve : Y1 =fx; ! ; ; ! ;x ;!xg,
Y2 =fx; ! ; ; ! ;x ; x!g;
pour m =E, les sous-bases m-preferees de E sont :
Y1 = Cn(fx; ! ; ; ! ;x ;!xg) et
Y2 = Cn(fx; ! ; ; ! ;x ; x!g) ;
pour E, on obtient :
8m2fIncl,Lexgles sous-bases m-preferees de E sont :
Y0
1 =f! ; x; ! ; ; ! ;x ;!xget
Y0
2 =f! ; x; ! ; ; ! ;x ; x!g;
pour m =Bo, parmi les sous-bases m-preferees de E, on trouve :
Y0
1 =f! ; x; ! ; ; ! ;x ;!xg,
Y0
2 =f! ; x; ! ; ; ! ;x ; x!g;
pour m =E, les sous-bases m-preferees de
E sont : Y0 1 = Cn(f! ; x; ! ; ; ! ;x ;!xg) et Y0 2 = Cn(f! ; x; ! ; ; ! ;x ; x!g) ; pour ( ^ )E, on obtient :
8m2fIncl,Lexgles sous-bases m-preferees de ( ^ )E sont :
Y00
1 =f! ;! ; x; ! ; ; ! ;x ;!xget
Y00
2 =f! ;! ; x; ! ; ; ! ;x ; x!g;
pour m =Bo, parmi les sous-bases m-preferees de ( ^ )E, on trouve :
Y00
1 =f! ;! ; x; ! ; ; ! ;x ;!xg,
Y00
2 =f! ;! ; x; ! ; ; ! ;x ; x!g;
pour m =E, les sous-bases m-preferees de (
^ )E sont : Y00 1 = Cn(f! ;! ; x; ! ; ; ! ;x ;!xg) et Y00 2 = Cn(f! ;! ; x; ! ; ; ! ;x ; x!g) ; 8m, on constate que : 9Y 0 sous-base m-preferee de E telle que Y 0 ` (les Y 0 1) ; 9Y 00 sous-base m-preferee de ( ^ )E telle que Y 00 ` (les Y 00 2) ; 69Y 0sous-base m-preferee de E telle que Y 0 ` .
Pour G-Arg-m : le contre-exemple applique au cas G-Exi-m s'applique ici aussi
et,8m, on constate que : 9Y 0sous-base m-preferee de E telle que Y 0 ` (les Y 0 1) et8Y 0sous-base m-preferee de E, Y 0 6`(: ) ; 9Y 00 sous-base m-preferee de ( ^ )E telle que Y 00 ` (les Y 00 2) et 8Y 00 sous-base m-preferee de ( ^ )E, Y 00 6`(: ) ; 6 9Y 0 sous-base m-preferee de E telle que Y 0 ` et 8Y 0 sous-base m- preferee de E, Y 0 6`(: ). 2