Les stratégies de commandes appliquées

La précédente partie décrit les différentes études appliquant une boucle fermée destinée au contrôle des écoulements. Les stratégies sont très diversifiées et dépendent du comportement du système. Cette section a pour objectif de regrouper ces stratégies par catégories de régulateurs. La classification des commandes est encore très discutée à l’heure actuelle, c’est pourquoi celle présentée ci-dessous est relative aux techniques employées dans le domaine de l’aérodynamique et ne suit volontairement pas celle proposée par Gad-El-Hak [71]. Chaque commande est d’abord succinctement décrite. Son application au contrôle des écoulements est ensuite détaillée. Le lecteur intéressé par plus de détails au niveau de la description des algorithmes est invité à consulter l’ouvrage de Corriou [53].

1.4.2.1 Commande linéaire classique

Description des commandes linéaires classiques Les commandes linéaires qualifiés de clas-siques sont les premières commandes apparues avec l’automatique linéaire. Ces commandes sont les plus simples dans leur principe de fonctionnement et sont les plus employées au sein de l’indus-trie. Le régulateur typique de cette catégorie est le régulateur d’actions proportionnel-intégrateur-dérivateur, nommé PID. Il permet de faire converger le système contrôlé vers une consigne déter-minée par l’estimation d’une erreur représentative de l’écart entre l’état actuel du système et la consigne. La commande PID peut-être associée à une synthèse robuste, laquelle prend en compte la stabilité et la sensibilité du système pour garantir des performances optimales.

L’application de telles commandes nécessite un comportement linéaire ou quasi-linéaire de la dynamique de la réponse du système. C’est pourquoi l’application de ces commandes en aérodyna-mique nécessite soit de formuler de nombreuses hypothèses et approximations, soit de rester dans un régime de comportement assimilé linéaire.

Commande linéaire classique et contrôle des écoulements Les commandes d’action PID appliquées sur un modèle sous forme de fonction de transfert du système sont employées par Ra-poport et al. [160], et Yan et al. [206] les développent avec une synthèse robuste. Sur la dernière application, le système impose un grand retard, c’est-à-dire un long temps entre l’action et la réponse à cette action. Pour cela, les algorithmes adoptés sont une régulation de deux actions pro-portionnelles en parallèle avec une prise en compte du retard et une régulation de Smith (prise en compte du retard avec un algorithme particulier, voir Corriou [53]).

Allan et al. [3] appliquent un PID sur une modélisation du système sous forme de représenta-tion d’état créée à partir de deux équareprésenta-tions différentielles du second ordre. La première représente la dynamique de l’actionneur et la seconde la réponse de l’écoulement. Ils appliquent ensuite ce régulateur directement sur le système expérimental qui est par nature non-linéaire.

Gu et al. [82] utilisent également une représentation d’état du système basée sur des équations, mais appliquent la conception robuste.

Günther et al. [83] utilisent des fonctions de transferts du premier et second ordre afin de régler les régulateurs I et PI. La non-linéarité du système est précompensée par une linéarisation grâce à une exponentielle.

Kim [106], Kim et al. [108] identifient un modèle boîte noire non-linéaire polynomial, nommé NARMAX, du système avec forçage. Une régulation PI est ensuite employée pour contrôler ce modèle.

Jeon et Choi [98], Kumar et Rajesh [117] et Or et Kelly [152] utilisent une régulation P, Kim et al. [109] un prédicteur de Smith avec synthèse robuste, Williams et al. [203] une régulation P avec sélection de phase et Barlas et al. [10] un compensateur PD.

1.4.2.2 Commande adaptative

Description des commandes adaptatives La commande adaptative est une commande dans laquelle une identification système est réalisée en temps réel par l’intermédiaire d’une boucle en parallèle de la boucle de rétroaction proprement dite. Cette identification est alors capable de modifier les paramètres de la boucle de rétroaction par l’intermédiaire d’un bloc ’superviseur’. La commande adaptative permet donc de mettre à jour en temps réel les paramètres du régulateur.

