Modèles non-linéaires dans la littérature du contrôle des écoulements 168

Le chapitre relatif à la bibliographie a permis de mettre en évidence l’utilisation massive de modèles non-linéaires pour le contrôle en boucle fermée ou la réduction d’ordre.

La réduction d’ordre peut être réalisée à partir de modèle de connaissance tels que le modèle de vorticité, détaillé dans l’article de Pastoor et al. [156]. Le modèle de vorticité est basé sur une physique d’écoulement potentiel dont l’interaction entre différents éléments de vorticité est prise en compte dans un formalisme Lagrangien. Plus le nombre de ces éléments sera élevé, et plus le modèle sera fidèle à l’écoulement réel. Pastoor et al. [156] utilisent donc ce type de modèle pour décrire l’interaction entre la couche de mélange et la dynamique du sillage afin de tenter de les découpler pour un contrôle plus performant. Suzuki et al. [192] emploient également un modèle de vorticité basé sur la circulation et la perte de charge afin de contrôler par jet pulsé le vortex

shedding d’un décollement de rampe.

Parmi les modèles dits de comportement, il est possible de distinguer deux principaux types de structures utilisés pour modéliser le comportement d’un écoulement contrôlé.

La première structure est celle des réseaux de neurones. Par exemple, Brehm et al. [23] utilisent un réseau de neurones constitué de 3 couches de 55 neurones chacune pour modéliser la dynamique du contrôle du décollement d’une turbine basse pression. Un modèle à réseau de neurones est également calculé à partir des équations de Burger et d’onde par Cho et al. [43]. Le modèle à réseau de neurones peut être aussi utilisé pour la conception des régulateurs dans le but d’être intégré à ceux-ci (voir Kutay et al. [118]).

La seconde structure rencontrée est celle relative à l’emploi d’une base de fonctions non-linéaires combinées linéairement. La méthode la plus largement employée est celle visant à créer un modèle réduit POD-ROM de l’écoulement. Une série de clichés est d’abord décomposée sur une base de

n_podfonctions spatiales Φi(x, y). Les fonctions propres POD forment une base complète de fonctions orthonormales Φi(x, y), c’est-à-dire que chaque réalisation spatio-temporelle d’un état E(x, y, t)

6.2. STRATÉGIES ET STRUCTURES DES MODÈLES 169 peut se décomposer sur cette base de la façon suivante :

E(x, y, t) =

n�pod

i=1

a_i(t)Φi(x, y) (6.4)

avec ai(t) les coefficients temporels. L’objectif est d’utiliser la convergence optimale énergétique des fonctions POD pour construire un système dynamique d’ordre réduit pour les coefficients temporels

ai(t). Une méthode classique pour obtenir ce type de système consiste à utiliser une projection de Galerkin des équations d’état sur la base de réalisation E(x, y, t). Cette dernière peut être par exemple issue d’une configuration non contrôlée de l’écoulement. Un modèle d’ordre réduit des équations de Navier-Stokes est alors capable de représenter la dynamique de la configuration de départ. Cependant, il n’existe aucune garantie que le modèle réduit ainsi construit soit efficace pour modéliser une dynamique de l’écoulement, éventuellement altérée par application du contrôle. C’est pourquoi ces modèles ne sont jamais utilisés de façon autonome mais en parallèle d’expériences puisque les coefficients peuvent être corrigés en temps réel par l’intermédiaire d’une mesure de l’expérience, généralement la pression. Les régulateurs utilisent le modèle réduit parallèle pour le calcul d’une nouvelle commande. Le lecteur intéressé est invité à se référer à la thèse de Bergmann [17]. Les études utilisant une telle stratégie sont nombreuses et ont été décrit dans le chapitre de la bibliographie. Un aperçu est consultable dans l’annexe A.A en se référant aux études de Ausseur et Pinier [7], Ausseur et al. [8], Caraballo et al. [30], Carlson et al. [33], Cohen et al. [47], Debiasi et al. [63], Glauser et al. [77], Lou et al. [131], Pinier et al. [158], Samimy et al. [166], Seidel et al. [172] et Siegel et al. [177]. L’intérêt majeur de cette méthode de modélisation boîte-noire est de garder un sens physique relatif à la répartition énergétique et par conséquent d’élaborer des stratégies originales de contrôle qui s’avèrent généralement linéaire.

Une seconde structure, plus orientée modèle réduit autonome et communément employée dans le domaine de l’automatique, est constituée par la famille des modèles NARMAX (Nonlinear

Auto-Regressive Moving-Average with eXogeneous input) c’est-à-dire des modèles purement boîte-noire

dont les fonctions n’ont a priori aucun lien avec le système à modéliser. Le ’N’ de NARMAX signifie que le modèle est non-linéaire, le ’AR’ que les valeurs des sorties passées du modèles sont utilisées, le ’MA’ qu’un bruit blanc gaussien perturbateur est pris en compte et le ’X’ que les valeurs des entrées passées du modèles sont utilisées. La structure de l’équation 6.2est fidèlement reprise avec des coefficients de régression θi constants. Le calcul de la valeur des coefficients de régression θi

permet de définir le modèle, cette opération est nommée identification du modèle. La différence entre les différents modèles NARMAX est donc le choix des fonctions non-linéaire Φi.

