Cluster des grains ralentis par la fibre

a Évolution sur une expérience

Nous allons nous appuyer sur le déplacement Ulab calculé entre deux images dans

le référentiel du laboratoire. Le critère que nous avons choisi est de considérer qu’un grain est ralenti par la fibre si son déplacement Ulab est inférieur à U0 − γ.λ où λ

est l’écart-type de la distribution de Ulab et γ un critère de détection qui varie entre

0.5 et 2. Cela correspond aux grains situés à gauche de la limite verte sur la figure III.17 avec γ = 1/2. Par la suite, nous allons nous intéresser à l’ensemble des grains vérifiant ce critère. Cet ensemble de grains n’est pas forcément connecté mais, par abus de langage nous appellerons cet ensemble de grain un “cluster”. Nous souhaitions déterminer lesquels de ces grains sont connectés entre eux et/ou sont en contact avec la fibre mais nous n’avons pas pu mener jusqu’au bout cette étude dans le cadre de la thèse par manque de temps.

La figure III.18indique quel cluster on obtient sur 3 fois la même image avec des critères de détection γ différents. Le nombre de grains dans le cluster obtenu au final dépend du choix du critère de détection γ. Par exemple, si l’on prend un critère à γ = 1 (imageIII.18c) écart-type au lieu de γ = 1/2 (imageIII.18b), le nombre de grains dans

III.2. Distributions de déplacement 57

(a) (b)

Figure III.16 – Champs de déplacement des grains à proximité de la fibre sur une expérience avec L = 30 mm et φ = 80.85%. Le champ de déplacement est calculé dans le référentiel du plateau comme si la fibre avançait de U0 vers les y > 0. Les

vecteurs représentant les déplacements des grains sont amplifiés d’un facteur 40. La fibre est rabattue sur la gauche avec son point d’encastrement en (0, 0). (a) Champ de déplacement entre deux images précédant un chargement. (b) Champ de déplacement de la même zone pour le couple d’images suivants, c’est à dire entre une image juste avant le déchargement et une image juste après.

(a) (b)

Figure III.17 – (a) Distribution de la norme des déplacements corrigés dans le réfé- rentiel du laboratoire Ulab cumulés sur 10 expériences avec L = 30 mm et φ = 80.85%.

58 Chapitre III. Réorganisation du milieu granulaire

(a) (b) (c)

Figure III.18 – Clusters obtenus (grains rouges) pour une même image (avec L = 3 cm, φ0 = 80.94% et à ℓ = 24.25 d2) mais avec des critères de détection γ différents.

(a) γ = 0.25. (b) γ = 0.5. (b) γ = 1.

le cluster va typiquement être divisé par 2. Par ailleurs, les grains qui sont détectés avec le critère à γ = 1 le sont aussi à γ = 1/2. On remarque qu’il est important de ne pas prendre un critère avec γ trop faible car, en pratique on est limité par le champ de la caméra et on risque de ne pas détecter des grains qui vérifieraient le critère mais qui sont hors champ (imageIII.18a). Autrement dit, si l’on a des clusters plus grands qu’un millier de grains, ils risquent d’être en partie en dehors du champ de la caméra qui comporte 1600 grains. Il peut donc y avoir un effet de saturation du nombre de grains dans le cluster si l’on prend un critère trop large (γ trop petit). On souhaite donc prendre γ le plus petit possible pour avoir un grand nombre de grains dans le cluster mais en évitant ce problème de limitation du champ de la caméra. Nous avons pris pour la suite γ = 1/2 qui est un bon compromis.