Différentes sous-catégories de commandes adaptatives existent, notamment si l’identification implique ou non la présence d’un modèle, ou si les paramètres du régulateur sont modifiés ou non. La motivation initiale d’une telle commande est de maintenir les performances requises quand la dynamique du comportement entrée/sortie du système à commander varie dans le temps. Les résultats théoriques disponibles sur la convergence, la stabilité et la robustesse des algorithmes de commande adaptative ne permettent pas de garantir cette motivation. En effet, les mises à jour des paramètres du régulateur sont adaptées au modèle identifié et ne sont pas nécessairement satisfaisantes pour le système à commander.

Commande adaptative avec modèle et contrôle des écoulements La commande adapta-tive avec modèle comporte deux boucles. La première est une boucle de rétroaction classique dans laquelle le correcteur peut voir ses paramètres modifiés dans le temps. La seconde boucle a pour rôle d’identifier le système dans l’objectif d’adapter le correcteur qui contrairement à la première boucle ne fonctionne pas en temps réel, mais avec un pas de temps plus long. L’identification consiste à obtenir un modèle mathématique d’un système à partir de mesures.

Le décollement d’un profil NACA-0012 mis en incidence a été expérimentalement contrôlé grâce à une commande adaptative dont le principe est la suppression des fluctuations de pression de l’extrados. Pour cela, Tian et al. [193] ont employé un algorithme adaptatif de rejet de perturbation avec une identification d’un modèle de la dynamique de l’écoulement.

Le contrôle basé sur un modèle physique de l’équation d’Euler unidimensionnelle, a permis à Nguyen et al. [147] de contrôler le décollement sur les ailettes d’un stator de turbomachine. Pour cela, un paramètre de perte de charge représentant la dissipation visqueuse associée au décollement est estimé. L’estimation récursive consiste en un algorithme des moindres carrés appliqué à un critère quadratique qui relie l’effet d’injection d’air à la perte de charge. Ainsi, la dérivation de l’équation adjointe du modèle identifié permet de trouver l’optimum local.

Kutay et al. [118], dans le but d’améliorer la robustesse vis-à-vis du changement des conditions de vol, utilisent un réseau de neurones. L’algorithme de commande est basé sur deux boucles plus classiques de type PID.

Une technique particulière permet de régler automatiquement les paramètres d’un compensateur PID. Cette technique est communément désignée de self-adaptive. Après avoir déterminé un modèle linéaire sous forme de fonction de transfert de leur actionneur, Kegerise et al. [104] ont étudié

1.4. LE CONTRÔLE EN BOUCLE FERMÉE 27 l’influence du modèle utilisé pour l’identification. Les modèles linéaires permettent d’obtenir ainsi le réglage du régulateur. Avec un modèle par réseau de neurones, Brehm et al. [23] règlent les paramètres d’un compensateur PD. Gross et Fasel [81] appliquent également la technique

self-adaptive pour régler les paramètres de leur régulateur PD.

Commande adaptative sans modèle et contrôle des écoulements L’obtention d’un modèle n’est pas forcément aisée lorsque l’écoulement devient plus complexe. Il est tout de même possible d’appliquer une technique de commande adaptative sans connaître le modèle du système. En contre-partie, les performances en termes de temps de convergence et de précision sont fortement dégradées. Cependant en y apportant quelques modifications, il est possible de limiter ces contre-performances.

Les principaux algorithmes de cette classe de commande utilisés en aérodynamique sont l’extremum

seeking et le slope seeking (Ariyur et Krstić [4]). Ces commandes sont des commandes d’optimi-sation en temps réel de descente par gradient. L’identification du système consiste ici en l’estimation du gradient local de la réponse du système à la commande.

