Le décollement et couche de mélange

Les positions moyennes des points de décollement xs et de recollement xr sont égaux à xs/h= 0, 47 et xr/h = 4, 88. A partir de ces points, la longueur de décollement peut être estimée de plusieurs manières différentes. Celle utilisée par la suite, communément employée dans la littérature, correspond à la différence entre les abscisses des points recollement et de décollement. La longueur de décollement ls suivant cette définition est égale à :

l_s

h = ^xr− xs

h = 4, 40 (2.6)

Le contour du bulbe de recirculation est calculé suivant le débit massique ˙Q_{m|P tw(xw,yw)}(s) précédemment défini. La surface du bulbe moyen de recirculation S0 est par conséquent l’aire entre la paroi et cette limite. La valeur S0 est ici égale à 693, 7 mm2. La hauteur maximale du bulbe hb

suivant la composante −^→e_x du maillage est égale à 14, 56 mm et représente donc 72, 8% de la hauteur de la marche. La vitesse maximale du courant de retour ubackf low est égale à 18.5 × 10−2u_∞.

Le rapport ρmax/ρmin entre les extrema de masse volumique dans l’ensemble de l’écoulement est égal à 1,042. La faible valeur de ce rapport permet de considérer l’écoulement comme étant incompressible. Il est ainsi possible de calculer l’épaisseur de quantité de mouvement local de la couche de mélange θcm(xw) définie par :

θ_cm(xw) =^{� y∞} yw u(xw, y) − umin(xw) u_sup(xw) − umin(xw) � 1 − ^u(xw, y) − umin(xw) u_sup(xw) − umin(xw) � dy (2.7)

La valeur usup(xw) est prise localement et dépend donc de xw. La précédente formule convient uniquement pour une couche de mélange bidimensionnelle avec un écoulement moyen parallèle. La géométrie de la rampe et la composante v de la vitesse non nulle rend nécessaire l’usage d’une définition alternative.

Soit le système de coordonnées curviligne (ξ, η) associé au maillage. Avec la même hypothèse de considérer les lignes verticales iso-J du maillage quasi-perpendiculaires aux vecteurs de vitesses −

→

V, il est possible de reformuler l’épaisseur quantité de mouvement par :

θ_cm(ξw) =^{� ηsup} 0 V(ξw, η) − Vmin(ξw) V(ξw, η_sup) − Vmin(ξw) � 1 − ^V(ξw, η) − Vmin(ξw, η) V(ξw, η_sup) − Vmin(ξw) � dη (2.8)

La borne supérieure d’intégration est en général l’infini, mais la présence du gradient de pression et du décollement accélèrent localement la vitesse. Par conséquent la vitesse à l’infinie peut être inférieure à la vitesse maximale locale et la formule n’est plus cohérente. L’ordonnée curviligne η correspondant à la position de la vitesse maximale pourrait alors faire office de borne supérieur d’intégration. Néanmoins à cause l’accélération de vitesse au dessus de la rampe, les distances curvilignes d’intégration présenteraient des sauts ce qui se traduirait par une discontinuité de θcm

Lorsque le type des profils de vitesses cessent d’être standard d’autres critères sont alors utilisés pour déterminer la borne supérieure ηsup. Une couche limite peut être définie comme la zone de l’écoulement en proximité de paroi où les forces de viscosité sont du même ordre que celles d’inertie. Il est alors possible de définir une valeur seuil �τ qui permette de définir la délimitation de la couche limite. Ainsi, l’intérieur de la couche limite vérifie la relation :

τ_sup

τ_max � �τ (2.9)

Ce critère reste valable uniquement si l’écoulement ne présente pas de décollement. Puisque l’écoulement est montré incompressible, l’hypothèse de Boussinesq est applicable. Le frottement est approximé avec la vorticité suivant la relation :

τ ≈ (µt+ µ)|Ω| (2.10)

En appliquant l’hypothèse de Boussinesq à l’équation Eq. 2.9, il en résulte : |Ωsup|

|Ωmax| = �Ω (2.11)

