II.2 Évolution globale de la déformée de la fibre
II.2.3 Détail des 3 régimes
Maintenant que nous avons défini les 3 régimes de pénétration de l’intrus et que nous avons déterminé dans quelles conditions on peut les observer, nous allons chercher à les étudier l’un après l’autre et à les caractériser.
a Régime de petites fluctuations
Dans cette section, nous allons chercher à caractériser le régime de petites fluc- tuations, aussi bien pour des situations où seul ce régime est observé au cours de l’expérience que des situations où il n’est que transitoire avant que ne commence le ré- gime de basculement. Nous allons commencer par définir un critère de fin de ce régime ;
II.2. Évolution globale de la déformée de la fibre 27
(a)
(b)
Figure II.9 – (a) Conditions d’obtention des trois régimes (point noirs) ou du seul régime de petites fluctuations (losanges rouges) en fonction des paramètres L et φ0
en imposant t = 350 µm. Pour L = 2cm et φ0 = 81.99%, les deux cas peuvent être
obtenus. (b) Conditions d’obtention des trois régimes (point noirs) ou du régime de petites fluctuations seul (losanges rouges) en fonction des paramètres t (épaisseur de l’intrus) et φ0 et en imposant L = 3 cm.
28 Chapitre II. Reconfiguration d’une fibre flexible
Figure II.10 – Evolution de δ/L en fonction de ℓ/d2 pour 10 expériences avec les
II.2. Évolution globale de la déformée de la fibre 29
(a) (b)
FigureII.11 – (a) Zoom sur 4 des courbes de la figureII.10 correspondant au régime de petites fluctuations. (b) Définition des grandeurs δ1 et ℓ1.
autrement dit, à quel moment peut-on considérer que le régime de petites fluctuations est terminé et que le régime de basculement commence ?
b Extension maximale des fluctuations
Sur la figure II.11a se trouve un zoom de 4 courbes de la figure II.10 centré sur le régime de déflexion. On peut voir que pour certaines expériences, la position de l’extrémité de la fibre ne fluctue que sur une durée très courte avant de transiter vers le régime de basculement (courbe noire). Bien que l’on puisse imaginer que la transition ne soit pas définitive tant que δ est suffisamment petit, il est difficile de définir précisément à quel endroit la transition a lieu sur ces exemples-là. Cependant, dans d’autres cas, δ présente plusieurs oscillations autour de 0 avant que la fibre ne se défléchisse d’un côté de manière définitive (courbe violette de la figureII.11a). Nous allons nous appuyer sur ces cas-là afin de définir un critère pour la transition. Nous pouvons être sûrs qu’avant ℓ0 qui correspond au dernier passage de δ par 0, le système
est à tout moment dans le régime de petites fluctuations. Afin de savoir par quoi sont bornées ces oscillations, nous nous sommes intéressés à la valeur maximale que prenait |δ| avant ce dernier passage par 0 ; nous noterons cette valeur δ1. Cette quantité ne peut
être déterminée que dans les expériences présentant des oscillations (soit typiquement 5 à 10 expériences sur 10 expériences au total pour les mêmes paramètres).
Sur la figureII.11b, on voit que δ1diffère suivant l’expérience considérée. On s’inté-
resse alors au majorant de ces valeurs que l’on appelle δ1max que nous avons représenté
sur la figure II.12a. Par ailleurs sur la figure II.12b, nous représentons la moyenne des δ1. La première remarque que nous pouvons faire est que la distribution de δ1 est
large étant donné que son maximum (figureII.12a) est 2 à 3 fois supérieur à sa valeur moyenne (figureII.12a). Par ailleurs, les fluctuations sont plus grandes pour les expé- riences pour lesquelles le régime de basculement n’est pas observé, soit les expériences à L = 2 cm et à φ0 < 82%.
