Suivi de la déformée

A partir de chaque image, comme celle de la figure II.3a, nous sommes capables de déterminer les coordonnées de chaque point de la fibre (figure II.3b). Le détail de la détermination des coordonnées (x, y) de la fibre figure au chapitre sur le proto- cole expérimental. A partir de ces déformées en coordonnées (x, y), il est possible de déterminer l’angle local θ(s) que forme la fibre avec l’axe x en fonction de l’abscisse

II.2. Évolution globale de la déformée de la fibre 19

(a) (b) _(c)

FigureII.3 – (a) Image zoomée de l’intrus et du milieu granulaire. (b) Reconstruction de la déformée de l’intrus (rouge) et détermination de la position des centres des grains (bleu) à partir de l’image a. (c) Définition de l’angle local θ(s), de la déflexion de l’extrémité libre δ et de ℓ, avancée relative de l’extrémité encastrée de l’intrus par rapport au milieu granulaire.

curviligne s (voir figureII.3c). On dispose donc de deux systèmes de coordonnées (x, y) et (s, θ(s)) pour décrire la déformée de l’intrus.

θ(s) étant une matrice colonne ayant de l’ordre de 200 à 300 éléments (correspon-

dant au nombre de points de discrétisation de la fibre), nous avons choisi de nous intéresser d’abord à l’évolution de quantités scalaires pour quantifier le comportement de l’intrus. Notre choix s’est alors porté sur deux quantités : la courbure de l’intrus à l’encastrement c0 ainsi que la déflexion latérale de l’extrémité libre δ.

Dans la figureII.3c, nous définissons également l’avancée de l’extrémité encastrée de l’intrus ℓ qui est en fait proportionnelle au temps écoulé depuis le début de l’expérience

τ = ℓ/V0. Cela nous permet de parler de durée de pénétration lorsque nous nous

interessons à cette quantité. En général, nous adimensionnerons ℓ par le diamètre des gros grains d2 = 5 mm.

En illustration, la figure II.4montre la superposition des déformées de la fibre cal- culées dans 4 cas. La figureII.4a correspond aux 30 premières images d’une expérience avec L = 2.5 cm, φ0 = 81.54% et t = 350 µm. On peut observer que la déformée

fluctue autour de sa position initiale qui est rectiligne et semble être contenue dans une enveloppe. Dans le cas d’une fibre plus longue, c’est à dire pour la figureII.4b (où

L = 2.5 cm, φ0 = 81.54% et t = 350 µm), on observe de nouveau une fluctuation des

positions successives des déformées.

Si l’on intéresse à la suite de l’évolution de la déformée des deux même fibres (figures II.4c etII.4d), on observe qu’au bout d’un certain temps, les fibres se défléchissent d’un côté et se courbent de manière régulière. Pour la fibre de 5 cm, on observe parfois des modes de flexion différents comme pour la déformée A qui présente un point d’inflexion. Par ailleurs, les figures II.4c et II.4d correspondent à des avancés totales de l’intrus égales. La fibre la plus courte est davantage défléchie que la fibre longue durant cette même avancée.

20 Chapitre II. Reconfiguration d’une fibre flexible

(a)

(c)

(b)

(d)

Figure II.4 – Dans les 4 figures, O correspond à l’extrémité visible de la fibre du côté de l’encastrement. (a) Evolution de la déformée de l’intrus pour les 30 premières images d’une expérience avec L = 2.5 cm, φ0 = 81.54% et t = 350 µm (soit de ℓ = 0

à ℓ = 2.67 d2). (b) Evolution de la déformée de l’intrus du début d’une expérience

avec L = 5 cm, φ0 = 81.54% et t = 350 µm. La première déformée correspond à

ℓ = 0 (fibre droite), la dernière à ℓ = 8.67 d2 et 2 déformées successives sont espacées

de ℓ = 0.33 d2. (c) Evolution de la déformée du même intrus que (a) plus tard dans

l’expérience. La première déformée correspond à ℓ = 14.67 d2 (point A), 2 déformées

successives sont espacées de ℓ = 0.33 d2 et une avancée totale de ℓ = 10.83 d2 sépare les

déformées A et B. (d) Evolution de la déformée du même intrus que (b) plus tard dans l’expérience. La première déformée correspond à ℓ = 29.33 d2 (point A), 2 déformées

successives sont espacées de ℓ = 0.33 d2 et une avancée totale de ℓ = 10.83 d2 sépare

