−u0v0∂u ∂y | {z } Production − ∂v0k ∂y ! | {z } Diff turbulente − ∂v 0(p/ρ) ∂y ! | {z } Diff par p + ν∂ 2k ∂y2 | {z } Diff visqueuse − e |{z} Dissipation (1.36)
De même, ces hypothèses appliquées à l’équation (1.15) permettent de définir l’équation de u0v0, principale contribution au terme de production de l’énergie cinétique :
0= −u∂u 0v0 ∂x −v∂u 0v0 ∂y | {z } Advection + −v02∂u ∂y | {z } Production − ∂u 0v02 ∂y ! | {z } Diff turbulente − ∂u0(p/ρ) ∂y ! | {z } Diff par p + ν∂ 2u0v0 ∂y2 | {z } Diff visqueuse − 2µ∂u 0 ∂xk ∂v0 ∂xk | {z } Dissipation (1.37)
Une étude attentive des différents termes de l’équation d’énergie cinétique turbulente k (1.16) montre que le terme de production peut s’interpréter comme un couplage entre les ten-sions turbulentes et le gradient de la vitesse moyenne. Cela reflète un échange d’énergie entre le mouvement moyen et turbulent. Dans la pratique, c’est le mouvement moyen qui alimente le champ turbulent.
La figure 1.5 illustre le fait que, conformément à l’analyse précédente, cette production d’énergie turbulente prend place dans la zone tampon aux alentours de y+≈ 12. Il est de plus remarquable que dans la sous-couche visqueuse, une égalité existe entre Diffusion visqueuse et Dissipation. De même, une égalité entre Production et Dissipation apparaît dans la région logarithmique. Cette dernière traduit le fait que l’énergie apportée est dissipée localement.
1.5 Structures cohérentes
L’étude statistique de la couche limite permet classiquement de mettre en évidence les zones de production et de dissipation de la turbulence. Bien que ces informations soient très utiles
1.5. STRUCTURES COHÉRENTES 39
FIGURE1.5 – Profils des termes de l’équation de bilan d’énergie cinétique turbulente. Tous les
termes sont adimensionnés par u4τ/ν et tracés en fonction de la distance à la paroi exprimée en unités pariétales. (extrait de Pamiès [111])
dans le développement de modèles de turbulence, une étude approfondie est nécessaire pour comprendre les phénomènes physiques qui régissent ce comportement. Cette question, qui oc-cupe la communauté scientifique depuis plus de 50 ans, et dont certains aspects restent encore inconnus de nos jours, fait l’objet de recherches intensives. Au cours de ces recherches, il a été mis en évidence un lien entre la production de turbulence et la présence de structures cohé-rentes au sein de la couche limite. Différents type de structures ont ainsi pu être identifiés. 1.5.1 Streaks
La première structure identifiée, qui se révéla par la suite, l’une des plus importantes, est le streak. Corrsin [25], en 1955, publie un article, basé sur les expériences conduites par Beatty, Ferrell et Ridchardson, dans lequel il met en évidence ces structures, notamment grâce a un cliché pris par F. Hama. Ces expériences font clairement apparaître une organisation du champ de vitesse longitudinale dans la sous couche visqueuse. Un découpage en bandes prend place dans la direction de l’écoulement, composées alternativement de fluide haute et basse vitesse. La dénomination « haute »et « basse »vitesse est faite en comparaison avec la vitesse moyenne de l’écoulement. Kline et al. [73] déterminent les dimensions caractéristiques de ces structures. Elles sont estimées à Lx = 1 000+de long et espacées de Lz = 80−100+. Ils préciseront aussi que ces phénomènes ne sont plus observés au dessus de y = 40−50+. La figure 1.6 met en évidence le comportement sinueux des streaks, présents dans la zone de proche paroi. Planton [113] ajoute que, bien que le terme « streaks »provienne originalement de visualisations telles que la photo 1.6, il est de nos jours associé à un profil de vitesse u(y, z) qui oscille dans la direction transversale et qui est libre de tout tourbillon longitudinal.
FIGURE1.6 – Visualisation des Streaks basse vitesse dans un écoulement de plaque plane. 1.5.2 Bursting Process
Dans le même temps, Kline et al. [73] observent que les steaks basse vitesse, se soulèvent petit à petit, oscillent et finissent par éclater soudainement éjectant du fluide hors de la couche limite. Ce phénomène, appelé « bursting process », fut identifié comme le principal processus de création de turbulence. Par la suite, Bogard et Tiederman [13] montrent qu’un streak génère plusieurs éjections et redéfinissent le terme de burst process comme l’ensemble des éjections provenant du même streak. D’après leur estimation le burst process est ainsi responsable de 80% des contraintes de Reynolds. Finalement, Corino et Brodkey [24] complètent le cycle en introduisant la présence d’un balayage (sweep), par du fluide provenant de la région externe de la couche limite, après chaque éjection.