Dans les cas où l’on observe une transition vers le régime de basculement, il semble que ni la longueur de l’intrus L, ni la compacité φ0 n’aient un effet significatif puisque
30 Chapitre II. Reconfiguration d’une fibre flexible
(a) (b)
Figure II.12 – (a) Maximum des δ1 sur les expériences présentant au moins une
oscillation en fonction des paramètres de contrôle L et φ0. (b) Moyenne des δ1 sur les
expériences présentant au moins une oscillation. Les barres d’erreur correspondent à l’erreur type de la moyenne. Ces deux quantités sont adimensionnées par le diamètre des grains d2.
sa moyenne (figure II.12). Le point important est que le majorant δ1max de δ1 est de
l’ordre de 0.5 d2 c’est à dire un rayon de grain, indépendamment de la longueur de la
fibre ou de la compacité.
c Durée du régime de petites fluctuations
Nous considérons que le majorant de δ1 défini au paragraphe précédent est la valeur
maximale que peut prendre δ avant que le système ne transite dans le régime de basculement. Nous avons donc pris pour définition de fin du régime d’oscillation le point où δ dépasse δ1max. Par construction, ce point a forcément lieu après le dernier
passage par 0 de δ. On note alors ℓ1 la distance de pénétration de l’intrus de ce point
là (voir figureII.11b). Notons qu’étant donné que le plateau est translaté à une vitesse constante V0 = 5/6 mm.s−1, ℓ1 correspond au temps t1 = ℓ1/V0 donc ℓ1 caractérise
indirectement la durée du régime de petites fluctuations. Une fois identifiée cette valeur de ℓ1 sur chacune des expériences, nous calculons sa moyenne < ℓ1 > (figure II.13).
Nous constatons que dans la plupart des expériences, < ℓ1> est compris entre 1 et 6 d2.
Cependant, le point correspondant à L = 2cm et φ0 = 82.3% se détache nettement.
Cela est lié au fait que ce point est juste au-dessus de la limite définissant la transition entre régimes de petites fluctuations et de basculement (voir figure II.9a). On aurait pu s’attendre à ce que < ℓ1 > décroisse avec L étant donné qu’un intrus de plus grande
longueur devrait se déflechir de δ = d2/2 pour une force plus faible donc à priori plus
rapidement : cela semble être le cas pour L = 2 cm. Pour l’ensemble des autres points, il est assez difficile de dégager une tendance aussi bien en ce qui concerne la dépendance en φ0 que la dépendance en L.
Dans la préparation de notre milieu granulaire, nous écartons initialement les grains le long de la fibre pour éviter qu’il y ait des contacts. Ainsi, comme discuté précedem- ment, tant que la fibre n’a pas avancé d’au moins sa longueur, on est sensible à cette préparation. Or dans la plupart des expériences, ℓ1 est inférieur à 5 d2. Une petite
II.2. Évolution globale de la déformée de la fibre 31
Figure II.13 – Moyenne de ℓ1 sur 10 expériences en fonction de L et φ0. Les barres
d’erreurs correspondent à l’erreur-type de la moyenne.
variation de l’écartement initial entre les grains et la fibre peut modifier de manière dramatique la répartition des forces que ceux-ci peuvent exercer latéralement sur la fibre. Au vu de cette limite expérimentale, notre protocole expérimental n’est pas adapté à l’étude de la durée de ce premier régime. Par ailleurs, même en s’affranchis- sant de ce problème de préparation, il faudrait une statistique bien plus grande que 10 expériences pour étudier quantitativement le comportement de la fibre qui est très dépendant de la configuration initiale des grains.
d Régime d’avalanches
Nous avons fait le choix au cours de cette thèse de ne pas nous focaliser sur le troisième régime, dit d’avalanches, pour plusieurs raisons liées à des difficultés expéri- mentales. D’une part, lorsque la fibre est très longue, donc très facilement déformable, elle finit par être tellement déflechie qu’elle est cachée par le porte-fibre, la rendant invisible sur les images. D’autre part, lors de ce régime d’avalanches, la fibre est sou- mise à des contraintes importantes. Il arrive alors qu’elle flambe hors plan, c’est à dire que son extrémité libre passe au-dessus des grains. Nous sortons alors du cadre bi-dimensionnel de l’expérience. Enfin, comme discuté plus tôt dans ce chapitre, nous sommes au-delà de la limite élastique dans ce régime d’avalanches, ce qui se traduit par une plastification de la fibre au niveau de l’encastrement. Nous avons malgré tout tenté de caractériser ce régime.