II.2. Évolution globale de la déformée de la fibre 21 a Courbure à l’encastrement

c0 est déterminé à partir des coordonnées (x, y) des 40 premiers points de la dé-

formée sur 200 à 300 au total. Ces 40 points sont ajustés par un polynome d’ordre 2 :

xf it = αy2+ βy + γ. La courbure à l’encastrement vaut alors c0 = 2a (1+(2αy(0)+β)2

)3/2

où y(0) est l’abscisse de l’encastrement. Le principal intérêt de l’évaluation de cette courbure à l’encastrement est qu’elle permet une estimation de la contrainte subie par la fibre. En effet, si l’on note s l’abscisse curviligne et u la coordonnée normale, la dé- formation longitudinale de la fibre au point (s, u) est égale à : ǫss= −uc(s) où c(s) est

la courbure à l’abscisse s. Donc σss = −Euc(s) avec E le module d’Young du mylar.

En particulier, le maximum de la valeur absolue de cette contrainte σmax est obtenue

en |u| = +t/2 et au point d’encastrement, on a (t étant l’épaisseur de la fibre) :

σmax =

Etc0

2 (II.1)

Pour chaque déformée, nous calculons donc ce σmax et, à partir de la détermi-

nation expérimentale de la courbure c0, nous déterminons pour quelle déflexion δ on

atteint la limite élastique du mylar qui a été discutée dans le chapitre 2. Pour rappel, cette limite élastique vaut ΣY = 56.6 MP a. La figureII.5indique pour quelle déflexion

δY cette limite est atteinte. Ainsi, lorsque δ atteindra cette valeur δY, l’hypothèse d’une

déformation élastique de l’intrus est remise en cause. En particulier, on remarque que quelle que soit la longueur de l’intrus, on prédit que la limite élastique est atteinte par l’intrus dans toutes les expériences ; autrement dit, la fibre plastifie toujours pour une certaine déflexion.

Afin de vérifier la cohérence des limites élastiques trouvées, on peut se demander quelle est la courbure caractéristique d’une fibre en l’assimilant à une portion de cercle d’ouverture angulaire β et dont le rayon R∗ _{est l’inverse de sa courbure c}∗

0 (voir figure

II.5b). On a par construction :

R∗

.β = L δ + R∗

.cos(β) = R∗

Dans la limite où β est petit, on utilise le développement limité cos(β) ≈ 1 − β2_/2,

on obtient que : c∗ 0 = 1 R∗ = 2δ L2 (II.2)

On remarque que la relation (II.2) respecte la loi d’échelle c∗

0 ≈ Lδ2. En injectant

l’expression (II.2) dans l’expression du seuil de plastification (II.1), on obtient une estimation de la déflexion δp pour laquelle la fibre devrait plastifier :

δp L ≈ ΣY E L t (II.3)

Pour L = 2 cm, l’équation (II.3) prévoit une plastification pour δp

L = 0.85. Celà

surrestime le résultat expérimental de la figure II.5a pour la même longueur (points noir). Par ailleurs, l’équation (II.3) prévoit des deflexions limitesδp

22 Chapitre II. Reconfiguration d’une fibre flexible

(a)

(b)

Figure II.5 – (a) Déflexion δY pour laquelle la limite élastique ΣY est atteinte. Les

points sont obtenus par moyennage sur 10 expériences et les barres d’erreur corres- pondent à l’erreur type de la moyenne. (b) Schéma permettant de calculer la courbure d’une fibre en l’assimilant à une portion de cercle.

des valeurs de L plus grandes ; autrement dit, la fibre ne devrait jamais plastifier pour

L ≥ 2.5 cm.

En fait, l’expression (II.3) est inexacte pour une fibre encastrée ou si la courbure n’est pas constante ; cependant, elle a l’avantage de donner les bonnes dépendances de

δp avec les caractéristiques mécaniques (E, ΣY) et géométriques (h, t) de la fibre.