Au fil des années, ce phénomène, qui fut tout d’abord observé grâce à des visualisations bidimensionnelles, a ensuite été caractérisé par des méthodes d’échantillonnage conditionnel. Parmi les plus connues, la méthode des quadrants u0v0, introduite par Wallace et al. en 1972 [162] ou la méthode VITA (variable-interval time average) que l’on retrouve dans la publication de Blackwelder et Kaplan [12] en 1976, peuvent être citées.
La méthode des quadrants est basée sur la séparation des évènements suivant leur position dans le plan (u0−v0)(voir figure 1.7). Cela permet de faire rapidement le rapport entre l’évène-ment enregistré et sa contribution à la production de turbulence. En effet, il a été montré que les évènements Q2 et Q4 sont producteurs de turbulence et sont principalement présents lors des deux étapes du bursting process. C’est la raison pour laquelle ils ont été respectivement
1.5. STRUCTURES COHÉRENTES 41
FIGURE1.7 – Représentation des quadrants dans le plan (u’,v’) [111]
appelés éjection et balayage.
Concernant la méthode VITA, la détection est basée sur une comparaison entre la variance moyenne et une variance locale calculée sur un laps de temps court.
Cependant, chaque critère d’échantillonnage extrait un aspect différent de l’écoulement. Les résultats provenant des différentes méthodes sont donc difficilement comparables. Robin-son [120] explique de plus qu’il est difficile de mettre en parallèle des évènements détectés aux moyens des méthodes précédemment décrites avec ceux identifiés visuellement
1.5.3 Tourbillons Quasi-Longitudinaux (TQL)
Dans les années 70s, le fait que des mouvements tourbillonnaires soient responsables de la production de turbulence était quasi-consensuel. En 1979 les travaux de Blackwelder et Eckelmann [11] mettent en évidence la présence de Tourbillons Quasi-Longitudinaux (TQL), orientés dans la direction de l’écoulement. Ils sont décrits comme des paires de tourbillons contrarotatifs qui aspirent le fluide plus lent, de proche paroi, et conduisent à la formation de streaks basse vitesse. Ces phénomènes seraient donc directement liés aux évènements d’éjec-tion et de balayage. De nombreuses méthodes ont été mise en œuvre pour étudier les TQL mais il faudra attendre l’arrivée de la simulation numérique directe pour une étude plus poussée.
J. Jeong et al., en 1997, fournissent une description très précise de ces tourbillons en se basant sur des résultats de DNS. Ils caractérisent ainsi les TQL comme étant organisés en chaînes, longues de ∆x = 600−1 000+, dont les maillons sont composés de paires de tour-billons contrarotatifs. Chaque TQL mesure aux alentours de 200+, avec un diamètre compris entre 10 et 40 unités de paroi. Par ailleurs, la figure 1.8 montre que le coté aval du tourbillon est surélevé et forme ainsi un angle d’environ 9◦ avec la paroi. De plus, une inclinaison de+−4◦
FIGURE1.8 – quadrants
Modèle conceptuel d’un ensemble de tourbillons quasi-longitudinaux et de leur arrangement spatial : (a) vue de dessus ; (b) vue de côté (extrait de Jeong et al. [63])
est observée dans le plan (x,z), selon leur sens de rotation par rapport à l’écoulement moyen. Finalement, il est à noter que les événements Q2 et Q4 ont été trop rapidement assimilés à un éclatement puisqu’un TQL génère également ce type d’événements.
1.5.4 Processus auto-entretenu
Robinson [121] explique que, suivant le bilan d’énergie de la figure 1.5, le processus par lequel la turbulence est produite, diffusée puis dissipée est continu. En d’autre termes, la couche limite « s’auto-maintient »et ne peut être altérée en l’absence de forts effets extérieurs. En 1999, Jimenez et Pinelli [65] avancent même que la zone comprise entre 0 ≤ y+ ≤ 60 est énergiquement indépendante du reste de l’écoulement. Ils suggèrent donc que ce cycle auto-entretenu fasse intervenir les streaks et les TQL, présents dans cette zone.
