4.3 Fréquences et amplitudes optimales
4.3.1 Effet du forçage sur différents critères statistiques
Le forçage est intrinsèquement instationnaire et son effet global sur l’écoulement ne peut-être défini que statistiquement. Cette section a pour vocation de recenser les points de fonctionnements optimaux de l’actionneur relatifs à différents critères décrivant le comportement statistique de l’écoulement.
4.3.1.1 Abscisses des points de décollement et de recollement
Les abscisses moyennes des points décollement et de recollement sont définies par l’annulation du frottement pariétal. La figure Fig. 4.4 trace l’évolution du frottement pariétal τp en fonction de la fréquence réduite F+ et de l’abscisse adimensionnée par la hauteur de rampe. Les couleurs chaudes et froides indiquent un frottement respectivement positif et négatif. Le frottement pariétal nul est matérialisé par une ligne en pointillés de couleur noire. Celle située aux abscisses x/h égales à 0,52 représente la position de l’actionneur.
La figure Fig.4.4révèle que le décollement est constitué d’un unique bulbe pour des fréquences réduites F+<2 quelque soit l’amplitude. Au dessus de cette fréquence, le décollement est composé d’un large bulbe principal et d’un plus petit secondaire. Le cas {F+= 3; Cµ= CµB} est le seul cas à présenter une décomposition du décollement en trois bulbes. La taille et la position de ces bulbes
4.3. FRÉQUENCES ET AMPLITUDES OPTIMALES 109
(a) Cµ0
(b) CµA
(c) CµB
Figure 4.5 – Effet de la fréquence et de l’amplitude sur l’aspect du bulbe moyen de décollement. secondaires demeurent quasi-constante en fonction de la fréquence d’excitation. L’effet d’amplitude sur le bulbe secondaire reste plus important : le bulbe secondaire s’élargit avec l’amplitude.
Le contour de la zone décollée définie par la méthode de débit masse nul de l’équation Eq. 2.4
est tracé sur la figure Fig.4.5. Le bulbe secondaire est tellement fin qu’il est invisible.
La fréquence a un effet principalement porté sur l’abscisse de recollement du bulbe principal. Son effet sur la première abscisse de recollement y est effectivement plus faible. A partir de la valeur du frottement pariétal τw, il est possible de définir deux critères d’optimisation : minimisation de l’abscisse de recollement du bulbe principal et maximisation de l’abscisse du premier décollement. Ces deux critères permettent de représenter la capacité du forçage à respectivement anticiper le recollement et à retarder le décollement.
On constate sur la figure Fig. 4.4 que l’abscisse du point de recollement statistique suit une courbe présentant un minimum global en fonction de la fréquence pour chaque amplitude. Cette abscisse atteint sont minimum à une fréquence Stbh = 0, 2 (F+ = 1, 2) pour le cas Cµ0 et une fréquence Stbh = 0, 23 (F+ = 1, 4) aux amplitudes CµA et CµB. L’abscisse de recollement est d’autant plus courte que l’amplitude est élevée, mais l’effet demeure peu remarquable.
Quelque soit la fréquence et l’amplitude l’effet est positif. C’est-à-dire que l’introduction d’un forçage quelconque est bénéfique pour anticiper le recollement.
Figure 4.6 – Effet de la fréquence et de l’amplitude sur la longueur de décollement L adimensionnée par la longueur de décollement sans contrôle L0.
L’abscisse du premier point de décollement est quant à elle monotone et à pente négative, si bien que la fréquence optimale est caractérisée par la plus faible fréquence : Stbh= 0, 016 (F+= 0, 1). 4.3.1.2 Longueur de décollement
L’étude du frottement pariétal montre que le forçage à un effet sur les abscisses des points de décollement et de recollement. Il est par conséquent possible de relever l’effet du forçage sur la longueur de décollement. En raison de la présence de plusieurs bulbes, la définition de longueur de décollement devient problématique. Afin de pouvoir comparer plus loin les résultats avec ceux issus de la littérature, la longueur de décollement est définie comme étant la différence entre les abscisses du dernier point de recollement et du premier point de décollement.
