Nous définirons la largeur à mi-hauteur (FWHM pour Full Width at Half Maxi- Maxi-mum) de cette fonction comme la résolution du spectromètre :

Z δmax

0 P_{inter f´erogramme}(δ)e^2iπσδdδ     =     Z δmax −δmax

P_{inter f´erogramme}(δ)e^2iπσδdδ    

=2∆δsinc(4πδmaxσ)∗B(σ) (2.67) Ainsi, dans ce cas-là, la résolution ne dépend pas de ∆δ = δ_max−δ_min mais de δ_max uniquement. Néanmoins, nous devons préciser que dans ce cas-là on doit avoir une très grande précision sur le ZPD.

Définition 2.4 Nous définirons la largeur à mi-hauteur (FWHM pour Full Width at Half Maxi-mum) de cette fonction comme la résolution du spectromètre :

δσ = ^{0, 603}

∆δ ^(2.68)

0,603 étant la largeur à mi-hauteur de la fonction sinc(2πx). La résolution repré-sente en fait l’intervalle spectral minimum entre deux raies pour qu’elles puissent être différenciées. Une autre notion qui permet d’exprimer cela est le pouvoir de résolution. Celui-ci, noté R, est donné par le formule suivante :

R= ^σ

δσ =1, 658σ∆δ (2.69)

Sur la figure 2.13 nous avons pris un cas où δ_min = −δ_max et donc ∆δ = 2δmax. La largeur à mi-hauteur de ce sinus cardinal vaut donc 0, 603/δ_max. Toujours dans le cas de la figure 2.13 le pouvoir de résolution R vaut 1, 7∆δ/λ. Ainsi, le pouvoir de résolution R correspond au nombre de périodes enregistrées sur la différence de marche maximale δmax. En définis-sant R dans le domaine des longueurs d’onde (R=λ/δλ), alors la résolution équivalente en longueur d’onde vaut :

δλ= ^{0, 603λ}

2

δmax (2.70)

Dans le cas de SWIFTS, δmaxcorrespond à la longueur de guide muni de plots.

2.2.5.8 L’apodisation de l’interférogramme

Comme nous pouvons le voir sur la figure 2.13, la troncature de l’inter-férogramme a pour effet de faire apparaître des lobes secondaires. Ces lobes secondaires peuvent être particulièrement gênants, entre autres, lorsque l’on veut identifier deux raies spectrales voisines dont l’une est nettement plus puissante que l’autre. L’apodisation est un moyen permettant de diminuer l’intensité de ces lobes secondaires, néanmoins cela se fait au prix d’une

dégradation du pouvoir de résolution. Dans les faits, l’apodisation consiste à l’une des deux actions suivantes :

– multiplier l’interférogramme par une fonction mathématique ad hoc ; – optimiser l’interféromètre pour que sa réponse soit apodisée.

Dans le premier cas, la fonction d’apodisation a aussi un effet sur le rapport signal à bruit dans le cas où celui-ci serait moins bon sur les bords de l’interférogramme. Dans les faits l’apodisation revient donc à remplacer la fonction porte Π(δ/∆δ−δo) par une fonction ad hoc qui permet de di-minuer l’intensité des lobes secondaires tout en ne détériorant pas trop le pouvoir de résolution. Le choix de la fonction d’apodisation dépend donc d’un optimum à trouver entre notre volonté de réduire les lobes secondaires et notre besoin en résolution minimale.

λ o δ_max -δ_max 0 -1 0 1 1 0 σ Nombre d'onde OPD P (u n ité ar bitr a ir e) B (u n ité ar bitr a ir e) fig. a fig. b max max 1/δ 0,9/δ

Figure 2.14 – Effet de l’apodisation de l’interférogramme sur le spectre obtenu

En exemple, nous prenons une fonction triangle pour apodiser l’interfé-rogramme. La fonction triangle est définie comme suit :

∧  δ 2δ_max  =    0 si|δ| < |δ_max| 1− ^δ |δ| δ

δ_max dans les autres cas ^(2.71) En fait la fonction triangle est le produit de convolution d’une fonction porte centrée sur δ =0 et de largeur égale à 2δmax avec elle-même. Donc sa trans-formée de Fourier est le carré de la transtrans-formée de Fourier de la fonction porte ; elle vaut donc :

˜

∧(σ) =4 δ_max² sinc²(2πδ_maxσ) (2.72) On peut voir sur la figure 2.14 que l’apodisation par une fonction triangle a pour effet de diminuer l’intensité des lobes secondaire (22% dans le cas de la troncature contre 4,7% dans le cas apodisé par une fonction triangle), mais aussi d’augmenter la FWHM (δσ=0, 603/δ_max) dans le cas de la troncature contre δσ =0, 886/δmaxdans le cas apodisé).

Un ensemble de familles de fonctions d’apodisation a été développé de-puis le début de l’utilisation de la spectrométrie par transformée de Fourier.