La figure III.19correspond à 4 images successives sur lesquelles nous avons repéré quels grains vérifient le critère Ulab < U0− λ/2 (γ = 1/2). Ces grains sont ensuite

coloriés en rouge. On peut observer que le cluster de grains rouges croît entre ces images. A l’inverse, il arrive que le cluster se détruise subitement, comme entre les deux images successives de la figure III.20.

b Évolution pour 10 expériences semblables

Ce travail a été répété sur l’ensemble des images de 10 expériences avec les mêmes conditions expérimentales (L = 3 cm et φ0 = 80.85%) et l’on a compté à chaque fois

le nombre de grains dans le cluster. Nous noterons cette quantité Ncluster. L’évolution

de Ncluster en fonction de l’avancée de la fibre ℓ est représentée en figureIII.21a. On

peut observer que cette quantité est très fluctuante et que ces fluctuations semblent augmenter au cours de chaque expérience. Afin d’étudier le comportement de Ncluster

dans les différents régimes de déflexion, nous avons choisi de représenter le nombre de grains du cluster en fonction de (ℓ − ℓα)/d2 où ℓα est l’avancée de l’intrus à mi-

hauteur déterminée dans le chapitre 2 (figure III.22a). On observe que Ncluster a un

comportement semblable sur chaque expérience : en début d’expérience (ℓ − ℓα <

−10 d2), la taille du cluster est petite puis commence à augmenter à partir de (ℓ−ℓα =

−10 d2). Cependant, étant donné que la taille du cluster est très fluctuante, nous

avons choisi de moyenner ces évolutions. Pour cela, nous découpons l’axe (ℓ − ℓα)/d2

III.2. Distributions de déplacement 59

(a)

(c)

(b)

(d)

FigureIII.19 – 4 images successives de l’intrus et du milieu granulaire où l’on a dessiné en rouge les grains faisant partie du cluster avec un critère γ = 1/2. L’image (a) est à

ℓ = 24.1 d2.

Figure III.20 – 2 images successives de l’intrus et du milieu granulaire où l’on a dessiné en rouge les grains faisant partie du cluster avec un critère γ = 1/2 ; le cluster se détruit entre les deux images. La première image est à ℓ = 26.7 d2.

60 Chapitre III. Réorganisation du milieu granulaire

FigureIII.21 – Nombre de grains présents dans le cluster en fonction de l’avancée de l’intrus ℓ pour 10 expériences avec L = 30 mm et φ = 80.85%.

(a) (b)

Figure _{III.22 – (a) Nombre de grains présents dans le cluster en fonction de ℓ − ℓ}α

pour 10 expériences avec L = 30 mm et φ = 80.85%. (b) Moyennage du graphe (a) sur des fenêtres de ℓ − ℓα de largeur 1 d2.

III.2. Distributions de déplacement 61

(a) (b)

FigureIII.23 – (a) Nombre de grains présents dans le cluster en fonction de la déflexion latérale δ. Obtenu en moyennant les données de 10 expériences à L = 30 mm et

φ0 = 80.85% sur des fenêtres de δ. (b) Nombre de grains présents dans le cluster

(critère γ = 1/2) en fonction de la force de traînée Fy.

expériences dans cette fenêtre (figure III.22b). On retrouve le fait que Ncluster est

petit en début d’expérience puis sa moyenne et ses fluctuations augmentent en milieu d’expérience (−10 d2< ℓ − ℓα< 5 d2), ce qui correspond au régime II de basculement

et enfin la valeur moyenne de Ncluster diminue pendant le régime III. L’interprétation

que l’on peut faire de ces observations est que le cluster est petit voire parfois inexistant dans le régime I de petites fluctuations. Par ailleurs, sa taille augmente en moyenne bien qu’elle fluctue beaucoup dans le régime II de basculement c’est à dire que le cluster se construit comme sur les images de la figureIII.19. Enfin dans le régime III, à cause des évènements de destruction (images III.20), la valeur moyenne de Ncluster

diminue.