Les effets de la fréquence sur la longueur de décollement L adimensionnée par la longueur de décollement sans contrôle L0 pour chaque amplitude sont tracés sur la figure Fig. 4.6. Le critère à minimiser est la longueur de décollement. Quelque soit le point de fonctionnement, le forçage réduit toujours la longueur de décollement par rapport au cas sans contrôle. Chaque courbe présente un unique minimum global. Le tableau Tab. 4.2 regroupe les fréquences optimales pour chaque amplitude et le gain associé par rapport au cas non contrôlé.
Table 4.2 – Fréquence optimale minimisant la longueur de décollement en fonction de l’amplitude.
Cµ Fopt+ Stbhopt L/L0
Cµ0 1,2 0,20 25%
CµA 1,4 0,23 31%
4.3. FRÉQUENCES ET AMPLITUDES OPTIMALES 111
Figure 4.7 – Effet de la fréquence et de l’amplitude sur la hauteur maximale de la zone de recirculation hbmax adimensionnée par celle du cas non contrôlé hb0 max.
La fréquence optimale évolue avec l’amplitude mais demeure du même ordre de grandeur. Plus l’amplitude est grande et plus le gain sur le critère est grand. La figure Fig.4.6montre une saturation sur l’effet d’amplitude à partir de CµA et pour des fréquences réduites F+ supérieures ou égales à 2. Une saturation sur l’effet de fréquence est également observée pour des fréquences réduites F+ supérieures ou égales à 4.
Les performances du forçage sur la réduction de la longueur de décollement restent modestes. Ce critère permet d’estimer l’influence du contrôle sur la géométrie du bulbe suivant la direction de l’écoulement.
4.3.1.3 Hauteur maximale du bulbe moyen de décollement
L’évolution de la hauteur maximale du bulbe permet de décrire l’effet du forçage sur la compo-sante normale à la direction de l’écoulement infini, c’est-à-dire la caractérisation de l’aplatissement de la zone de recirculation.
L’effet du forçage sur la hauteur maximale du bulbe hbmax adimensionnée par celle du cas non contrôlé hb0max est tracé sur la figure Fig.4.7. Quelque soit la fréquence, la hauteur maximale du bulbe est réduite par rapport au cas non contrôlé. Pour les amplitudes Cµ0 et CµA, les courbes possèdent un minimum global à une fréquence Stbh= 0, 23 (F+ = 1, 4), tandis que pour l’amplitude
CµB la courbe présente deux minima avec le global à Stbh = 0, 25 (F+= 1, 5)).
L’effet d’amplitude sature pour Cµ� CµA et pour des fréquences réduites F+ � 2. Par extra-polation, l’effet de fréquence sature lorsque F+� 6.
Le critère d’optimisation est ici la minimisation de hbmax. Il représente l’aptitude du contrôle à aplatir le bulbe moyen de circulation, se traduisant par une augmentation de la section de passage de l’écoulement dans une configuration manche à air. Le tableau Tab. 4.3 regroupe les fréquences
Figure 4.8 – Effet de la fréquence et de l’amplitude sur la surface de la zone de recirculation S adimensionnée par celle du cas non contrôlé S0.
optimales pour chaque amplitude avec le gain associé pour ce critère.
Table 4.3 – Fréquence optimale minimisant la hauteur maximale de la zone de recirculation en fonction de l’amplitude.
Cµ Fopt+ Stbhopt hbmax/hb0max
Cµ0 1,4 0,23 46%
CµA 1,4 0,23 60%
CµB 1,5 0,25 68%
Les gains associés aux fréquences optimales sont ici plus significatives que sur le critère relatif à la longueur de décollement. Le gain maximal atteint est dans ces trois séries égal à 68%. Le forçage privilégie la contraction du bulbe moyen de recirculation par diminution de sa hauteur par rapport à sa réduction d’étendue longitudinale.
