Stabilité en température

La température a pour effet de dilater mécaniquement le substrat et aussi de faire varier l’indice effectif. En première approximation ces deux effets peuvent être modélisés comme une variation de l’indice effectif du guide. En effet, les variations de l’indice effectif et des dimensions s’écrivent de la manière suivante :

x(T) = fx(T)xo et n(T) = fn(T)no (3.29) La variation équivalente de l’indice effectif s’écrit donc :

n⁰xo =n(T)∗x(T) = f_n(T)f_x(T)n_ox_o

= (1+e(T))n_ox_o où e(T) = fn(T)fx(T)−1.

3.2.3.1 Instabilité pendant le temps d’intégration

Comme nous l’avons déjà vu, l’intensité mesurée est une valeur moyenne sur le temps d’intégration. Ainsi, dans le cas d’instabilités en température, l’intensité mesurée sera donc altérée par les variations induites de l’indice effectif. En prenant pour hypothèse que les variations de températures sont les mêmes sur tout le guide, alors l’intensité mesurée pour une longueur d’onde monochromatique s’écrit :

I_mesur´ee(x) = Z to+∆t/2 to−∆t/2 ^{cos 2πno}(1+e0(t))σ_ox
dt = Z +∞ −∞ ^ηto(∆n)cos 2π(no+∆n)σox
d∆n (3.30) où e⁰(t)est une fonction aléatoire à moyenne nulle sur l’intervalle de temps

fonction ηto(∆n) au temps to. On reconnaîtra dans la dernière équation la transformée de Fourier réelle de η_to(∆n). Finalement, l’intensité mesurée s’écrit donc :

Imesur´ee(x) =Re[˜η_to(σox)]cos(2πnoxσo) (3.31) Au lieu de mesurer le cosinus d’une onde monochromatique on mesure donc le cosinus multiplié par la transformée de Fourier réelle de la loi de proba-bilité η_to. En calculant le spectre mesuré pour une onde monochromatique à partir de l’équation précédente on obtient donc :

B_mesur´e(σ) = η_to  σ−σo σ_o  +η_to  σ+σo σ_o  2 ^(3.32)

On peut donc voir que pour une raie monochromatique le spectre est élargi comme la loi de probabilité de la variation de l’indice effectif. On peut aussi remarquer que la raie est d’autant plus élargie que σo est grand. Ceci peut se deviner aisément de manière intuitive. En effet, on peut facilement comprendre que les interférences sont d’autant plus rapidement brouillées que leur longueur d’onde est petite, ainsi pour un même ∆n une onde de grande longueur d’onde sera moins décalée qu’une onde de plus petite longueur d’onde.

Dans un cas polychromatique le spectre mesuré est donné par l’équation suivante : B_mesur´e(σ) = Z +∞ −∞ ^B(σ_o)η_to,σo  σ−σo σ_o  dσ_o (3.33)

Les instabilités en température ont donc pour effet de limiter la résolu-tion maximale accessible. Grâce aux équarésolu-tions précédentes on peut calcu-ler la variation maximale de l’indice effectif pour laquelle cet effet est plus contraignant que l’effet de troncature de l’interférogramme. En effet, dès que la largeur à mi-hauteur (notée ∆no) de la loi de probabilité ηto(∆n)est plus importante que celle du sinus cardinal issu de la troncature, l’instabilité en température est pénalisante. Il faut donc que :

∆noσ_o < ^{0, 603}

2noδ_max (3.34)

Malheureusement, il n’y a pas de possibilité de correction dans le cas où cette condition n’est pas respectée. Ainsi la seule chose qui peut être faite est de contrôler la température et, dans le cas où celle-ci varie trop, de dégrader la résolution du spectre mesuré afin d’éliminer d’éventuels artefacts. Pour réaliser cette dégradation il faut tenir compte de la dispersion chromatique de l’effet de l’instabilité en température. Néanmoins si l’on étudie un spectre à basse résolution on peut aussi en profiter pour relâcher les contraintes sur la stabilité en température. Ceci peut être particulièrement intéressant pour des appareils mobiles car maintenir une température constante peut être relativement énergivore.

3.2.3.2 Quantification des contraintes

Si la variation de température n’est pas trop importante alors la variation de x et de n vis-à-vis de la température est linéaire :

x(T) = α(T−T_o) +1
x_o et n(T) = β(T−T_o) +1
n_o (3.35) Enfin, si α et β sont petits alors l’indice effectif devient :

n⁰ ≈ (α+β)(T−To) +1
no =no+e(T) (3.36) Dans ce cas particulier, la fonction ηto introduite dans le paragraphe précé-dent est une combinaison linéaire de la loi de probabilité de la température. La condition précédente sur ∆no peut donc s’écrire :

∆T< ^{0, 603}

2n_oδ_maxn_oσ_o(α+β) ^(3.37)

Dans le cas où la loi de probabilité est une fonction porte de largeur∆no le spectre obtenu pour une onde monochromatique sera une porte de largeur ∆noσ_o. Les valeurs de α et β sont typiquement de l’ordre de 10⁻⁵ pour les verres que nous utilisons en optique intégrée. Ainsi, en reprenant les va-leurs numériques données dans l’introduction de ce chapitre, pour garantir le fait que nous n’allons pas dégrader la résolution maximale accessible, il faut stabiliser la température à plus ou moins 0, 2˚C. Comme nous l’avons déjà dit, cette marge de stabilité de la température doit être assurée durant toute la durée d’acquisition ; typiquement cette durée varie de moins d’une seconde pour une source en laboratoire à quelques minutes pour une source astrophysique. Ainsi, cette contrainte de stabilité ne sera plus ou moins dé-rangeante suivant la source observée.

3.2.3.3 Instabilité entre les pas de balayage en OPD

L’instabilité en température entre les pas de balayage en OPD est beau-coup moins contraignant. En effet, si nous connaissons la température durant l’intégration, ainsi que la courbe de variation de l’indice en fonction de la température, alors on peut corriger les interférogrammes avant de les assembler. Le principal problème provient du fait que cette correction apé-riodise le pas d’échantillonnage. En effet, dans un cas on aura des mesures tous les no∆x et dans l’autre cas on aura des mesures tous les(n_o+∆n)∆x ; ainsi lors de l’assemblage des deux, on aura un interférogramme échan-tillonné avec un pas variable. Cela s’apparente tout simplement au problème d’espacement non uniforme des plots que nous étudions dans un des para-graphes suivants (cf. § 3.2.4).

L’autre problème que peut poser l’instabilité en température entre les pas de balayage en OPD est que la variation de l’indice effectif peut être chromatique. Cela a pour effet de changer le spectre apparent entre les pas de balayage. En effet, dans un cas le spectre apparent sera B(n_oσ) et dans l’autre B α(σ)σ
ainsi cela conduira à une dégradation de la résolution qui ne peut être corrigée. Fort heureusement la dispersion chromatique de la variation de l’indice effectif est négligeable.