Sur les relevés de déflexion latérale en fonction de la distance de pénétration, on peut observer que la valeur maximale atteinte par la déflexion semble peu varier entre les différentes expériences (voir figureII.10) ; rappelons que ce maximum de δ corres- pond à un intrus dont l’extrémité libre est perpendiculaire par rapport à son orientation initiale (ce qui correspond à θ(L) ≈ 90◦). Cette valeur maximale, notée δ
32 Chapitre II. Reconfiguration d’une fibre flexible
(a) (b)
Figure II.14 – (a) Evolution du maximum de δ correspondant à un intrus défléchi à 90◦ en fonction de L et φ
0. (b) Zoom sur le régime d’avalanches et définition de
l’amplitude des discontinuités et de la durée du chargement (L = 3 cm , φ0 = 80.94%
et t = 350 µm).
culée pour les expériences réalisées à L et φ0 variables (voir figureII.14a). On constate
que δmax varie comme L et que δmax/L est de l’ordre de 0.9. De plus, la compacité ne
semble pas avoir d’effet sur la valeur de δmax/L. Cette valeur est en fait imposée par le
type d’encastrement ; par exemple, pour une extrémité rotulée, on aurait δmax/L = 1.
Avec un encastrement tel que le nôtre, on trouve une valeur de 0.9. Cette valeur peut paraître un peu grande mais cela est lié au fait que la fibre plastifie en fin de parcours au niveau du point d’encastrement.
Le régime d’avalanches est caractérisé par des chargements où la flèche δ décroît de manière régulière (voir événement AB des figures II.14b et II.15a) suivi par des déchargements caractérisés par une discontinuité de δ (voir événement BC des figures II.14b et II.15b).
Nous avons tenté de quantifier les événements de déchargements (voir définition figureII.14b). Nous avons considéré qu’une discontinuité correspondait à un décharge- ment si son amplitude dépassait 0.01 en unité de δ/L afin de différencier les événements du bruit. Pour avoir suffisamment de statistiques, nous avons combiné tous les événe- ments de chargements et de déchargement des expériences à L = 3 cm pour différentes valeurs de φ0. Nous déterminons alors la durée des chargements qui sont situés entre
deux événements de déchargement. La figure II.16a indique la distribution de ces du- rées. Le même tracé en échelle semi-logarithmique pour l’axe des ordonnées II.16b nous suggère d’ajuster cette distribution par une exponentielle. Cet ajustement a un bon accord avec la distribution obtenue, ce qui indique que la distribution est plutôt large. Les paramètres d’ajustement de l’exponentielle nous permettent de calculer une durée caractéristique qui vaut ℓ/d2 = 0.95 ± 0.08 ; autrement dit, un événement de
chargement de la fibre correspond à une avancée typique de la fibre d’une taille de grain.
Nous avons quantifié l’amplitude des événements de déchargement en calculant les aires balayées par la fibre lors de ces événements (comme par exemple l’aire comprise
II.2. Évolution globale de la déformée de la fibre 33
(a) (b)
Figure II.15 – (a) Evolution du profil de la fibre entre 30 images successives corres- pondant à un événement de chargement (de ℓ = 33.92 d2 à ℓ = 36.33 d2 sur la figure
II.14b). (b) Evolution du profil de la fibre entre 2 images successives correspondant à un événement de déchargement (soit ℓ = 36.33 d2 sur la figure II.14b ; les courbes B
des deux graphes sont identiques). 0 est l’extrémité visible de la fibre proche du point d’encastrement.
(a) (b)
Figure II.16 – (a) Distribution de la durée des chargements en unité de ℓ/d2 lors
du régime d’avalanches pour des expériences à L = 3cm. Ajustement par une loi exponentielle (en noir). (b) Même distribution en échelle semi-logarithmique pour l’axe des ordonnées.
34 Chapitre II. Reconfiguration d’une fibre flexible
entre les déformées B et C de la figure II.15b). La statistique de ces aires balayées pour des expériences à L = 3 cm est présentée en figureII.17 avec une échelle linéaire sur la figure II.17a, une échelle semi-logarithmique sur la figure II.17b et une échelle log-log sur la figure II.17c. Les aires sont adimensionnées par l’aire d’un gros grain :
S2 = π.d 2 2
4 . Un ajustement exponentiel (courbe noire) nous permet cette fois de calculer
une aire balayée caractéristique de (0.65 ± 0.07) S2. Cependant, nous avons également
effectué un ajustement par une loi de puissance (courbe verte) dont l’exposant vaut 0.68 ± 0.13. Nous ne disposons pas de suffisamment de statistiques pour déterminer quelle distribution (exponentielle ou loi de puissance) permet le mieux d’ajuster les données.
e Régime de basculement
Comme nous l’avons vu dans la section précédente, une fois que la flèche δ atteint environ un rayon de grain, le système transite du régime de petites fluctuations vers le régime de basculement. Nous allons quantifier ce régime de basculement en étudiant les comportements moyens de l’évolution de δ sur 10 expériences avec les mêmes conditions expérimentales.