4.3.1.4 Surface du bulbe moyen de décollement
Les précédents critères concernent l’aspect géométrique du bulbe. La combinaison de ces critères porte naturellement sur la surface moyenne de la zone décollée. Cette surface est calculée à partir du contour de la zone décollée définie par la méthode de débit masse nul de l’équation Eq. 2.4. L’effet du contrôle sur le bulbe moyen est matérialisé sur la figure Fig. 4.5.
L’effet de la fréquence et de l’amplitude sur la surface de la zone de recirculation S adimension-née par celle du cas non contrôlé S0 est tracé sur la figure Fig.4.8.
Les deux séries d’amplitudes Cµ0 et CµA possèdent un minimum global pour une fréquence
4.3. FRÉQUENCES ET AMPLITUDES OPTIMALES 113 (F+= 1, 5)).
La saturation de l’effet d’amplitude est clairement visible pour Cµ� CµA et F+� 2. L’effet de fréquence sature lorsque F+ � 6.
Quelque soit le point de fonctionnement de l’actionneur, le forçage offre une réduction de la surface du bulbe moyen.
Table 4.4 – Fréquence optimale minimisant la hauteur maximale de la zone de recirculation en fonction de l’amplitude.
Cµ Fopt+ Stbhopt S/S0
Cµ0 1,4 0,23 65%
CµA 1,4 0,23 78%
CµB 1,5 0,25 86%
Le tableau Tab.4.4montre les fréquences optimales pour chaque amplitude avec le gain associé pour le critère de minimisation de la surface du bulbe moyen de recirculation. Le gain maximal observé sur ce critère est de 86% et montre que le contrôle est efficace.
4.3.1.5 Circulation de la zone décollée
Le bulbe de décollement moyen peut être caractérisé par son intensité vortex I ou par sa circulation Γ, ces deux grandeurs sont reliées mathématiquement par la relation Γ = 2I sur un même contour fermé. Il est par conséquent possible de déterminer l’effet du forçage sur la circulation du bulbe moyen en s’appuyant sur la surface fermée Σ délimitée par le contour de ce même bulbe grâce à la relation : Γ = 2I =�� Σ �−→ ∇ ∧−→V� · −→n dσ (4.1)
où −→n est le vecteur orthonormal à la surface du bulbe, ici égal à −→ez.
L’effet du forçage sur la circulation adimensionnée est tracé sur la figure Fig. 4.9. Les courbes suivent une évolution semblable aux précédents critères. La saturation en amplitude pour Cµ� CµA
et F+ � 2 est observée ainsi qu’une saturation en fréquence pour F+ � 6. Le tableau Tab. 4.5
expose les fréquences optimales obtenues sur un critère de minimisation de la circulation du bulbe. Table 4.5 – Fréquence optimale minimisant la circulation de la zone de recirculation en fonction de l’amplitude.
Cµ Fopt+ Stbhopt Γ/Γ0
Cµ0 1,4 0,23 80%
CµA 1,5 0,25 92%
CµB 1,5 0,25 95%
Le gain maximal observé est égal à 95%, les fréquences optimales sont de l’ordre Stbh = 0, 23 − 0, 25 (F+= 1, 4 − 1, 5).
Ce critère ne permet pas d’estimer l’efficacité de l’actionneur sur l’intensité des zones de recir-culation puisque la cirrecir-culation contient intrinsèquement la valeur de la surface. Afin d’éviter l’effet de surface, la circulation est pondérée par la surface de la zone décollée. Cette dernière grandeur est représentée sur la figure Fig.4.10.
La série de calcul pour l’amplitude Cµ0montre que le forçage renforce l’intensité du décollement lorsque les fréquences réduites sont inférieur à 0,7. Cette observation peut-être liée par le fait
Figure 4.9 – Effet de la fréquence et de l’amplitude sur la circulation Γ du bulbe moyen adimen-sionnée par celle du cas non contrôlé Γ0.
