1.6 Effets du nombre de Reynolds
2.1.2 Évolutions de la stratégie automatique (DDES, IDDES,
L’une des premières tentatives pour traiter les maillages ambigus (voir figure 2.2) revient à Menter et Kuntz [97]. Partant des travaux de Travin et al. [160], concernant l’adaptation de la DES aux modèles de turbulence à deux équations, et plus particulièrement au modèle SST, Menter et Kuntz [97] proposent, en 2002, d’utiliser les fonction F2et F1du modèle de turbulence SST pour détecter la présence d’une couche limite au sein d’un calcul. Ainsi, la formulation DES97 peut être court-circuitée en présence de couches limites et une résolution RANS est imposée.
Cette stratégie, faisant appel à une fonction de protection , ou « shield function »a par la suite été reprise et étendue à tout modèle de turbulence par Spalart et al. [148] en 2006. La nouvelle échelle de longueur ˜dDDESest définie par l’équation 2.7.
˜
dDDES =dw− fdmax(0, dw−CDES∆max) (2.7)
fd=1−tanh([8 rd]3) (2.8)
rd= νt+ν pui,jui,jκ2d2
w
(2.9)
La fonction fd(équation 2.8), conçue pour prendre la valeur 1 en dehors de la couche limite et rapidement tendre vers 0 au travers de celle-ci, est fonction du ratio (au carré), rd(équation 2.9), entre l’échelle de longueur du modèle et la distance à la paroi. La définition du ratio rd proposée par Spalart et al. [148] permet ainsi d’introduire le concept de fonction de protection à d’autres modèles de turbulence que le modèle SA, originalement choisi. Il est à noter que les valeurs 8 et 3 de l’équation 2.8 ont été déterminées de manière à assurer une résolution RANS de la couche limite même avec ∆max δ, tout en limitant l’étendue de la zone de transition vers la LES dans les régions concernées.
Cette modification peut paraître simple, mais va permettre d’étendre les capacités de l’approche DES aux décollements dus à un gradient de pression sur une surface courbe par exemple. Ainsi, le décollement prématuré donné par la DES97 (voir figure 2.3), sur un profil d’aile à faible angle d’incidence (α = 13.3◦), causé par l’incompatibilité entre la résolution du maillage et l’épaisseur de couche limite locale, se voit complètement endigué par la DDES sur la figure 2.4.
2.1. APPROCHE DES DE 97 À NOS JOURS 61
FIGURE2.3 – Mise en évidence du phénomène de « Grid Induced Separation »(GIS) sur une aile à
faible incidence. RANS (gauche) et DES97 (droite). (tiré de Menter et Kuntz [97])
FIGURE 2.4 – Effet de la fonction de protection fd sur la prévision des décollements liés à un
gradient de pression sur une surface courbe (profil d’aile). — RANS ;− − −DES97 ; - – - DDES ; ◦Exp. (tiré de Spalart et al. [148])
L’IDDES (« Improved Delayed DES ») proposée par Shur et al. [137] se veut encore plus am-bitieuse. Il est ici proposé une méthode non-zonale capable, selon l’état de l’écoulement et la résolution locale, de recourir à une approche DDES ou WMLES. Ainsi, la méthode sera autori-sée à positionner la zone de transition RANS/LES à l’intérieur de la couche limite s’il est jugé que la résolution locale du maillage est suffisante pour résoudre les structures tourbillonnaires en mode LES. Dans le cas contraire, la fonction de protection de la DDES prendra le relais de manière à empêcher la présence de MSD. L’objectif annoncé est de pouvoir couvrir l’intégralité de la plage des niveaux de modélisation depuis le RANS jusqu’à la LES complète (voir figure 2.1).
Les principales modifications apportées au modèle peuvent être résumées par une modi-fication du filtre LES, jusque là ∆max, ainsi qu’une transition plus rapide entre les échelles de
longueurs RANS et LES que celle des formulations DES97 et DDES. Cette méthode repose sur de nombreux capteurs de différentes régions de la couche limite ainsi que des fonctions de transition basées à la fois sur des considérations physiques et des ajustements empiriques.
La nouvelle définition du filtre LES (voir équation 2.10), dont Cw = 0, 15 est une constante fixée empiriquement, a pour but de pallier à un problème purement LES. Shur et al. [137] rap-pellent ici la non unicité de la constante de Smagorinsky selon que l’écoulement soit en région de proche paroi ou libre. Il apparaît donc naturel de définir ∆IDDES non seulement fonction de la taille de maille locale, mais aussi selon la distance à la paroi. Finalement, pour une va-leur CDES donnée, le comportement du ˜dLES = CDESΨ∆IDDES, assimilable à la constante de Smagorinsky (voir équation 2.4), varie.
∆IDDES =min[max(Cwdw, Cw∆max,∆y),∆max] (2.10)
La nouvelle fonction de transition entre les échelles de longueurs RANS (dw) et LES (CDESΨ∆IDDES) est formulée de la manière suivante :
˜
dIDDES = ˜fd(1+ fe)dw+ (1− ˜fd)CDESΨ∆IDDES (2.11)
La fonction de protection fd de la DDES est donc redéfinie selon l’équation 2.12 et permet de combiner à la fois l’approche DDES et WMLES. Le mode WMLES est ainsi contrôlé par la fonction fB, prenant la valeur 1 près des parois pour une résolution RANS et 0 loin de celles-ci, afin de déclencher l’échelle de longueur LES. Il est à noter que cette fonction ne dépend que de la construction du maillage, ou, plus précisément, du rapport de la distance à la paroi sur la dimension maximum de la cellule. L’unique recours à fB ne permet donc pas de résoudre le problème de MSD ou LLM imputé à la DES97
˜fd =max((1− fdt), fB) fdt =1−tanh[(8rdt)3] fB=min(2e−9α2, 1)
α=0, 25−dw/∆max
(2.12)
La prise en compte de l’état de l’écoulement, nécessaire à juger de la capacité du maillage à résoudre les structures tourbillonnaires au sein des couches limites en mode LES, se fait à l’aide de la fonction fe(2.13). Cette fonction, basée à la fois sur des considérations géométriques ( fe1) et physiques ( fe2), permet le réhaussement de la phase RANS en mode WMLES. Elle se veut être la solution contre l’apparition de MSD et LLM.
2.1. APPROCHE DES DE 97 À NOS JOURS 63 fe=max((fe1−1), 0)Ψ fe2 fe1= 2e−11,09α2 si α≥0 2e−9,0α2 si α<0 fe2=1−max(ft, fl) ft =tanh((c2trdt)3) fl =tanh((c2 lrdl)3)