Présentation théorique de la calibration d’un SWIFTS Au paragraphe 3.5.5.2 nous avons présenté en détail la figure 3.20 ;

sur-tout nous avions précisé que cette image, qui est l’assemblage des réponses monochromatiques d’un même SWIFTS, possédait toutes les informations

de calibration d’un SWIFTS. Pour rappel, la figure 5.7-b représente le même type d’image.

Figure 5.7 – Simulation d’un balayage en nombre d’onde pour calibrer la position des plots Les paramètres utilisés pour cette simulation sont les mêmes que ceux utilisés au chapitre 3. C’est-à-dire que l’indice effectif vaut n =1,519, le pas des pixels vaut

Pp=17 µm et avec N p=256 plots.

– fig. a : balayage en nombre d’onde dans le cas où l’indice effectif est fonction

li-néaire du nombre d’onde n(σ) = nsigma_min+∆nσ/∆σ (nsigma_min =1,519,

∆n=0,02) ;

– fig. b : balayage en nombre d’onde dans le cas où l’indice effectif est indépendant

du nombre d’onde ;

– fig. c et d : transformée de Fourier des colonnes des images du dessus, on peut

remarquer qu’il y a un repliement sur les côtés des images, ceci est dû au pas d’échantillonnage en nombre d’onde.

Tout d’abord, nous prenons pour hypothèse que :

– le phénomène des réflexions de Bragg est négligeable ; – tous les plots ont la même efficacité ;

– l’efficacité des plots est invariante par rapport au nombre d’onde.

L’équation d’une image constituée des interférogrammes monochroma-tiques d’un même SWIFTS (figure 5.7-b) peut donc s’écrire :

I(x_m, σ) =I_ocos(2πnσxm) (5.1) où x_m est la position du plot m par rapport au zéro OPD et n l’indice ef-fectif du guide. Il s’agit de l’interférogramme dont nous avons retiré le fond continu (cosinus hyperbolique) comme indiqué précédemment (cf. définition 2.1). Ainsi, l’équation suivant une colonne est la suivante :

I_m(σ) = I_ocos(2πnσx_m) (5.2) Nous allons maintenant appliquer une transformée de Fourier suivant les colonnes, cela nous donne :

˜Im ˜Imax = sinc 2π∆σ(x+x_m)
+sinc 2π∆σ(x−x_m)
  (5.3)

où ˜Imax est la valeur maximum de la transformée de Fourier. On remarque ainsi que cette transformée de Fourier nous donne directement accès à la position du plot par rapport au zéro OPD. La résolution de ce sinus cardinal est médiocre puisque pour un ∆σ d’environ 6700 cm−1 (soit un balayage de 600 à 1000 nm en longueur d’onde) on obtient une largeur à mi-hauteur d’environ 900 nm. Néanmoins, on sait donner avec une précision beaucoup plus grande la position barycentrique de ce sinus cardinal. En fait, le rapport entre la précision de la mesure barycentrique et la largeur à mi-hauteur du sinus cardinal vaut le rapport signal à bruit de la mesure. Dans le cadre de nos expérimentations, pour des mesures monochromatiques, on atteint faci-lement un rapport signal à bruit supérieur à 1000. Ainsi, on peut mesurer, des positions de plots à mieux que 0,9 nm, ce qui est très largement suffisant.

Dans cette présentation nous avons pris pour hypothèses initiales que tous les plots ont la même efficacité et qu’il n’y pas de dispersion chro-matique (ni de l’efficacité des plots, ni de l’indice effectif du guide). Nous allons maintenant présenter les effets de ces deux problèmes, la manière de les corriger ainsi que l’information qu’ils nous donnent.

5.4.1.1 Effet de la dispersion en efficacité des plots

Les plots présents sur un SWIFTS ne sont pas tous identiques. Le principal défaut est qu’ils n’ont pas la même efficacité et que celle-ci est dépendante de la longueur d’onde. Pour calibrer ce problème, il existe deux manières :

– soit on procède à un balayage en OPD ;

Dans le premier cas, lorsque l’on moyenne les images d’un balayage en OPD, on moyenne les interférences et on obtient ainsi directement le cosinus hyperbolique. Ce cosinus hyperbolique contient l’information photomé-trique sur l’efficacité de chacun des plots.