Figure 4.10 – Effet de la fréquence et de l’amplitude sur la circulation Γ du bulbe moyen adimen-sionnée par celle du cas non contrôlé Γ0.
4.3. FRÉQUENCES ET AMPLITUDES OPTIMALES 115 qu’à ces fréquences, notamment F+= 0, 1, l’actionneur ne peut générer proprement une structure tourbillonnaire transversale de contrôle. Lorsque la fréquence réduite est supérieur à 3, la circulation pondérée reste quasi-constante. Le forçage montre donc une saturation en fréquence. Un minimum global est observé pour Stbh = 0, 23 (F+= 1, 4).
La série relative à l’amplitude CµA, présente quant-à elle un minimum légèrement décalé en fréquence ( Stbh = 0, 25 (F+= 1, 5)) mais avec un gain largement accru. La dernière courbe - série
CµB - montre une constante évolution de la circulation pondérée. La fréquence optimale n’est donc pas déductible à partir des calculs menés. Le résumé de ces performances optimales de l’actionneur sur la minimisation de la circulation pondérée par la surface est donnée par le tableau Tab.4.6. Table 4.6 – Fréquence optimale minimisant la circulation pondérée par la surface de la zone de recirculation en fonction de l’amplitude.
Cµ Fopt+ Stbhopt (Γ/S)/(Γ0/S0)
Cµ0 1,4 0,23 45%
CµA 1,5 0,25 63%
CµB – – –
Le gain maximal observé sur les courbes égal à 84% est atteint pour le cas {F+ = 1, 0; Cµ =
CµB}.
4.3.1.6 Traînée
Le critère sur la circulation du bulbe moyen de circulation permet de faire la transition entre les critères relatifs à la géométrie du bulbe et ceux relatifs aux grandeurs physiques. Le premier critère généralement examiné est la traînée qui est ici décomposée en deux : la traînée de frottement et la traînée de pression.
La traînée de frottement Cxτ est estimée par la relation :
Cxτ = −1
xmax− xmin
� xmax
xmin
τw(x)dx (4.2)
et la traînée de pression par :
Cxp= 1
yxmax− yxmin
� yxmax
yxmin
pw(x(y)) − p∞dy (4.3)
Les bornes d’intégration sont choisies telles qu’elles comprennent le point de décollement et une partie de la zone recollée. Les valeurs sont arbitrairement choisie et valent : xmin/h = 0 et
xmax/h= 8.
Les effets de la fréquence et de l’amplitude sur la traînée de frottement Cxτ adimensionnée par celle du cas non contrôlé Cxτ0 sont représentés sur la figure Fig.4.11. Le critère généralement cherché est la minimisation de la traînée de frottement. Quelque soit le point de fonctionnement de l’actionneur l’effet sur ce critère est négatif. En effet, la longueur de décollement est toujours réduite par le forçage, si bien que la contribution du frottement dans le sens opposé à l’écoulement créée par la zone de recirculation diminue.
Il n’existe donc pas de fréquence optimale sur la réduction de traînée de frottement. Les courbes suivent l’évolution opposée de celle de la longueur de recollement.
La figure Fig.4.12 montre l’évolution de la traînée de pression Cxp adimensionnée par celle du cas non contrôlé Cxp0 en fonction de la fréquence pour chaque amplitude de forçage. Le critère d’optimisation communément utilisé est la réduction de la traînée de pression. La série de calcul
Figure 4.11 – Effet de la fréquence et de l’amplitude sur la traînée de frottement Cxτ adimen-sionnée par celle du cas non contrôlé Cxτ0.
Figure 4.12 – Effet de la fréquence et de l’amplitude sur la traînée de pression Cxp adimensionnée par celle du cas non contrôlé Cxp0.
4.3. FRÉQUENCES ET AMPLITUDES OPTIMALES 117 avec l’amplitude Cµ0 présente un minimum global pour une fréquence réduite F+ égale à 3. La traînée est ici réduite si la fréquence est suffisamment élevée (F+ � 1), c’est-à-dire qu’une trop basse fréquence d’oscillation augmente la traînée de pression. Le tourbillon transverse ne se forme pas correctement, si bien que la phase de soufflage à un effet de simple soufflage, ce qui renforce le bulbe de décollement et par conséquent la dépression provoquée par ce même décollement.