La seule véritable application du NARMAX visant à modéliser un écoulement est celle de Kim et al. [107]. Le modèle représente la réponse d’un capteur pariétal de pression dans un décollement de rampe arrondie contrôlé par un jet synthétique. Ce qui correspond exactement à l’objectif de ce chapitre. Kim et al. [107] négligent les bruits de mesures, si bien que le modèle est alors nommé NARX. La base de fonctions est choisie polynômiale de puissance maximale égale à 2 avec prise en compte de termes croisés :

y[k] =^�2 p=1 5 � i=1 θ_i|uu[k − i − 9]p+^�2 p=1 2 � i=1 θ_i|yy[k − i]p+^�5 i=1 2 � i=1 θ_i|uyu[k − i − 9]y[k − i] (6.5) Le modèle de Kim et al. [107] n’est valable que sur un petit intervalle de fréquence de forçage

f ∈ [17, 5; 374] Hz, alors qu’il est ici cherché égal à f ∈ [91; 2742] Hz (cf. signal d’identification à la section 6.4). Le comportement dynamique du modèle est bien représenté par rapport aux simulations URANS mais le comportement statique, issu de la statistique du régime permanent, en

demeure assez éloignée. Ces défauts sont justifiés par l’application d’une méthode d’identification non optimale relativement au signal d’identification (sujet abordé plus bas).

Seidel et al. [173] ont récemment calculé un modèle NARX dont les fonctions sont des on-delettes. Ce modèle n’est pas destiné à une application de simulation d’écoulement, mais à une estimation de coefficients d’un modèle POD-ROM en temps réel. Bien que le modèle soit légère-ment plus complexe à mettre en oeuvre que celui de Kim et al. [107], il présente l’avantage de donner des performances supérieures.

6.2.3.2 Choix du type de modèle de l’écoulement

Les paragraphes précédents ont permis de relever les différents modèles non-linéaires impliqués dans le contrôle des écoulements présents dans la littérature. Il existe de nombreuses autres struc-tures de modèle non-linéaire, mais qui n’ont pas encore trouvé d’application en aérodynamique.

La modélisation de la réponse du capteur de pression à la fréquence de forçage par le biais d’un écoulement de rampe arrondie peut être abordée par les trois grands types de structures présentés. Le modèle de connaissance de vorticité (Pastoor et al. [156]) présente l’intérêt de contenir un sens physique qui peut être utilisé afin de tenter de comprendre le mécanisme de contrôle. Cette méthode n’est cependant pas retenue puisqu’elle nécessite un temps de développement conséquent et ne garantie pas de résultats probants. De plus, la simulation de ce type de modèle est assez lourde, dès lors que le nombre de particules devient élevé, ce qui ne permet pas de satisfaire la contrainte d’un modèle de grande rapidité de restitution des résultats.

De manière générale, les modèles de connaissance dits boîte-blanche possédant une description de la physique relativement complète ont un temps de restitution trop long pour envisager leur utilisation dans la conception des régulateurs. C’est ce qui est observé en pratique avec la LES ou encore les simulations URANS.

Ainsi, le choix de la structure se porte vers les modèles boîte-noire, c’est-à-dire les modèles de

comportement. Bien que les équations employées dans ce type de modèle soient a priori dénuées

de sens physique, les modèles POD-ROM tentent d’affronter cette fatalité par l’emploi d’une base POD sur laquelle il est possible de connaitre la contribution énergétique de chaque mode. Il pourrait donc être justifiable qu’un tel type de modèle soit dénommé de boîte-grise. La fidélité des résultats et la stabilité du modèle, par exemple, nécessite l’emploi du modèle en parallèle avec la simulation ou l’expérience. Cette contrainte fait sortir ces techniques du cadre fixé par l’étude, c’est pourquoi ce type de modèle, bien que très avantageux, n’est pas retenu.

Le réseau de neurones reste alors, d’un point de vue théorique, le meilleur candidat puisque sa structure est celle qui offre un maximum de flexibilité. Cependant, le développement des réseaux de neurones demande de nombreuses itérations et de nombreux tests. En général, un réseau de neurones est employé lorsque les modèles de type NARMAX ne satisfont pas les contraintes fixées. Des modèles de type NARMAX ont déjà été appliqués avec succès. Le cadre de l’étude est en parfaite adéquation avec celui de Kim et al. [107]. C’est pourquoi les modèles NARMAX sont d’abord retenus, et en cas d’un échec, le choix se portera sur les modèles à réseau de neurones. Les résultats de Kim et al. [107] et la grande flexibilité offerte par les polynômes (puissance, termes croisés, base orthogonale, etc.) orientent le choix vers les modèles NARMAX polynomiaux bien que les modèles NARMAX à ondelettes soient également adéquats.

Dans un système réel, les perturbations proviennent soit du bruit de mesure qui est ici nul puisque la mesure en un point de maillage d’une simulation numérique est parfaite, c’est-à-dire sans modification de la part du capteur ; soit du système lui même avec des fréquences parasites provenant de l’installation expérimentale, soit des fluctuations de la turbulence de l’écoulement, lesquelles ne sont pas représentées par une simulation URANS. C’est pourquoi les perturbations

6.2. STRATÉGIES ET STRUCTURES DES MODÈLES 171 sont négligées. Le modèle employé dans ces travaux est donc un NARX polynômial.