L’autre technique consiste à prendre une image en injectant d’un côté puis une autre en injectant de l’autre côté. En faisant la somme de ces deux images, on obtient à nouveau le cosinus hyperbolique. Ces deux techniques sont totalement équivalentes du point de vue de la qualité des mesures. Le seul avantage que possède la technique de balayage en OPD est que nous acquérons deux informations en même temps :

– une information interférométrique ; – une information photométrique.

Alors que dans le second cas on acquiert seulement une information photo-métrique.

Une fois que nous avons cette information photométrique, il suffit de diviser les images de balayage en nombre d’onde par la réponse du plot au nombre d’onde correspondant. On remarquera que, dans le cadre de cette mesure, même si tous les plots n’ont pas la même dispersion chromatique cela ne pose pas de problème particulier ; contrairement à la reconstruction du spectre (cf. § 3.2.6).

5.4.1.2 Effet de la dispersion chromatique de l’indice effectif du guide

Dans le cas où l’indice effectif du guide est fonction du nombre d’onde l’équation 5.2 devient :

Im(σ) = Iocos 2πn(σ)σxm
(5.4) Ainsi, la transformée de Fourier de la colonne ne sera pas un sinus cardinal parfait. Comme on peut le voir sur la figure 5.8 celui-ci s’élargit et se déforme d’autant plus que x_mest grand. Ce qui est logique puisque plus x_mest grand, plus la déformation du cosinus de l’équation 5.4 est importante. Pour les simulations de la figure 5.7-a et b nous avons pris une variation d’indice effectif linéaire avec le nombre d’onde. Ainsi, dans ce cas, n peut s’écrire de la façon suivante :

n(σ) =nσo+dn(σ−σo) (5.5) On peut voir sur la figure 5.8 que la position du sinus cardinal est elle aussi affectée. La correction consiste donc à, d’une part, ramener le sinus cardinal à sa bonne place et, d’autre part, à corriger la position des pas en sigma de manière à corriger la déformation du sinus cardinal. Cette correction nous donnera directement la dispersion de l’indice effectif. Par contre cette correction implique d’utiliser soit une méthode d’interpolation, soit une FFT adaptée puisque les pas d’échantillonnage en nombre d’onde ne seront plus constants.

Figure 5.8 – Déformation du sinus cardinal due à la dispersion chromatique de l’indice effectif

– fig. a : transformées de Fourier des colonnes n˚206 des figures 5.7-a (trait pointillé

rouge) et b (trait point bleu) ;

– fig. b : transformées de Fourier des colonnes n˚178 des figures 5.7-a (trait pointillé

rouge) et b (trait point bleu) ;

5.4.1.3 Algorithme général de calibration

Le principe général de la calibration d’un SWIFTS est donné sur le diagramme 5.9. Il consiste à réaliser les étapes présentées ci-dessous dans le bon ordre. Il convient parfois d’itérer les dernières étapes afin d’optimiser le résultat de la calibration.

Pour la calibration nous avons choisi d’abord de calibrer la dispersion chromatique de l’indice effectif du guide, puis de calibrer la position des plots. On pourrait très bien imaginer faire l’inverse. Normalement, cela nous donnerait le même résultat. Néanmoins, vu que la dispersion de l’indice effectif est plus faible que celle des plots, la convergence de la solution est plus rapide. D’autre part, nous ne connaissons pas à λ près la position des plots. Ainsi, il y a un risque de convergence des solutions vers de mauvaises solutions (à pλ près, avec p entier quelconque). Alors qu’avec le balayage en nombre d’onde on peut s’assurer du fait que l’on ne saute pas une longueur d’onde entre deux pas ; soit parce que la dispersion chromatique de l’indice est très faible, soit parce que l’on fait des pas en nombre d’onde petits.

Une fois la procédure de calibration effectuée, lorsque l’on fait la trans-formée de Fourier des lignes de l’image du balayage en nombre d’onde cor-rigé, on doit obtenir des sinus cardinaux dont la largeur à mi-hauteur vaut la résolution du SWIFTS.

Figure 5.10 – Calibration par un balayage en longueur d’onde

– fig. a : image composite des réponses monochromatiques d’un SWIFTS ; – fig. b : transformée de Fourier des colonnes de l’image de calibration.