Le fait que δmax varie peu entre les 10 expériences d’une même série (voir figure
II.14a) nous autorise à définir une moyenne des δmaxet à nous intéresser au point où δ
atteint la moitié du δmax moyen. La distance de pénétration correspondant à ce point,
que nous appellons ℓα, correspond alors à une durée caractéristique de la déflexion.
Cependant, la valeur de ℓα caractérise à la fois le régime de petites fluctuations et le
début du chargement. Il faut donc s’intéresser à la quantité ℓ2 = ℓα− ℓ1 si l’on veut
avoir une distance caractéristique du régime de basculement seul (voir figure II.18). On observe que la série d’expérience correspondant à L = 2 cm et φ0 = 82.3% donne
une distance de second régime bien plus longue que les autres. Cela est dû au fait que les événements de chargement/déchargement caractéristiques du troisième régime de déflexion ont parfois lieu dès le régime de basculement (voir par exemple la courbe
L = 20 cm de la figureII.20b). De ce fait, la courbe δ versus ℓ n’est pas régulièrement
croissante en régime de basculement et il est difficile d’identifier le point où δ atteint
δmax/2.
f Moyennage des déflexions grâce à la longueur à mi-hauteur ℓα
On remarque que les croissances de δ avec ℓ sont comparables entre les différentes expériences d’une série ; cependant, elles interviennent à des moments différents à cause de la durée variable du régime de petites fluctuations. Afin de s’affranchir de ce premier régime, il est possible de définir ℓαcomme nouvelle origine pour l’échelle des ℓ de chaque
expérience. On peut alors tracer l’évolution de δ en fonction de ℓ−ℓα(voir figureII.19a).
On constate que les évolutions sont très similaires et l’on peut s’intéresser à la moyenne de ces 10 courbes (voir courbe noire de la figure II.19b).
En particulier, l’écart-type de δ nous renseigne sur la nature des 3 régimes de dé- flexion (voir figureII.19c). Ainsi dans le régime de basculement (autour de ℓ − ℓα= 0),
l’écart-type de δ/L ne dépasse pas la valeur de 0.04 alors qu’il très fluctuant et plus grand dans le régime d’avalanches. Le régime de basculement apparaît comme une tran-
II.2. Évolution globale de la déformée de la fibre 35
(a)
(b) (c)
Figure II.17 – (a) Distribution des aires balayées par la fibre lors d’événements de déchargement adimensionnées par l’aire d’un gros grain S2. Ajustement par une loi
exponentielle (en noir) et par une loi de puissance (en vert). (b) Même distribution en échelle semi-logarithmique pour l’axe des ordonnées. (c) Même distribution en échelle logarithmique pour les deux axes.
36 Chapitre II. Reconfiguration d’une fibre flexible
(a) (b)
FigureII.18 – (a) Moyenne de ℓαsur 10 expériences en fonction de L et φ0. Les barres
d’erreurs correspondent à l’erreur-type de la moyenne. (b) Moyenne de ℓα moins la
moyenne de ℓ1.
sition entre deux régimes de “fluctuations” : le premier régime de petites fluctuations autour de la position d’équilibre et le troisième régime de chargement/déchargement. Bien que ces deux régimes soient régis par des processus stochastiques, le régime de transition est, lui, complètement déterministe.
g Comparaison des courbes moyennées en faisant varier les paramètres de contrôle L et φ0
On procède de même pour les autres séries d’expériences en superposant les régimes de basculement grâce au recalage par les paramètres ℓα. Sur la figureII.20a, nous avons
superposé les courbes de déflexion moyennes pour différentes expériences correspondant à une même longueur L = 4 cm mais pour lesquelles la compacité varie. Les évolutions sont très semblables pour les 4 compacités et il ne semble pas y avoir d’effet de la compacité sur la façon dont la fibre se défléchit.
Sur la figure II.20b, nous présentons les courbes correspondant à une compacité de φ0 = 82.3% mais pour des longueurs de fibre variables. La courbe à L = 2 cm
se démarque des autres car elle correspond au cas particulier où des événements de chargement/déchargement ont lieu pendant le régime de basculement. Pour les autres expériences, la pente de la courbe est plus abrupte pour les fibres les plus courtes.
