2.2 Utilisation des méthodes hybrides en turbulence pariétale
3.1.4 Comparaison entre les différentes modélisations pour une large plage de
+g1 y δ,Π,U∞ uτ ζ+g2 y δ,Π,U∞ uτ β (3.6) τν =µ∂u ∂y (3.7)
Perry et al. [115] expliquent que les fonctions analytiques f1, g1 et g2 sont connues de manière universelle et que leur forme précise dépend de l’expression analytique du profil de vitesse longitudinale choisie. De plus, cette formulation est valable pour une couche limite turbulente de gradient de pression quelconque, en équilibre ou non, grâce aux fonctions g1 et g2, dépendant du paramètre de gradient de pression de Clauser β et du paramètre de non équilibre ζ. L’expression de la contrainte totale se réduit donc à la fonction f1dans le cas d’une couche limite en équilibre sans gradient de pression. C’est celle qui sera considérée pour cette étude.
Les tensions de Reynolds normales sont construites sur la base de considérations à la fois physiques et empiriques [77, 89, 91]. Tout d’abord, la description de la région externe repose sur l’hypothèse des tourbillons attachés de Townsend [159] (« the attached eddy hypothesis »), valable au niveau de la région logarithmique. Une correction est de plus introduite pour te-nir compte de la déviation liée au sillage (Wgi) et aux effets visqueux de proche paroi (Vgi). Finalement une calibration est effectuée, basée sur des données expérimentales prises pour une large plage de nombre de Reynolds (Reτ = [735 ; 13500]). La région interne est décrite par une fonction universelle ( fIi), à laquelle un terme de correction est appliqué ( fTi). Cette correc-tion, fonction du nombre de Reynolds, permet de prendre en compte les modifications de la dynamique de la zone interne, imposées par la région externe de la couche limite (voir partie 1.6.3). La jonction entre les deux régions s’effectue au moyen d’une interpolation polynomiale cubique. u0iu0i+ = fIi(y+)fTi(y+, δ+) pour y+6y+inner(=30+) fOi(y+, δ+) pour y+>y+outer(=150+) Interpolation cubique pour y+inner <y+ <y+outer
(3.8)
Le modèle des tensions normales de Reynolds ainsi proposé est conçu pour un nombre de Reynolds suffisamment grand, soit Reθ &3 000. En dessous de cette limite, d’importants écarts apparaissent entre le modèle et les données expérimentales de DeGraaff et Eaton [37]. La partie externe de la formulation tend même à diverger près de la limite haute de la couche limite. Cela explique la présence des ruptures de courbes de la figure 3.2, tracées en pointillé.
3.1.4 Comparaison entre les différentes modélisations pour une large plage de Reθ Les différentes méthodes de reconstruction sont confrontées sur la figure 3.2. Deux types de données sont prises pour référence. Les distributions expérimentales de DeGraaff et Eaton
3.1. RECONSTRUCTION DES TENSIONS DE REYNOLDS 109 [37] et les DNS de Schlatter et al. [129, 131]. Il est ainsi possible de comparer la fidélité de prévision de chacun des trois modèles sur une plage de nombre de Reynolds allant jusqu’à Reθ = 31 000 pour les tensions croisée et normales dans les directions de l’écoulement et normale à la paroi. La troisième composante normale ne peut être jugée que sur une gamme réduite (Reθmax =4 060), faute de mesure expérimentale dans cette direction.
(a) Reθ= {1 000,1 430,2 000,2 900,5 200,13 000,31 000} (b) Reθ= {1 000,2 000,5 200,13 000,31000}
(c) Reθ= {1 000,1 430,2 000,3 250,4 060} (d) Reθ= {1 000,2 000,5 200,13 000,31 000}
FIGURE3.2 –− · ·−Turbulence isotrope,−−Hypothèse de Wilcox, —— Modèle de Marusic et
al.,··“··DeGraaff et Eaton [37],··•··Schlatter et al. [129, 131]
Un examen attentif de la figure 3.2 révèle trois points clefs qui conduisent aux recomman-dations d’utilisation a priori suivantes :
Tout d’abord, il apparaît clairement que le recours à l’hypothèse de Wilcox conduit à une bien meilleure description des différentes tensions normales que lorsque la turbulence est considérée isotrope en proche paroi. Les tensions v0v0 et w0w0 sont particulièrement bien dé-crites sur toute la gamme de nombre de Reynolds considérée pour y&100+. En revanche, une plage de Reynolds bien plus restreinte (Reθ .3 000) permet un bon accord entre l’approxima-tion u0u0 de Wilcox et les données de référence. Cependant, la modélisation de Wilcox de la
tension w0w0 semble diverger des données de référence à mesure que le nombre de Reynolds augmente. Ce comportement ne peut être confirmé de par la faible plage de Reynolds couverte. De plus, et ce de même que pour les deux autres tensions normales, la région de très proche paroi de u0u0souffre d’un manque de réalisme.
Deuxièmement, lorsqu’une description soignée de la région de très proche paroi est requise, la modélisation des tensions de Reynolds proposée par Marusic et al. [77, 89, 91] devient néces-saire. La décomposition en deux régions, proposée par ces auteurs, permet entre autre de tenir compte de l’évolution de l’intensité turbulente dans chacune d’elles en fonction du nombre de Reynolds. Il est néanmoins rappelé que cette approche n’est valide que pour Reθ & 3 000 et qu’une baisse de la qualité de description est effectivement constatée sur la figure 3.2 en dessous de cette valeur.
Finalement, les deux approches, Boussinesq et Perry et al. [115], fournissent des résultats très proches du point de vue de la tension u0v0. Une légère sous évaluation des niveaux de la région externe de la couche limite peut être imputée au modèle de Perry et al. [115]. Il est de plus important de noter que les écarts importants entre les modèles et l’expérience, qui prennent place à haut nombre de Reynolds, au niveau de la zone logarithmique, peuvent être attribués à la fois aux modèles, mais aussi à une erreur de précision des moyens expérimentaux.
FIGURE 3.3 – Carte d’anisotropie[45, 85] pour Reθ = 4 060. États limites de la turbulence —,
··N··Turbulence isotrope,··O··Wilcox,··I··Marusic,····DNS.
L’analyse d’anisotropie de la turbulence proposée par Lumley et Newman [85], plus récem-ment utilisée par Frohnapfel et al. [45], contribue à la qualification des différentes méthodes de modélisation des tensions de Reynolds. L’application de cette représentation aux trois mé-thodes de reconstruction, ainsi qu’aux données DNS de Schlatter et al. [129, 131], est présentée sur la figure 3.3. Les modélisations définies à partir d’homothéties de la distribution d’énergie
3.2. DÉVELOPPEMENT D’UNE MÉTHODE DE FORÇAGE DYNAMIQUE (THE DYNAMIC FORCING METHOD) POUR UNE ACTIVATION RAPIDE DE LA TURBULENCE PARIÉTALE EN AVAL DE LA TRANSITION RANS/ZDES111