Champ de déplacement des grains

a Calcul des déplacements dans le référentiel du plateau

Nous avons réalisé un travail préliminaire consistant à étudier les distributions de déplacements des grains dans le champ de vision. Nous noterons Ux et Uy les

déplacements des grains entre deux images successives dans le référentiel de la fibre (qui est aussi le référentiel du laboratoire). Pour rappel, l’axe y correspond à la direction de déplacement du plateau et l’axe x la direction perpendiculaire. Le plateau se déplace à la vitesse V0 = 5/6 mm/s et la fréquence d’acquisition des images est de 2 Hz ;

donc le déplacement entre deux images est de |U0| = 5/12 mm = 0.417 mm (soit

54 Chapitre III. Réorganisation du milieu granulaire

(a) (b)

FigureIII.13 – (a) Distributions des déplacement des grains entre deux images succes- sives Uy. (b) Mode des distributions de Uy pour une expérience complète à L = 30 mm

et φ = 80.85% en fonction de l’avancée de l’intrus ℓ.

perturbé par l’intrus devrait avoir un déplacement nul dans le référentiel du plateau ce qui correspond à un déplacement Ux = 0 et Uy = U0 dans le référentiel du laboratoire.

Sur la figure III.13a, nous avons tracé la distribution typique de Uy entre deux

images successives quelconques d’une expérience à L = 30 mm et φ0 = 80.85%. La

distribution est faite sur environ 2000 grains qui sont visibles sur les 2 images. Comme on peut le voir, le maximum, c’est à dire le mode de cette distribution est décalé par rapport à U0et se situe à −0.39mm. Pour un autre couple d’images, ce mode peut être

différent et cette fois-ci inférieur à U0. Sur la figure III.13b, nous nous intéressons à

l’évolution du mode de la distribution de Uy pour tous les couples d’images successifs

de l’expérience. On peut voir que ce mode fluctue autour de U0, ce qui explique le

décalage observé sur la figureIII.13a. Nous pensons que ce bruit vient de la translation du plateau qui n’est pas uniforme.

Afin de comprendre l’origine de ces flucuations du mode de Uy, nous étudions les

déplacements Ux et Uy pour une expérience où l’on fait avancer le support du milieu

granulaire mais où l’on enlève la fibre. Lorsque l’on trace l’évolution des modes de Ux

et de Uy(voir figureIII.14), on se rend compte que ces modes ne sont pas constants. En

effet, le mode de Ux(figureIII.14a) fluctue entre −0.005 et +0.005 mm, soit ±1.2% U0.

Le mode Uy (figure III.14a) fluctue autour de U0 et la fluctuation est plutôt de l’ordre

de 10% U0. Ainsi, la fluctuation observée à la figureIII.13b n’est pas liée à la présence

de la fibre. Par ailleurs, lorsque le moteur est à l’arrêt, les fluctuations des modes sont quasi-inexistantes. Nous pouvons donc en conclure que ces fluctuations viennent d’une non uniformité de la translation du moteur, sans doute par la rotation vis-à-vis de la vis mère entraînant le plateau et produisant des à coups à la fréquence d’avancée du pas de vis.

Pour corriger cette non uniformité, nous avons considéré que tous les modes de Uy

pour les distributions de déplacement successifs entre 2 images devraient être égaux à U0. Ainsi, nous décalons chaque distribution de Uy entre deux images successives

(comme celle de la figure III.13a) afin que leur mode corresponde à U0. La figure

III.2. Distributions de déplacement 55

(a) (b)

Figure III.14 – (a) Mode des distributions de Ux pour une expérience sans fibre en

fonction de l’avancée de l’intrus ℓ. (b) Mode des distributions de Uypour une expérience

sans fibre en fonction de l’avancée de l’intrus ℓ..

distribution est cumulée sur toute l’expérience. Le maximum de cette distribution est bien calé sur U0grâce au travail préliminaire réalisé précédemment et l’écart-type vaut

0.042 mm soit 0.10 U0. La distribution est asymétrique car son coefficient d’asymétrie

ou skewness (moment centré réduit d’ordre 3) est non-nul et vaut −0.1226. L’origine de cette asymétrie vient essentiellement du grand nombre de grains plus lents que le plateau, correspondant à |Uycor| < U0 soit la droite de la distribution.

Par ailleurs, nous réalisons le même travail de correction des distributions de Ux

afin que leur mode soit cette fois-ci égal à 0. La distribution cumulée de Ux ainsi

corrigée que l’on notera Uxcor est représentée en figure III.15a. Cette distribution est

centrée en 0 et est moins large que celle de Uycor puisque son écart-type vaut 0.036 mm

soit 0.086 U0. Elle est également plus symétrique même si l’on peut imaginer que la

déflexion de l’intrus d’un côté introduit une asymétrie au niveau de cette distribution. A partir des déplacements Uxcor et Uycor décrits précédemment, on peut avoir

accès à la norme du déplacement de chaque grain dans le référentiel du laboratoire que nous noterons Ulabet défini par : Ulab2 = Uxcor2+ Uycor2. La distribution de Ulab pour

une expérience à L = 30 mm et φ0 = 80.85% est représentée en figure III.17. Elle a

une moyenne correspondant à 0.415 mm soit 0.995 U0 et un écart-type de 0.039 mm

soit 0.093 U0. Les grains correspondant à Ulab< U0 sont plus lents que le plateau. Par

la suite, nous allons utiliser un critère sur ce déplacement Ulab pour déterminer quels

grains sont ralentis par la fibre.

b Champs de déplacements lors d’une avalanche

Nous avons représenté les champs de déplacements des grains dans le référentiel du plateau entre deux images dans le voisinage de la fibre III.16. Nous amplifions ces champs de déplacement d’un facteur 40 pour une meilleure visualisation. Nous nous sommes interessés au comportement qualitatif de ce champ dans le régime III d’avalanches. La figure III.16a correspond à un champ de déplacement calculé entre deux images successives d’un événement de chargement. Loin de la fibre, le champ de déplacement semble être nul, ce qui correspond à des grains se déplaçant à la même

56 Chapitre III. Réorganisation du milieu granulaire

(a) (b)

FigureIII.15 – (a) Distribution des déplacements transverses corrigés dans le référen- tiel du laboratoire Uxcor cumulés sur 10 expériences avec L = 30 mm et φ = 80.85%.

(b) Distribution des déplacements longitudinaux corrigés dans le référentiel du labo- ratoire Uycor cumulés sur les 10 mêmes expériences.

vitesse que le plateau. Cependant, à proximité de la fibre, le champ de déplacement est non nul. Nous voyons apparaître des lignes de courant partant de la fibre et la contournant sous la forme de rouleaux de recirculation.

Nous avons également représenté le champ de déplacement des grains pendant un événement de déchargement (figure III.16b). On observe de nouveau un écoulement qui contourne l’intrus. Cependant, d’une part, la zone concernée par l’écoulement est plus grande que dans le cas du chargement. D’autre part, certains grains subissent des déplacements importants ce qui indique que le milieu granulaire se réorganise de manière notable pendant cet événement de déchargement.