Les variables τmax et |Ωmax| sont définies localement pour chaque point de la paroi. Les valeurs des critères �τ et �_Ω sont respectivement et typiquement égale à 0,02 et 0,001. Le critère choisi pour la suite du mémoire correspond à celui portant sur le rapport de la vorticité avec un critère �Ω égal à 0,0015. Ainsi la borne supérieur ηsup d’intégration des épaisseurs liées à la couche limite est définie par :

η_sup(ξw) =^�η | ^{|Ω(ξw, η})| |Ωmax(ξw)| ^{= �Ω}

�

(2.12) L’application du critère permet de définir l’évolution longitudinale de la vitesse Vsup(xw) en prenant la vitesse correspondante au point ηsup(xw)3. Elle est tracée sur la figure2.16. La croissance de la vitesse avant le décollement est provoquée par le gradient de pression causé par le décollement. L’effet Venturi imposé par la géométrie de la rampe ralenti ensuite l’écoulement jusqu’à un retour vers un écoulement sur plaque plane sans gradient de pression. A partir de ce régime, l’effet du décollement pourra alors être négligé. La courbe indique l’apparition de ce régime pour une abscisse

x/h aux environs de 9. Ceci montre a posteriori que le domaine de calcul est suffisamment long. L’objectif de continuité de l’évolution de la vitesse en fonction de x est ici atteint grâce au critère précédemment défini.

L’expression de l’épaisseur de quantité de mouvement locale θcm(ξw) définie à l’équation Eq.

2.8est valable pour les couches limites en amont du décollement et en aval du recollement lorsque

V_min(ξw) est nul. L’évolution longitudinale de l’épaisseur de quantité de mouvement est représentée sur la figure Fig.2.17.

Le taux de croissance de l’épaisseur de quantité de mouvement d’une couche de mélange libre a été correctement approximé grâce à une expérimentation de Browand & Troutt [25] par :

dθ

dx = 0, 034R (2.13)

où R est le rapport de vitesse de la couche de mélange :

R= ^∆V

2^�V� (2.14)

2.3. ANALYSE STATISTIQUE DE L’ÉCOULEMENT DÉCOLLÉ 53

Figure 2.16 – Évolution longitudinale de la vitesse Vsuppour l’écoulement sans contrôle.

Figure 2.17 – Evolution longitudinale de l’épaisseur de quantité de mouvement pour l’écoulement sans contrôle.

tel que le cisaillement de vitesse ∆V est égal à :

∆V = Vmax− Vmin (2.15)

et la vitesse moyenne au sens spatio-temporelle ^�V�

égale à :

�

V�

= ^Vmax+ Vmin

2 ^(2.16)

La courbe R(x) = f(x) est tracée sur la figure Fig. 2.18avec la vitesse Vmax égale à la vitesse

V_sup locale. Comme prévue, la valeur de R est égale à 1 pour les zones non décollées puisque la condition d’adhérence à la paroi impose V (x, yw) égal à zéro pour tout x. Le maximum du rapport de vitesse est atteint en x/h égal à 2,76 pour une valeur Rmax = 1, 44. Cette abscisse correspond à l’endroit où le courant de retour est maximal (ubackf low égal à 18.5% de u_∞). Le rapport R(x) croît à partir du décollement jusqu’à son maximum avec trois vitesses différentes, c’est-à-dire que le rapport de vitesse sur les segments d’abscisses [0, 47 1], [1 1, 8] et [1, 8 2, 8] croît linéairement avec des pentes de plus en plus faibles (respectivement égales à 0,65, 0,2 et 0,07). Le retour vers la valeur unité se réalise quasi linéairement avec une pente égale à −0, 3.

Le rapport de vitesse R est supérieur à la valeur 1,315 pour les abscisses x/h ∈ [1, 51 3, 48]. La théorie relative à l’analyse de stabilité linéaire des couches de mélange libres montre que cette zone est absolument instable. Néanmoins, il est difficile d’étendre les conclusions de ces développements théorique au cas considéré présentement.