L’extremum-seeking est un concept assez ancien bien que récemment appliqué. L’algorithme est basé sur l’estimation du gradient de l’état quasi-stationnaire du système par une modulation d’une perturbation ajoutée à la commande. Il est adapté aux systèmes dont la réponse quasi-statique est non-linéaire, d’où son intérêt en aérodynamique. Le danger d’un tel algorithme est de pouvoir tomber dans un extremum local, ce qui peut être évité si l’amplitude de la perturbation est suffisamment grande. Ce régulateur de par sa conception est robuste vis-à-vis des changements de conditions de vol d’où son succès de plus en plus grand. Cependant, si l’algorithme de base n’est pas modifié, les temps de convergence sont trop longs pour une application industrielle. La vitesse de convergence peut être améliorée mais l’ensemble des équipes de recherche tombent sur des problèmes de stabilité de l’algorithme ou de commande polluée par la perturbation.

King et al. [112] ont employé cet algorithme pour le contrôle d’un décollement de diffuseur, de même que Banaszuk et al. [9] mais avec une perturbation multi-fréquentielle (temps de convergence de 10 à 50 s). Un temps de convergence de 50 s est observé par Beaudoin et al. [12].

L’extremum seeking et le slope seeking ont été testés et comparés expérimentalement par Be-cker et al. [14]. Pastoor et al. [156] ont appliqué le slope seeking sur un corps en forme de ’D’ et Benard et al. [16] sur le contrôle de la portance par plasma. Ces derniers observent un temps de convergence supérieur à 250 secondes.

En vu d’améliorer le temps de convergence et la précision du slope seeking, Henning et al. [87] ont modifié l’algorithme sur le principe d’estimation du gradient. Lorsque celui-ci est estimé avec un algorithme utilisant les moindres carrés sur un modèle linéaire du second ordre, le temps de convergence est réduit de 20%. Tandis qu’avec une estimation employant un filtre de Kalman étendu, la réduction est de 66%. Les temps de convergence demeurent longs : de 10 à 80 s suivant l’algorithme et le cas d’étude.

1.4.2.3 Commande à modèle interne

Description des commandes à modèle interne La commande à modèle interne est une commande dans laquelle un modèle est mis en parallèle au système. L’erreur entre la sortie du système et celle du modèle sert d’entrée au régulateur. Le principal avantage d’une telle commande est qu’il existe des techniques efficaces du calcul du régulateur. Il est facilement compréhensible que cette commande tente d’imposer un comportement au système similaire à celui du modèle. Le modèle prend donc une place importante puisqu’il sert de référence. Une telle commande permet donc de compenser les erreurs de mesure ou encore les perturbations du système à commander. Comme pour la plupart des commandes, l’IMC est particulièrement bien adaptée aux systèmes

linéaires dont le comportement, c’est-à-dire les équations physiques de sa dynamique, est bien connu. Elle est principalement employée dans le domaine de la robotique.

Commande à modèle interne et contrôle des écoulements Les applications au contrôle des écoulements emploient généralement des modèles sous forme de simples fonctions de transfert. Rapoport et al. [160] en utilisent une du second ordre. Becker et al. [13] ajoutent à cette fonction de transfert un terme de prise en compte du retard. Les temps de convergence pour l’ensemble de ces études n’excèdent pas 4 secondes.

1.4.2.4 Commande optimale et suboptimale

Description des commandes optimales et suboptimales Le contrôle optimal est basé sur la minimisation d’une fonctionnelle de coût qui comprend une mesure du système et le coût du contrôle. L’un peut être avantagé par rapport à l’autre par l’intermédiaire de coefficients pondéra-teurs. La minimisation de la fonctionnelle est mathématiquement optimale puisque les gradients de la fonctionnelle par rapport à ses variables sont exacts et obtenus de façon rigoureuse. La commande optimale fonctionne uniquement sur des systèmes dont le comportement est linéaire et invariant. Le contrôle optimal classique est généralement nommé LQ(R) pour Linear Quadratic (Regulator). Le contrôle LQR exige la connaissance totale du vecteur d’état du système, c’est-à-dire l’in-tégralité des données du systèmes. Pour un calcul CFD cela signifie la connaissance de toutes les variables d’état (ρ, ρu, ρv, ρw et ρE) en chaque point du maillage. Dans la majorité des applications, seule une connaissance partielle du système est disponible. Le contrôle LQG, pour Linear Quadratic

Gaussian consiste à trouver, à partir de mesures partielles des sorties du système, un contrôle qui

puisse minimiser une fonctionnelle prenant en compte les évolutions stochastiques du système. Ce type de contrôle est également connu sous le nom de contrôle H2. Dans cette commande, l’état du système est reconstruit à partir des mesures par un estimateur d’état.