Le rapport Cxp
Cxp0 devient négatif pour des fréquence réduites telles que F+� 1 pour les différentes amplitudes, ce qui signifie que la traînée de pression devient une force de poussée.
Les résultats de la série d’amplitude CµA se superposent avec ceux de la première amplitude sauf pour la fréquence réduite F+ égale à 3. La fréquence réduite optimale est alors décalée à 2. Pour l’amplitude CµB, les résultats sont décalés négativement et ne présentent pas de minimum. A l’opposé des précédents critères, l’amplitude qui offre une réduction maximale du critère sélectionné est la plus basse. Les points de fonctionnement optimaux sont reporté dans le tableau Tab.4.7.
Table 4.7 – Fréquence optimale minimisant la traînée de pression en fonction de l’amplitude.
Cµ Fopt+ Stbhopt Cxp/Cxp0
Cµ0 3,0 0,50 169%
CµA 2,0 0,33 158%
CµB – – –
Bien que les grandeurs soient présentés de façon adimensionnées, la traînée de frottement est négligeable face à celle de pression. Ainsi l’optimisation de la traînée globale se calque sur celle de la traînée de pression.
4.3.1.7 Pression et fluctuations de pression pariétale
L’objectif du contrôle est de supprimer le décollement. Il est idéalement désiré de retrouver un écoulement en fluide parfait où la pression pariétale sur la rampe est maximale. Rechercher à maximiser cette pression constitue alors un objectif de contrôle. Afin d’estimer les performances sur ce critère, la figure Fig. 4.13 représente l’évolution longitudinale de la pression pariétale moyenne adimensionnée pw/pw0 en fonction de la fréquence pour chaque amplitude.
Le forçage a pour effet d’augmenter la pression pariétale dans la zone recollée, c’est-à-dire dans la zone délimitée par les lignes définies par le premier point de décollement et le dernier point de recollement. Quelque soit la fréquence et l’amplitude, le forçage est bénéfique sur la rampe. A contrario, en aval du recollement la pression est diminuée. En respectant le critère de maximisation de la pression pariétale, chaque série de calcul présente un optimum local. La fréquence Stbh= 0, 25 (F+ = 1, 5) est optimale pour les amplitudes Cµ0 et CµB, et Stbh = 0, 23 (F+ = 1, 4) pour CµA. Les gains associés à ces optima sont regroupés dans le tableau Tab.4.8. Au maximum, un gain de 1, 4% est observé, ce qui correspond à une augmentation de 282 Pa au point considéré. Le choix de sélectionner deux chiffres significatifs après la virgule montrent que l’amplitude optimale est CµA
et qu’au delà une saturation d’effet en amplitude peut être considérée.
L’intérêt de se pencher sur les grandeurs relatives à la pression pariétale est qu’il est expé-rimentalement possible de les mesurer à l’aide de capteurs de pression. Les mesures de pression peuvent être utilisées comme une entrée d’un algorithme de contrôle en boucle fermée pour obtenir automatiquement la fréquence et l’amplitude optimales. Dans le cas de la maximisation de pression moyenne pariétale, un unique capteur de pression placé en aval de l’actionneur est capable de rendre compte de la performance du contrôle relativement au critère choisi.
Afin de caractériser les modifications de pression et de ses fluctuations par le forçage dans le champ en aval du recollement, on définit deux grandeurs intégrales locales C∆pi(x) et CP rms(x).
(a) Cµ0 (b) CµA (c) CµB
Figure 4.13 – Évolution longitudinale de la pression pariétale moyenne adimensionnée pw/pw0 en fonction de la fréquence pour chaque amplitude.
Table 4.8 – Fréquence optimale pour chaque amplitude du critère de maximisation de la pression pariétale moyenne adimensionnée pw/pw0.