Dans le présent cas, le rapport de vitesse R varie entre 1 et 1,44. Suivant l’expression de Browand & Troutt [25], la dérivée de l’épaisseur de quantité de mouvement devrait être comprise entre 0,034 et 0,049. La figure Fig. 2.17 montre trois parties quasi-linéaires dans la zone décollée dont les coefficients directeurs sont respectivement égaux à 0,018, 0,075 et 0,0025. Les taux de croissances obtenus sont proches de ceux attendus pour une couche de mélange libre.

L’épaisseur de vorticité δω est définie dans notre présente géométrie pour une abscisse pariétale

ξ_w par : δ_ω(ξw) = ^Vsup− Vmin max_|η � ∂V(ξ,η) ∂η � (2.17)

Comme dans l’article de Larchevêque et al. [121], plusieurs régions sont observées pour l’évo-lution longitudinale de l’épaisseur de vorticité δω(xw) (figure Fig.2.19). La première, située entre les abscisses x/h = xs/h et x/h = 1, se caractérise par une croissance exponentielle. Ce compor-tement est effectivement prévu par la théorie de stabilité linéaire. Une deuxième région telle que

x/h∈ [1 1, 5], le taux de croissante est constant et est égal à environ 0,5. Juste après cette partie se trouve une dernière zone de pente constante égale à 0,29. Ensuite l’épaisseur de vorticité converge vers un plateau approximativement de valeur 0,85. Browand et Troutt [25] indiquent un taux de croissance égal à :

dδω

dx = 0, 17R (2.18)

Puisque R varie entre 1 et 1,44, le taux dδω/dxdevrait alors varier entre 0,17 et 0,24. Le taux de croissance de 0, 5 est deux fois supérieur au maximum prévu pour une couche de mélange libre. Jovic [101] et Castro et Haque [35] ont également noté des pentes plus grandes pour les couches de mélange libre que respectivement pour une marche descendante et derrière une plaque plane.

La figure Fig. 2.20 montre l’évolution longitudinale du rapport entre l’épaisseur de vorticité

2.3. ANALYSE STATISTIQUE DE L’ÉCOULEMENT DÉCOLLÉ 55

Figure 2.18 – Rapport de vitesse R = ∆V

2�V� en fonction des l’abcsisses x/h.

valeur constante égale à 4,8 pour x/h � 3. Castro et Haque [35] et Larchevêque et al. [121] ont observé que ce rapport avait une valeur proche de 5. Les résultats sont donc cohérents avec ceux de la littérature.

L’épaisseur de vorticité δω caractérise l’évolution de la couche de mélange en définissant son épaisseur. Le milieu de cette épaisseur correspond à la position où la vitesse est égale au^�V�

local. Un aperçu du décollement est donné sur la figure Fig. 2.22. Les lignes de courants valident la matérialisation du bulbe de recirculation par la ligne de débit massique nul defini par l’équation

2.4. Le centre de la zone de recirculation est situé aux coordonnées (x/h; y/h) = (2, 47; −0, 56). Il est donc placé un peu en-dessous de la mi-hauteur de marche.

Les lignes uξ,η = 0 et vξ,η = 0 décomposent le bulbe de recirculation en quatres zones. Une vitesse verticale locale, vξ,η négative signifie que le fluide est rabattu vers la paroi. A contrario, une vitesse vξ,η positive indique une remontée du fluide vers l’écoulement extérieur. La partie du bulbe où uξ,η est positive correspond à la partie de la recirculation entraînée par la couche de mélange. En effet, la limite inférieure de la couche de mélange matérialisée par la courbe ∆V − δω/2 est quasiment superposée avec la courbe définie par uξ,η= 0 entre le point de décollement et l’abscisse

x/h ≈ 3, 5. Ceci montre que pour x ∈ [xs 3, 5h], la zone de recirculation telle que uξ,η > 0 fait partie intégrante de la couche de mélange et est donc soumise aux différents phénomènes liée à ce type d’écoulement. Quand uξ,η redevient positif, le fluide du courant de retour intègre la couche de mélange. Il est rapidement rabattu vers la paroi puisque vξ,η redevient rapidement négatif. Jusqu’à une abscisse x/h ≈ 3, l’enveloppe du bulbe et la ligne^�V�

sont proches. Les structures issues du lâché tourbillonnaire sont convectées à une demie vitesse infinie, ce qui est en accord avec la théorie de la couche de mélange.