Il existe le contrôle optimal robuste ou H∞, qui est très proche du LQG mais qui prend en compte une estimation d’état tout en minimisant les incertitudes qui lui sont liées. Il est particulièrement adapté pour un système linéaire dont les mesures sont bruitées.

L’implantation de la théorie du contrôle optimal dans un code numérique est souvent lourde et les temps de calcul peuvent vite être prohibitifs. Il est possible d’éviter cela en se contentant du calcul de gradients incomplets, ce qui revient à effectuer des hypothèses afin de négliger certains termes. La minimisation de la fonctionnelle est approchée ce qui dans la plupart des applications est acceptable. Une telle commande est qualifiée de contrôle suboptimal.

Commandes optimales et contrôle des écoulements L’emploi de ces techniques nécessite une approche numérique capable de rendre compte en chaque point du maillage de la valeur des variables d’état. La puissance de calcul nécessaire peut vite devenir démesurée lorsque le nombre de Reynolds augmente. En raison de ces exigences en termes de puissance de calcul et de la quantité de données à stocker, la commande optimale n’est pas adaptée au contrôle en temps réel. Néanmoins, cette commande a le mérite d’offrir une compréhension de la physique impliquée dans le contrôle. En général, cette commande est appliquée sur des cas où les équations de Navier-Stokes peuvent être simplifiées et linéarisées. De plus, la solution de forçage proposée n’est pas forcément réalisable par les actionneurs actuels. C’est pourquoi seule la mécanique des fluides fondamentale s’oriente vers cette solution.

Le contrôle H2 et H∞ sont employés par exemple par Bewley et Liu [19]. Camphouse et Myatt [29] étudient l’influence de la méthode employée pour le calcul du gain introduit par le contrôle optimal H2. Chevalier et al. [42], Gallaire et al. [73], Huang et Kim [92], Israel

1.4. LE CONTRÔLE EN BOUCLE FERMÉE 29 et al. [96] et Krstić et al. [116] sont d’autres exemples d’applications du contrôle optimal parmi de nombreuses autres études. En effet, la présente bibliographie s’oriente plus vers le côté applicatif.

Le contrôle suboptimal est par exemple appliqué par Min et Choi [141], Kang et Choi [103] et Cassel et Sardesai [34].

1.4.2.5 Commande prédictive

Description de la commande prédictive La commande prédictive est une méthode relative-ment récente, qui n’a connu un réel essor que depuis le milieu des années 1980. Elle est particuliè-rement intéressante lorsque les systèmes possèdent des retards importants, des réponses inverses et de nombreuses perturbations. Les principaux utilisateurs de cette commande sont les raffineries de pétrole, l’industrie chimique et agro-alimentaire, la métallurgie et l’aérospatiale. Cette commande consiste à prendre en compte à l’instant présent le comportement futur du système, en utilisant explicitement un modèle numérique de celui-ci afin de prédire la sortie dans le futur sur un horizon fini. Il n’existe pas de stratégie unique, mais plutôt tout un ensemble de méthodes de commande pré-dictive assez similaires. Ces méthodes sont bâties autour de principes communs présentant quelques différences dans l’interprétation des concepts clés.

Une des richesses de ces méthodes provient du fait que, pour une consigne connue ou précal-culée (au moins sur un certain horizon), il est possible d’exploiter pleinement les informations de trajectoires prédéfinies situées dans le futur. En effet, le but de la stratégie prédictive est de faire coïncider la sortie du processus avec cette consigne dans le futur, sur un horizon fini.