La génération de streaks à partir des TQL, exposée dans la section précédente, paraît évi-dente, mais le mécanisme de formation des TQL est beaucoup plus controversé. En effet, deux mécanismes différents ont été mis en évidence et sont résumés dans la figure 1.9.
Le premier (W) fut tout d’abord observé par Smith et al., en 1991, et étudié plus en détail par Brook et Hanratty, en 1993. Lorsqu’un TQL approche une paroi sans condition de glissement, il va induire un mouvement tourbillonnaire de sens opposé. Cette structure secondaire, déjà orientée dans le sens de l’écoulement, va pouvoir, dans certaines circonstances, décoller de la paroi et s’intensifier grâce au cisaillement présent dans cette région. Ce mécanisme dépend grandement de la condition d’adhérence à la paroi qui impose une vorticité nulle. Cet enchai-nement d’évéenchai-nements est essentiellement 2D.
1.5. STRUCTURES COHÉRENTES 43
FIGURE 1.9 – Représentation schématique des mécanismes d’auto-entretien des structures de
la couche interne (extrait de Jiménez et Pinelli [65])
FIGURE1.10 – Schéma du mécanisme d’enroulement de la vorticité longitudinale en deux
di-mensions dans le cas d’un tourbillon ωx <0 (extrait de Schoppa et Hussain [134])
Le second quant à lui, est basé sur les instabilités inflexionnelles intrinsèques aux streaks. L’hypothèse est qu’une paire de TQL génère un streak. Ce streak, de part sa relative instabilité, pourra éventuellement produire un tourbillon longitudinal.
L’étude de Jimenez et Pinelli [65] conduit à la conclusion que l’enchaînement W n’est pas prépondérant comparé au scénario S. Ils le démontrent en supprimant alternativement l’un et l’autre des mécanismes. Dans ce cas la turbulence ne survit pas sans génération de TQL induite par les streaks alors que l’absence du cycle W n’a que peu d’influence.
Le lecteur est invité à se référer à l’étude de Schoppa et Hussain [134] pour une description plus détaillée des différentes étapes et phénomènes qui conduisent à la formation d’un TQL à partir d’une instabilité au sein d’un streak.
1.5.5 Hairpin
La troisième structure identifiée au sein d’une couche limite turbulente est dénommée « hairpin »(épingle à cheveux), « horseshoe »(fer à cheval), « Arch »(arche) ou «Ω », selon les
auteurs ainsi que le nombre de Reynolds considéré (voir figure 1.11). Ces phénomènes ont tout d’abord été étudiés par Theodorsen [157] en 1952, puis confirmés par les expériences de Head et Bandyopadhyay [56] ainsi que les simulations aux grandes échelles de Kim et Moin [70, 101] dans les années 80s.
FIGURE1.11 – Représentation des structures en épingle à cheveux pour différentes gammes de
nombre de Reynolds (extrait de Robinson [120])
Robinson [120] décompose cette structure en trois parties distinctes (figure 1.12) : Les jambes, formées de 2 tourbillons quasi-longitudinaux contrarotatifs. La tête, formée d’un tour-billon transversal et la nuque, reliant le tout et orientée à 45◦ par rapport à la paroi. Cette géométrie, et principalement les jambes, assimilables à une paire de TQL, est donnée comme l’élément moteur de la formation des streaks. Cependant, Carlier et Stanislas [17] et Stanislas et al. [154] soulignent que les hairpins, tels qu’ils sont décrits par Robinson [120], ne sont présents qu’en région de très proche paroi (y 6 100+ dans le cas d’une couche limite turbulence pour 2 680 6 Reτ 6 7 164). Les couches supérieures sont majoritairement peuplées de hairpins asymétriques, ou « cane ».
Selon les études de Head et Bandyophadhyay [56], les hairpins se déplacent majoritaire-ment en groupe. Ils formajoritaire-ment ainsi des trains orientés à environ 18◦ par rapport à la paroi et espacés d’une centaine d’unités de paroi. Une hiérarchie s’organise et veut qu’il y ait une évo-lution en terme de taille, du plus petit au plus gros, dans la direction de l’écoulement. Zhou et al. [170] notent que cette disposition est plus à même d’expliquer pourquoi les streaks peuvent s’étendre jusqu’à 1 000 unités de paroi alors que les TQL n’en mesurent qu’une centaine. Ils confirmeront d’ailleurs l’observation de Head et Bandyophadhyay [56] grâce à une simulation numérique directe. De plus, Zhou et al. [170] mettent en évidence l’auto-génération de paquets