La fréquence naturelle de l’instabilité de Kelvin-Helmholtz fKH(ξw) en fonction de l’abscisse pariétale ξw prévue par l’analyse de stabilité linéaire est estimée par la formule Eq.2.19.

f_KH(ξw) ≈ 0, 135

�

V�

ξw

δω(ξw) ^(2.19)

L’expression donne la fréquence la plus amplifiée dans le cas d’une couche de mélange libre bidimensionnelle. La fréquence de l’instabilité en fonction de l’abscisse x/h est tracée sur la figure Fig. 2.21. Au point de décollement, elle est environ égale à 11800 Hz et au point de recollement équivaux 400 Hz.

Les profils de vitesses et de contraintes de Reynolds dans la couche de mélange sont tracés en coordonnées de similitude sur la figure Fig.2.23. La coordonnées η est défine par :

η= ^{y− y}max(du/dy)

δω (2.20)

où ymax(du/dy) est la position du maximum du gradient vertical de vitesse. Concernant les profils de vitesse en figure 2.23(a), les courbes sont à peu près superposées pour x/h � 2. Ceci montre que la couche de mélange a atteint son état auto-similaire. Le léger décalage observé à la base des profils est provoqué par la forme de la rampe.

Au début de la couche de mélange, les contraintes de Reynolds décroissent de leur haut niveau initial de la couche limite vers les valeurs classiques de la couche de mélange. u2

rms/∆V² décroît pour 1 � x/h � 2 (Fig. 2.23(c)) et u�v�/∆V² pour 1 � x/h � 1, 5. Puis, ces deux contraintes augmentent jusqu’au point de recollement. A contrario, v2

rms/∆V² croît pour 1 � x/h � 1, 5, decroît pour 1, 5 � x/h � 2, 5 et recroît jusqu’au point de recollement. Le tableau Tab.2.3 donne les maxima des contraintes de Reynolds relevés dans la littérature pour les couches de mélanges

2.3. ANALYSE STATISTIQUE DE L’ÉCOULEMENT DÉCOLLÉ 57

Figure 2.20 – Evolution du rapport entre les épaisseurs de vorticité δω et de quantité de mouvement θcm

en fonction des abcsisses x/h.

Figure 2.21 –Fréquence fKH de l’instabilité de Kelvin-Helmholtz en fonction de l’abscisse pariétale x/h pour le cas non contrôlé.

2.3. ANALYSE STATISTIQUE DE L’ÉCOULEMENT DÉCOLLÉ 59

(a)Vitesse (V (η) − Vmin)/∆V . (b) Contrainte de Reynolds u�v�/∆V².

(c)Contrainte de Reynolds u2

rms/∆V². (d) Contrainte de Reynolds v2

rms/∆V².

Figure 2.23 – Profils de vitesse et de fluctuations en coordonnées de similitudes pour différentes position dans la mélange - LES cas non contrôlé.

libres, les écoulements de marche, les écoulements en aval de barrières et la LES sur le rampe de Dandois [57].

Dans leur expérimentation, Castro et Haque [35] ont observé que les niveaux de contraintes normales étaient supérieures à ceux relevés dans les couches de mélanges libres. Le niveau maximum de u2

rms/∆V² correpond à ceux trouvés typiquement pour une marche descendante (Jovic [101], Chandrsuda et Bradshaw [39] et Friedrich et Arnal [69]). Le maximum de v2

rms/∆V² se

rapproche plus des valeurs des couches de mélanges de Ruderich et Fernholz [165] et Oster et Wygnanski [154]. Dandois [57] observe également une valeur plus importante de cette contrainte, il l’explique par la géométrie de la rampe qui offre un bulbe de décollement plus fin que ceux des marches descendantes. Le maximum de cisaillement −u�v�2/∆V² se situe entre celui de Friedrich et Arnal [69] et celui de Castro et Haque [35], pour des configurations différentes. Les résultats obtenus coïncident donc avec ce qui est trouvé dans la littérature.