Pour être utilisée, la commande prédictive doit donc être couplée à une méthode d’identification d’un modèle de procédé. Si l’identification est réalisée en ligne alors la commande appartient à la famille des commandes adaptatives, sinon à une variante de celle des commandes à modèle interne. Commandes prédictives et contrôle des écoulements L’application de la commande pré-dictive est intéressante pour les systèmes qui possèdent une réponse suffisamment lente afin que le calcul de la future sortie par le modèle ait le temps d’être effectué. Cette commande nécessite une réponse linéaire du système, elle est donc assez mal adaptée pour les écoulements présentant de trop grandes non-linéarités.

Kegerise et al. [104] emploient cette commande avec des modèles linéaires. Song et al. [189] réalisent une version mono variable et multi variables pour le rejet de fluctuations. Bewley [18] créé un hybride de cette commande avec du contrôle optimal.

1.4.2.6 Commande basée sur l’estimation d’un modèle réduit non-linéaire

Description de la commande basée sur l’estimation d’un modèle réduit non-linéaire Les commandes issues de la théorie linéaire sont trop contraignantes pour pouvoir être appliquées sur des cas concrets. Les non-linéarités des écoulements doivent être prisent en compte pour tendre vers les objectifs désirés. Les commandes non-linéaires classiques de l’automatique sont encore trop complexes pour pouvoir être appliquée à l’aérodynamique. En effet, les équations de Navier-Stokes sortent généralement du cadre fixé par la théorie non-linéaire peu complexe de l’automatique, notamment du fait de la nature hyperbolique des équations.

De plus, il est vu que dans certaines commandes, la quantité d’informations nécessaire, relative au système, peut rapidement être élevée. Ainsi, la motivation d’une telle classe de commande est de pouvoir se dégager de la théorie linéaire qui impose ses limites sur les systèmes non-linéaires. Il alors possible de faire du contrôle en temps réel et non plus en temps différé car les puissances de calculs nécessaires sont revues à la baisse.

L’idée de pouvoir estimer un modèle non-linéaire d’ordre réduit en temps réel constitue une alternative. En effet, les mesures du système réel servent à mettre à jour le modèle par un estimateur d’état (du modèle) et le régulateur est destiné à contrôler le modèle et non pas le système. La nouvelle commande est appliquée à la fois au système et au modèle. Ce type de commande est donc un hybride de commande adaptative et de commande à modèle interne.

Commande basée sur l’estimation d’un modèle réduit non-linéaire et contrôle des écou-lements L’emploi de modèles d’ordre réduit constitue une alternative adoptée par de nombreux chercheurs. Elle permet également d’appliquer expérimentalement ce qui n’était possible qu’en si-mulation numérique. La réduction d’ordre a aussi son importance dans le sens où elle permet de réduire la quantité d’information décrivant l’état complet du système. Ce qui débouche ainsi sur l’application possible du contrôle optimal en temps réel.

Le quasi-totalité des publications portent sur des modèles de type POD-ROM (Proper

Or-thogonal Decomposition - Reduced Order Model). Le mode opératoire reste en général le même :

construction d’une base POD (Proper Orthogonal Decomposition) avec la méthode des Snapshots, puis projection de Galerkin des équations de Navier-Stokes. Les coefficients de ce modèle sont mis à jour à partir de simples mesures, généralement depression pariétale, par différentes techniques d’estimations : estimation linéaire stochastique (LSE), estimation linéaire s tochastique modifiée (mLSE), estimation quadratique stochastique (QSE), etc. Le lecteur intéressé est invité à consulter la thèse de Bergmann [17].

Les régulateurs employés sont divers et variés puisque adaptés à l’objectif de contrôle sur le modèle mais leur fonction est en général de minimiser l’amplitude du premier mode POD-ROM. Au cours du temps, les modèles réduits basés sur la POD-ROM se sont améliorés allant jusqu’à inclure des termes supplémentaires propre au contrôle (Siegel et al. [180] et Cohen et al. [52]).

Les études sont nombreuses, en effet le lecteur intéressé peut se reporter aux tableaux de l’annexe

Ase référent aux études de Ausseur et Pinier [7], Ausseur et al. [8] (PID), Caraballo et al. [30]