Pour vérifier si Nclusterpermet bien de caractériser la transition entre les régimes de

petites fluctuations (I) et de basculement (II), nous traçons l’évolution de Ncluster en

fonction de la déflexion de l’intrus que nous avons déterminée par ailleurs (voir chapitre 2). Précisons que pour chaque couple d’images, on fait correspondre la déflexion δ de la première des 2 images et le nombre de grains dans le cluster ; ensuite, on moyenne l’évolution de Ncluster en fonction de δ sur des fenêtres de δ/L de largeur 0.025 comme

sur la figureIII.23a. Ce moyennage est donc indépendant de celui de la figureIII.22b. On observe qu’à faible déflexion (δ/L < 0.2), la valeur moyenne de Ncluster ainsi que

ses fluctuations sont faibles. Puis on sort progressivement de ce plateau lorsque δ/L augmente. Il semble donc bien que Ncluster caractérise la transition entre régimes de

petites fluctuations (I) et de basculement (II).

Nous avons également tracé Nclusteren fonction d’une autre quantité caractéristique

de cette transition qui est la force de traînée Fy mesurée par le capteur de force. La

figure III.23b représente l’évolution de Ncluster en fonction de Fy avec un moyennage

sur des fenêtres de largeur 0.033 N puisque nous avons découpé en 30 fenêtres. De nouveau, une corrélation apparaît entre Nclusteret Fy; de plus, à faible force (Fy < 0.4

N), il semble que les deux quantités sont proportionnelles. Pour le vérifier, nous avons ajusté le début de cette courbe par une régression linéaire en imposant le passage par

62 Chapitre III. Réorganisation du milieu granulaire

(a) (b)

Figure III.24 – (a) Zoom de la courbeIII.23b et fit linéaire des premiers points. (b) Coefficient directeur p de ce fit linéaire pour différentes séries d’expériences correspon- dant à des longueurs d’intrus différentes. φ vaut 80.85% pour toutes ces expériences. 0 (voir figure III.24). La quantité la plus simple à interpréter est l’inverse de la pente de cette régression qui correspond à une force par grain et que l’on notera p. La valeur de p est ici égale à 0.93 ± 0.09 mN par grain.

c Évolution avec la longueur L

Nous avons effectué le même travail pour des séries de 10 expériences avec des longueurs d’intrus différentes et nous avons à chaque fois observé que Ncluster était

proportionnel à Fy à faible force. A chaque fois, nous avons effectué un ajustement

pour déterminer la valeur du paramètre p. Son évolution en fonction de la longueur de l’intrus est présentée en figureIII.24b. Il apparaît que p ne dépend pas sensiblement de

L et que sa valeur est toujours comprise entre 0.9 et 1.55 mN par grains. On peut se

demander d’où vient cette valeur de force caractéristique indépendante de L. On peut la comparer avec la force de frottement entre un grain et le fond en verre du dispositif puisque c’est la force maximale qu’un grain individuel peut exercer sur la fibre. Cette force vaut Ff rot= µ.m.g où µ est le coefficient de frottement et m la masse du grain ;

elle vaut 1.00 mN pour un petit grain et 1.75 mN pour un gros. Le fait que ces forces soient du même ordre de grandeur indique que la force de traînée ressentie au niveau de l’intrus vient directement du frottement des grains du cluster sur la paroi en verre. Notons qu’en fonction du choix du seuil γ pour déterminer quels grains appar- tiennent au cluster, on obtient des forces par grain différentes. C’est à dire que, par exemple, si l’on a des clusters deux fois plus petits avec un autre critère, la force par grain est doublée et est de 1.86 mN par grains au lieu de 0.93 mN. Mais dans tous les cas, ce qui compte c’est que l’ordre de grandeur d’environ 1 mN par grains est respecté. Autrement dit, nous pouvons attribuer les efforts de traînée exervés sur la fibre au frottement sur le fond d’un bloc solide constitué par les grains du cluster.

Au-delà de ce régime linéaire d’évolution de Ncluster avec Fy, nous constatons sur

la figure III.23b que la taille du cluster sature alors que la force de traînée continue à augmenter. Cette gamme de force au-delà de 0.4 N correspond au régime III d’ava- lanches pour lequel de grands événements de chargement/déchargement se produisent

III.3. Conclusion 63