Résultats concernant les fibres qui basculent

Afin d’étudier de manière quantitative la pénétration d’une fibre dans le cas où le basculement a lieu, nous avons défini plusieurs observables. Nous reprenons ici les résultats principaux présentés dans les chapitres précédents. La première observable relative à la fibre est liée à la déformation de l’intrus puisqu’il s’agit de la déflexion latérale de l’intrus δ (voir figure V.4a). Nous avons également défini des quantités liées à la réorganisation des grains. La première est la compacité des grains le long de la fibre, de part et d’autre de celle-ci φ+ et φ− (voir figure V.4b). La deuxième

correspond à l’ensemble des grains ralentis par la fibre Ncluster (figure V.5a). Enfin,

nous nous sommes intéressés à une observable couplant les grains et la fibre : les forces latérale Fx et de traînée Fy s’exerçant sur la fibre (figureV.6). Nous disposons à la fois

de mesures expérimentales et de simulations numériques pour les forces.

Nous allons à présent tenter de comprendre comment le système milieu granu- laire/fibre se comporte en mettant en parallèle des résultats liés aux différentes obser- vables dont nous disposons.

V.1. Rappel des principaux résultats 89

(a) (b)

FigureV.3 – (a) Diagramme de phase expérimental dans le plan (φ0, L) sur lequel on

a ajouté la longueur critique prévue par l’équation (V.3) (en bleu) pour t = 350 µm. (b) Diagramme de phase dans le plan (φ0, t) sur lequel on a ajouté l’épaisseur critique

prévue par l’équation (V.3) (en bleu) pour L = 2.5 cm.

(a) (b)

Figure V.4 – (a) Évolution de la déflexion de la fibre δ en fonction de l’avancée

ℓ − ℓα moyennée sur 10 expériences avec L = 3 cm , φ0 = 80.94% et t = 350 µm (en

noir). Cette courbe est ajustée par une exponentielle croissante (en bleu). (b) Moyenne glissante sur des fenêtres de 10 points de φ+ et φ− sur les 10 mêmes expériences.

90 Chapitre V. Discussion

(a) _(b)

Figure V.5 – (a) Cluster obtenu (grains rouges) pour une image (avec L = 3 cm,

φ0 = 80.94% et à ℓ = 24.25 d2) avec un critère de détection γ = 0.5. (b) Force

moyenne appliquée par grain en fonction de L.

(a) (b)

FigureV.6 – (a) Évolution de la force latérale moyennée Fx sur 10 expériences (avec

L = 3 cm, φ0 = 80.85% et t = 350 µm) et comparaison avec deux simulations nu-

mériques avec des forces orthogonales à la fibre. La première simulation correspond à une répartition homogène de forces, sur la seconde, la force locale est proportion- nelle au sinus de l’angle local. (b) Évolution de la force de traînée moyennée Fy sur

les mêmes expériences et comparaison avec la force de traînée obtenue pour les deux mêmes simulations.

V.1. Rappel des principaux résultats 91 a A partir de quand la fibre bascule-t-elle ?

On peut se demander à quoi correspond la transition entre régime I de petites fluctuations et le régime II de basculement. Pour toutes nos observables, le régime I correspond à des fluctuations autour de leur valeur initiale : fluctuation autour de 0 pour δ, Fx, Fyet Ncluster; compacités φ+et φ−qui sont égales. Le régime II correspond

à une évolution plus régulière de ces observables. δ, Fx, Fy et Ncluster augmentent dans

le régime de basculement tandis que φ+ et φ− commencent à avoir des évolutions

distinctes.

Nous avons pu déterminer un seuil assez précis grâce à la déflexion latérale δ. Nous avons pu montrer que la transition entre les régimes I et II correspond à une déflexion égale typiquement à un rayon de grain (δ1max≈ d2/2).

Notre interprétation est que le système doit atteindre un certain seuil pour pouvoir basculer dans le régime II. Comme nous l’avons vu sur les figuresV.2etV.3, ce seuil ne peut être atteint que dans certaines conditions expérimentales. Cependant, la durée nécessaire pour atteindre le seuil n’est pas reproductible à cause du fait que le régime de petites fluctuations est fondamentalement stochastique car régi par des événements aléatoires d’arrivée de grains sur l’extrémité de la fibre.

b Comment la fibre bascule-t-elle ?

Nous avons montré que toutes les observables ont une évolution très reproductible dans le régime de basculement.

C’est le cas en particulier de la déflexion δ qui croît exponentiellement avec la distance de pénétration ℓ sur une bonne partie du régime de basculement (voir figure V.4a). Par ailleurs, l’évolution de la déflexion dans ce régime II dépend peu de la compacité φ ou de la longueur L.

En ce qui concerne les compacités latérales, il apparaît que la compacité φ− a

tendance à décroître et à tendre vers 0. En amont de la fibre, la compacité φ+ a, quant

à elle tendance à augmenter et à converger vers une valeur identique quelle que soit la compacité de départ φ0.

Par ailleurs, les forces latérales et de traînée cessent de fluctuer autour de 0 et croissent à partir du moment où la fibre bascule. Nous avons surtout cherché à compa- rer l’évolution des forces en fonction de l’observable δ (voir figureV.6). Nous obtenons des courbes très reproductibles, aussi bien pour Fx que pour Fy. Les simulations numé-

riques nous ont permis de montrer que ces évolutions sont compatibles avec un char- gement orthogonal et uniforme le long de la fibre pour des fibres “courtes” (L < 4cm). Enfin, le nombre de grains dans le cluster augmente en moyenne dans ce régime de basculement. Nous avons montré que Nclusterest proportionnel à la force de traînée Fy.

Ainsi, on peut calculer une force moyenne appliquée par grain au cours de ce régime

II. Cette force par grain est constante, ne dépend pas de L et son ordre de grandeur

correspond au frottement des grains sur la paroi horizontale du dispositif (voir figure V.5b).

Les interprétations que nous pouvons faire est que le régime de basculement corres- pond au développement d’une asymétrie aussi bien au niveau de la déflexion de la fibre que de l’organisation du milieu granulaire. Cette évolution du système est parfaitement déterministe. Les grains situés en amont de la fibre se compactent tandis qu’une cavité

92 Chapitre V. Discussion

se crée à l’arrière de la fibre. Au cours de cette compaction, le cluster de grains formé en amont de la fibre frotte sur la paroi horizontale et impose des efforts proches d’un chargement orthogonal et uniforme sur la fibre (pour L < 4cm).

c Jusqu’où la fibre bascule-t-elle ?

En ce qui concerne la compacité latérale, la fin du régime II est difficile à obser- ver car la cavité est déjà formée. Cependant, pour les autres observables, l’évolution déterministe prend fin au bout d’un certain temps.

Aux fortes déflexions δ, on observe des évolutions régulières pendant une certaine durée. Ces évolutions régulières sont entrecoupées par des discontinuités brusques cor- respondant à des reconfigurations de la fibre. Par ailleurs, le cluster de grains peut se détruire suite à de tels événements, ce qui a pour conséquence une valeur plus faible de

Ncluster dans le régime III comparé au régime II. Nous rappelons également que nous

observons parfois des déflexions hors plan dans ce régime III ainsi que la plastification de notre intrus, ce qui nous limite dans l’exploitation de ce régime.

Nous interprétons ces observations comme des événements de chargements de la fibre interrompus par des déchargements brusques que l’on peut comparer à des ava- lanches.