L’évolution de la déflexion avec les paramètres de contrôle sera discutée plus am- plement dans le chapitre 5 concernant le modèle de compaction.
h Modélisation du début du régime de basculement
Nous constatons que le début de la croissance de δ peut être approchée par une exponentielle croissante comme le montrent les figures II.21. Plus précisément, nous avons ajusté cette croissance par :
δ L = δmax 2L exp (ℓ − ℓ α)/d2 λ/d2 (II.4)
II.2. Évolution globale de la déformée de la fibre 37
(a)
(b) (c)
Figure II.19 – (a) Evolution de δ des expériences correspondant à la figure II.10 (L = 3 cm , φ0 = 80.94% et t = 350 µm). (b) Moyenne de δ des 10 courbes précédentes.
(c) Ecart-type de δ des 10 courbes de (a). Le début de la courbe où l’écart-type est nul correspond à des moyennes sur 1 seule réalisation.
38 Chapitre II. Reconfiguration d’une fibre flexible
(a)
(b)
FigureII.20 – (a) Evolution de la moyenne de δ pour des fibres de longueur L = 4 cm mais avec 4 compacités différentes. (b) Evolution de la moyenne de δ pour des fibres de longueur différentes mais ayant la même compacité φ0= 82.3%.
II.2. Évolution globale de la déformée de la fibre 39
(a) (b)
FigureII.21 – (a) Point expérimentaux de la figure II.19b (en noir) ajustés par l’ex- pression de la formule (II.4) (courbe continue bleue). (b) Même figure avec une échelle verticale logarithmique.
où δmaxest la valeur moyenne des valeurs maximales de δ discutée précédement. Par
construction, la courbe de fit et la courbe moyenne passent par le point de coordonnées (ℓ = ℓα,δmax2L ). Le seul paramètre d’ajustement de l’équation (II.4) est donc λ/d2. La
figureII.21 montre que l’expression de l’équation (II.4) ajuste correctement la courbe de déflexion. Nous avons procédé à ce type de fit pour l’ensemble des paramètres de contrôle. La figureII.22présente la valeur obtenue par fit pour λ/d2pour les différentes
expériences. Il apparaît que λ dépend peu des paramètres de contrôle ce que l’on retrouve par le fait que les courbes d’évolution de δ sont très proches, notamment sur la figureII.20a.
40 Chapitre II. Reconfiguration d’une fibre flexible
Figure II.22 – Evolution du paramètre de fit λ/d2 en fonction des paramètres de
contrôle L et φ0. Des barres d’erreurs sont présentes sur le graphe mais elles sont
Chapitre III
Réorganisation du milieu granulaire
Jusqu’à présent, nous nous sommes intéressés essentiellement au comportement de la fibre lors de la pénétration du milieu granulaire. Cependant, la pénétration est une interaction fluide/structure et il est indispensable d’étudier parallèlement le com- portement de la fibre et celui du milieu granulaire. Nous allons chercher à comprendre comment la fibre modifie l’arrangement des grains et leur écoulement, en particulier au cours des trois régimes de pénétration que nous avons décrits dans la partie précédente.
III.1 Compacité granulaire
III.1.1 Comportement moyen de l’organisation des grains
Avant de s’intéresser au comportement des grains situés à proximité de l’intrus et qui interagissent directement avec lui, nous allons chercher à caractériser le compor- tement moyen du milieu granulaire loin de la fibre. Un des premiers paramètres pour caractériser l’arrangement des grains est la compacité du milieu granulaire.
a Compacité coarse-grainée
Plusieurs méthodes de calculs de compacité d’un granulaire existent. La première consiste simplement à compter le nombre de grains n dans une certaine zone de surface
s. La compacité moyenne dans cette zone vaut alors φ =n.Sgrain
s où Sgrainest la surface
d’un grain. Cependant, si on s’intéresse à la dynamique du granulaire, des grains vont entrer et sortir en permanence de la zone de calcul, ce qui va se traduire par une évolution très discontinue de φ. Une autre méthode utilise la tesselation de Voronoï [56] qui contient une information sur le voisinage de chaque grain en calculant le rapport entre l’aire réelle d’un grain et l’aire de sa cellule de Voronoï. Enfin, la méthode de calcul de la compacité par coarse-graining ou lissage [24] permet de lisser φ et d’obtenir des évolutions de compacités moins bruitées.