Cµ Fopt+ Stbhopt pw/pw0
Cµ0 1,5 0,25 1, 30%
CµA 1,4 0,23 1, 45%
CµB 1,5 0,25 1, 44%
La première permet d’estimer les pertes de pression totale sur un profil à abscisse fixée. Elle est typiquement associée à une des définitions de la distorsion. La seconde évalue une moyenne pondérée des fluctuations de pression pour une abscisse donnée. C∆pi(ξw) est défini en variables curvilignes par l’équation :
C∆pi(ξw) =� ηsup 0
pi(ξw, η)
pi∞(ξw)dη (4.4)
avec pi∞(ξw) la pression totale de référence locale, soit pi(ξw, ηsup). CP rms(ξw) est dans ce même système de coordonnées défini par :
CP rms(ξw) =� ηsup
0
prms(ξw, η)
prms∞(ξw)dη (4.5)
avec prms∞(ξw) la valeur des fluctuations de pression au point de référence local (ξw, ηsup).
L’évolution longitudinale du coefficient de distorsion de pression totale adimensionné C∆pi/C∆pi0
en fonction de la fréquence pour chaque amplitude est tracé sur la figure Fig. 4.14. Seul la partie du sillage est représentée puisque l’on s’intéresse à la zone où un moteur pourrai être placé. Il doit être noté que le déraffinement du maillage commence à une abscisse x/h = 10.
Lorsque la fréquence réduite de forçage est supérieure à 1, la distorsion est plus faible dans la zone recollée que dans le cas non-contrôlé. Chaque série présente une fréquence optimale qui peut minimiser cette distorsion tout le long de la zone recollée. La série correspondant à une amplitude
Cµ0 présente une fréquence optimale égale à Stbh= 0, 50 (F+ = 3, 0). Les séries avec une amplitude supérieure ont pour fréquence optimale Stbh = 0, 33 (F+ = 2, 0). Les gains maximaux associés à
4.3. FRÉQUENCES ET AMPLITUDES OPTIMALES 119
(a) Cµ0 (b) CµA (c) CµB
Figure 4.14 – Évolution longitudinale du coefficient de distorsion de pression totale adimensionné
C∆pi/C∆pi0 en fonction de la fréquence pour chaque amplitude.
Table 4.9 – Fréquence optimale pour chaque amplitude du critère de minimisation du coefficient de distorsion de pression totale adimensionnée C∆pi/C∆pi0.
Cµ Fopt+ Stbhopt C∆pi/C∆pi0
Cµ0 3,0 0,50 24%
CµA 2,0 0,33 25%
CµB 2,0 0,33 20%
ces optima sont référencés dans le tableau Tab. 4.9. L’amplitude offrant le meilleur gain est CµA. Il doit être noté que les valeurs ne sont pas forcément prises aux mêmes abscisses.
4.3.1.8 Taux de turbulence
Le taux de turbulence Tu est un moyen de caractériser le champ de turbulence. Il est défini comme étant le rapport entre la racine carré de l’énergie cinétique turbulente k et la vitesse longi-tudinale à l’infini : Tu = � 2 3k u∞ (4.6)
avec l’énergie cinétique turbulence k :
k= �u2rms+ v2
rms+ w2
rms
�
2 (4.7)
L’effet du forçage sur le maximum local du taux de turbulence est représenté sur la figure Fig.
4.15. Pour limiter les distorsions provoquées par une turbulence trop importante, un objectif du contrôle employé dans la conception des turbomachines est de minimiser ce taux de turbulence. Le forçage permet une réduction de ce maximum principalement dans la zone recollée et pour des fréquences telles que F+ � 1. Pour chaque série de calcul, il existe une fréquence privilégiée qui permet une réduction maximale du taux de turbulence pour toutes les abscisses. La fréquence optimale est égale à Stbh = 0, 50 (F+ = 3, 0) pour l’amplitude Cµ0. Pour les autres amplitudes,