la DES97

L’idée première est de résoudre en RANS les couches limites attachées et en LES les zones décollées. Pour ce faire, Spalart propose en 1997 [149] une approche « seamless »et automatique, couramment appelée DES97, basée sur le modèle de turbulence de Spalart-Allmaras (SA) [147]. Seules les caractéristiques du modèle SA nécessaires à la compréhension de la DES sont présen-tées et le lecteur est invité à se reporter à la référence [149] pour une démonstration complète. Le modèle est basé sur l’équation de transport de la pseudo-viscosité ˜ν définie comme suit¹:

D ˜ν Dt ^{= c}| {z }^b1S˜˜ν production + 1 σ ∇.((ν+ ˜ν)∇˜ν) +c_b2(∇˜ν)²
| {z } diffusion −c_w1f_w  ˜ν d_w 2 | {z } destruction (2.1)

La viscosité turbulente νt= f_v1˜ν est obtenue grâce à la fonction fv1, donnée par :

f_v1 = ^χ 3 χ³+c³_v1 ^{avec χ=} ˜ν ν (2.2) ˜

S s’exprime, à partir de la vorticité S = p2ΩijΩij, et le tenseur de rotation moyen Ωij = 1

2(u_i,j−u_j,i), comme suit :

˜ S =S+ ˜ν κ²d2 w fv2 avec fv2=1− ^χ 1+χ f_v1 (2.3)

où dwdésigne la distance à la paroi.

Les fonctions f_v1, f_v2et f_wsont des corrections dédiées aux régions de proche paroi. Le rôle de la fonction f_v1est d’assurer ˜ν=κu_τy de la zone logarithmique à la paroi. De la même façon fv2est définie de manière à ce que le comportement ˜S= uτ/κy dans la zone log soit maintenu jusqu’à la paroi. f_w est conçue de sorte à accélérer la destruction de ν_t en dehors de la couche limite.

Il est important de noter que la distance à la paroi la plus proche (d_w) apparaît dans le terme de production. Sous l’hypothèse d’équilibre entre production et dissipation, la pseudo-viscosité turbulente ( ˜ν) est proportionnelle au taux de déformation local ( ˜S) selon :

˜ν∝ ˜Sd2

w (2.4)

Spalart et al.[149] proposent donc de remplacer la distance à la paroi par une nouvelle échelle de longueur qui reflète l’actuelle capacité de résolution, des structures turbulentes, du maillage considéré. L’introduction de l’échelle de longueur ˜d, définie par l’équation 2.5, est donc le concept fondamental de la DES97. Ainsi, sous l’hypothèse d’équilibre entre production et dissipation, ν_t ∝ S∆2

max et adopte la forme du modèle de sous-maille de Smagorinsky. La fonctionΨ, absente de la formulation de 1997, est apparue en 2006 [148] de manière à compen-ser l’activation inopportune de termes de destruction du modèle SA en mode LES.

˜

d_DES97 =min(d_w, CDESΨ∆max) avec ∆max=max(∆x, ∆y, ∆z)

et C_DES =0.65 ^(2.5)

Cependant, alors que l’idée annoncée était de traiter les couches limites attachées en RANS et les régions décollées en LES, la fonction de transition proposée par Spalart pour passer d’une résolution RANS à une résolution LES est uniquement fonction de la résolution locale du maillage et non du champ aérodynamique. De manière à satisfaire les besoins en résolution de maillage tout en limitant les coûts, il est usuel de définir des mailles allongées dans la direction de l’écoulement (∆x). Cela implique que le seul et unique moyen d’obtenir le comportement souhaité de la DES97 est de définir son maillage tel que :

∆x= ^δ

C_DES ^(2.6)

En effet toute autre résolution conduira inévitablement aux situations illustrées par la figure 2.2. De plus, au delà de la difficulté liée à la nécessité d’appréhender la solution du calcul lors de la phase de prétraitement, il s’avère que la situation δ > C_DES∆x est inévitable dans le cas de maillages structurés. En effet, les dimensions des cellules requises, pour une

2.1. APPROCHE DES DE 97 À NOS JOURS 59

FIGURE2.2 – Principales dérives entre théorie et pratique de la DES97 – δ < CDES∆x (gauche)

et δ>CDES∆x (droite) (adapté de Deck [33])

résolution LES en dehors de la couche limite, se retrouvent transmises jusqu’à la paroi. Dans ce cas, la DES97 fonctionne alors comme une « Wall Modeled Large Eddy Simulation »(WMLES) et subit les problèmes inhérents à ce type d’approche, « Modeled Stress Depletion »(MSD), « Log Layer Mismatch »(LLM), qui seront détaillés dans le paragraphe 2.2. En pratique, au niveau de la transition RANS/LES, la diminution des contraintes turbulentes modélisées n’est pas com-pensée par les contraintes turbulentes résolues. Cette diminution de la contrainte totale (MSD) peut se traduire par une anticipation du point de décollement de la couche limite sur une paroi courbe. Ce phénomène, communément appelé « Grid Induce Separation »(GIS) a été mis en évidence par Deck [30] en 2002 et plus particulièrement par Menter et Kuntz [97] en 2004 (voir figure 2.3). Le GIS est une conséquence directe du phénomène de MSD, qui se traduit par une décroissance de l’énergie cinétique turbulente pouvant conduire à une relaminarisation de la couche limite turbulente. Celle-ci se retrouvant donc moins à même de résister à un éventuel gradient de pression adverse.

Il est tout de même à noter que cette limite de la DES97 se rencontre uniquement lorsque le développement de couches limites turbulentes est présent dans le calcul. Les phénomènes de décollement massif, liés à une rupture de géométrie, sont eux mieux décrits par cette formulation. Par exemple les études novatrices de l’écoulement autour d’une configuration NACA-0012 à fort angle d’incidence [135] ou de celui d’un train d’atterissage simplifié [155] entre 1999 et 2001, peuvent être mentionnées.

Depuis lors, de nombreuses propositions ont été formulées pour étendre le rayon d’action de la DES97 et permettre la prise en compte de couches limites attachées. Le principal enjeu étant encore jusqu’à récemment d’assurer une résolution RANS de la couche limite. On dis-tinguera deux stratégies, la première consiste à conserver le caractère non-zonal de la version

DES originale et de développer des fonctions automatiques de transition qui tiennent compte de l’état de l’écoulement. Alors que d’autres équipes se sont dirigées vers une stratégie zonale permettant à l’utilisateur de spécifier clairement les régions du calcul qu’il souhaite résoudre en RANS.