Conditions d’observabilité des interférences de deux ondes et cohérence optique

Le problème de la cohérence est fondamental pour l’étude des interfé-rences. Cette notion est relativement complexe, ainsi son étude complète repose sur une analyse des propriétés statistiques de la lumière. Il n’est bien évidemment pas question de faire cette analyse dans ce chapitre in-troductif, néanmoins nous allons introduire les principales notions qui sont nécessaires à la compréhension de la spectrométrie par mesure de cohérence.

Afin d’énoncer les conditions d’observabilité des interférences de deux ondes, nous allons étudier brièvement deux cas particuliers d’interférences :

– le cas de deux ondes monochromatiques de longueurs d’onde diffé-rentes ;

– le cas de deux ondes à saut de phase.

2.2.2.1 Interférences de deux ondes monochromatiques de longueurs d’onde dif-férentes

Dans le cadre de cette présentation, et ce afin de simplifier les calculs, nous allons étudier le phénomène d’interférences à l’aide d’ondes planes contrapropagatives. Nous allons donc calculer la figure d’interférences de deux ondes E₁et E₂ de longueurs d’onde différentes.

E₁(x, t) =A₁ e j(ω₁t−k₁x)

où k₁ =2πnσ₁, ω₁ =2πcσ₁(avec σ₁=σo+dσ/2) et k2=2πnσ2, ω2=2πcσ2 (avec σ₂ = σ_o−dσ/2) et avec c la vitesse de la lumière dans le vide et n l’indice optique du milieu. Nous obtenons :

P_{instantan´ee}(x, t) = A₁²+A₂²+2 A₁ A₂ cos 2π(2 σ_onx−dσct)

(2.9) Ainsi on peut voir que, contrairement au cas de deux ondes de lon-gueurs d’onde identiques (cf. équation 2.3), dans le cas de deux ondes de longueurs d’onde différentes le temps reste présent dans l’équation de la figure d’interférences. En fait la grandeur mesurée est P_mesur´ee(x, t) =

1/∆tRto+∆t/2

to−∆t/2 ^Pinstantan´ee(x, t)dt (cf. § 2.1.4). Ce qui nous donne : P_mesur´ee(x, t) =A₁²+A₂²

+2A₁ A2 cos 2π(2 σonx−dσcto)
sinc(2πdσc∆t) (2.10) où sinc(x) = sin(x)/x est la fonction sinus cardinal. Le cos(2π(2 σonx−

dσcto))correspond à un phénomène de « battement ». Ainsi la figure d’inter-férences présente une variabilité temporelle qui la fait osciller, et ce, d’autant plus vite que dσ est grand. Le sinc(2πdσc∆t) nous indique que ce batte-ment n’est observable que si ∆t est au plus du même ordre de grandeur que 1/dσc. Avec un détecteur optique classique (type CCD) on peut obser-ver jusqu’à quelques centaines d’images par seconde, ce qui correspond à un dσ de l’ordre de 10⁻⁸ cm⁻¹ (soit 10⁻¹⁵ nm). Dans le domaine optique cette condition sur la différence de fréquence est donc très restrictive ; en fait, dans la nature on ne trouve pas de source pour laquelle on peut ob-server ce phénomène de battement. Par exemple pour pouvoir obob-server le battement du doublet du sodium il faudrait un détecteur fonctionnant à 0,5 peta-Hz. Par contre ce phénomène est couramment utilisé dans le domaine radio notamment pour ce que l’on appelle la détection hétérodyne.

2.2.2.2 Interférences de deux ondes à saut de phase

Le but de cette partie est d’étudier l’impact des sauts de phases sur la figure d’interférences. Pour cela nous allons étudier le phénomène d’interfé-rences issu des ondes E₁et E₂suivantes :

E₁(x, t) = A₁e j  ωt−kx+φ₁ ct−nx dl  E₂(x, t) = A₂e j  ωt+kx+φ₂ ct+nx dl  (2.11) oùb c représente la partie entière et dl est la distance sur laquelle une onde n’a pas de saut de phase (longueur de cohérence). φ_i(n)et A_i(n) étant des variables aléatoires on a en fait des ondes « monochromatiques par mor-ceau » de longueur dl.

Nous obtenons donc comme figure d’interférences : P_{instantan´ee}(x, t) =A₁²+A₂²+2 A₁ A₂ ×cos  2 kx+φ₂ ct+nx dl  −φ₁ ct−nx dl  (2.12)

Comme P_mesur´ee(x, t) = Rto+∆t/2

to−∆t/2 ^Pinstantan´ee(x, t)dt on remarque que lorsque c∆t>>dl alors les franges sont brouillées et ne sont donc plus visibles. Avec un détecteur optique classique (type CCD) cela donne comme condition que dl soit plus grand que quelques centaines de kilomètres.

2.2.2.3 Conditions d’observabilité des interférences de deux ondes

Des deux paragraphes précédents nous pouvons conclure deux condi-tions d’observabilité des interférences de deux ondes. Ainsi on ne peut observer le phénomène d’interférences issu de deux ondes que si celles-ci respectent les deux conditions suivantes :

– les deux ondes sont composées des mêmes longueurs d’onde ;

– les deux ondes ont une longueur d’inter-cohérence suffisamment longue.

En pratique on ne peut observer des interférences lumineuses que lorsqu’un faisceau de lumière interfère avec lui-même, i.e. le faisceau lumineux est divisé en deux et on fait interférer ces deux faisceaux.

2.2.2.4 La cohérence optique

Comme nous l’avons vu dans le paragraphe précédent, les conditions d’observabilité d’interférences de deux ondes sont relativement drastiques. En fait la notion qui est sous-tendue par les deux conditions énoncées est la cohérence optique, celle-ci se différenciant en deux types :

– la cohérence temporelle ; – la cohérence spatiale.

La cohérence temporelle consiste à observer la capacité d’un faisceau lu-mineux à interférer avec des versions retardées de lui même ; il s’agit d’interférométrie à « division d’amplitude ». Dans le cas où l’on s’intéresse à la capacité d’un faisceau lumineux à interférer avec des versions spatia-lement décalées de lui-même, on parle alors de cohérence spatiale ; il s’agit alors d’interférométrie à « division de front d’onde ».

L’interférométrie à « division d’amplitude » est utilisée pour faire de la spectrométrie dite de Fourier (Fellgett [19]) alors que l’interférométrie à « division de front d’onde » est généralement utilisée pour mesurer les fréquences spatiales de l’objet observé. Fizeau [24] a proposé d’utiliser cette

technique pour mesurer le diamètre des étoiles, technique que Michelson et Pease. [25] ont mise en œuvre. Aujourd’hui, cette technique est notamment utilisée en astronomie pour réaliser des reconstructions d’images (Johnson et al. [26] et Labeyrie [27]) ; Joyeux et al. [28] ont aussi réalisé un FTS à division de front d’onde.

L’utilisation de la cohérence temporelle étant l’objet central de cette thèse, nous ne reparlerons pas de la cohérence spatiale ; néanmoins, l’étude de l’utilisation d’un SWIFTS pour mesurer des cohérences spatiales pourrait être très intéressante (cf. Kern et al. [29]).