Ces fonctions permettent d’optimiser soit la FWHM soit de réduire l’inten-sité des lobes secondaires ([37, 38, 39] ou plus récemment Naylor et Tahic [40]).

2.2.5.9 L’étendue optique

Comme nous l’avons vu (cf. § 2.2.1.1), les FTS n’ont pas besoin de fentes d’entrées pour améliorer leur résolution. Néanmoins, il a été montré (Connes [20]) que l’on observe un phénomène similaire eu égard au fait que pour atteindre une résolution donnée il faut un niveau minimum de collimation des faisceaux dans les deux voies de l’interféromètre. Dans ce paragraphe nous nous proposons d’étudier l’effet du niveau de collimation, qui est directement lié à l’étendue optique, sur le spectre mesuré par un interféromètre de Michelson. L’étendue optique est la multiplication de la surface du faisceau par son angle solide dans un milieu d’indice unité (G=SΩ). Cette valeur se conserve le long du trajet du faisceau. En fait, elle représente la conservation de l’énergie le long de ce faisceau.

Figure 2.15 – Faisceaux lumineux

– fig. a : Différence de marche d’un faisceau oblique dû au déplacement du miroir ; – fig. b : Étendue optique d’un faisceau de sortie.

La condition sur le niveau de collimation se traduit par une étendue op-tique maximale définie par l’angle solideΩ. En effet, un faisceau oblique col-limaté verra une différence de marche, par rapport à l’autre faisceau, égale à δ0 =δ/ cos(α)−δ tan(α) cos(α) = δ cos(α)au lieu de δ, α étant l’angle du faisceau par rapport à la normale (cf. figure 2.15). Pour calculer la puissance reçue par le détecteur rappelons que dans le cas d’une ouverture d’entrée circulaire, la puissance pour l’angle solide élémentaire dΩ vaut :

dP= Γ(δ0)D(α)dΩ (2.73)

où Γ(δ0) est la fonction d’autocorrélation du signal et D(α) est la fonction du diaphragme d’entrée. Dans le cas d’une ouverture d’entrée circulaire la fonction du diaphragme vaut 1 si 0<α<αmaxet 0 sinon, ce qui revient à la fonction porte suivante : Π(α/α_max−α_max/2). Si on remplace la variable α par la variable δ on obtient la fonction porte suivanteΠ(δ0/∆δ−δ_o)où∆δ=

δ−δcos(αmax) et δo = (δ+δcos(αmax))/2. Afin de simplifier les calculs prenons le cas classique où α_max << 2π, alors ∆δ et ∆o deviennent ∆δ =

δα²_max/2 et δ_o = δ(2−α²_max/2). De plus notons que Ω = 2π(1−cos(α_max))

qui devient Ω = πα²_max dans le cas où αmax << 2π. Finalement l’équation 2.73 peut s’écrire de la manière suivante :

dP= ^2π δ Γ(δ0)Π  2δ⁰ δα²_max −δ  2− ^α2max 2  dδ⁰ (2.74)

Et donc la puissance mesurée par le détecteur vaut :

Pmesur´ee(δ) = ^2π δ Z +∞ −∞ Γ(δ0)Π  2δ⁰ δα²_max −δ  2− ^α2max 2  dδ⁰ (2.75)

Ce qui donne l’interférogramme suivant dans le cas d’une onde monochro-matique :

P_{inter f´erogramme}(δ) =sinc(πσ_oδα²_max/2)cos 2πσ_oδ(1−α²_max/4)

(2.76) Le spectre mesuré vaudra donc :

B_mesur´e(σ) =Π  σ σ_o(1−α²_max/2)−σ_o(1−α²_max/4)  (2.77)

Figure 2.16 – Effet de l’étendue optique sur le spectre mesuré

Ainsi, comme on peut le voir sur la figure 2.16, le fait d’avoir une étendue optique d’entrée non infiniment petite a pour effet d’élargir et de décaler la raie observée, et ce, d’autant plus que α_maxest grand.

Dans le cas de SWIFTS, nous observerons un effet similaire à l’étendue optique. En effet, l’équivalent de l’étendue optique en optique guidée est la modicité des guides (cf. § 2.3.2.4). Néanmoins, alors que dans le cas de l’op-tique de volume le problème de l’étendue opl’op-tique est un problème continu, dans le cas de l’optique intégrée il s’agit d’un problème discrétisé. Ainsi, nous observerons que la résolution maximale accessible est liée au nombre de modes guidés (cf. § 3.2.5).

2.2.5.10 Le bruit

Jusqu’à présent nous n’avons étudié que des interférogramme sans bruit. C’est-à-dire que nous avons considéré que nous étions capables de mesurer avec une infinie précision l’interférogramme. Or, bien évidemment cela est impossible ; d’une part car la nature même de la lumière fait que nous ne pouvons pas mesurer de manière absolue l’intensité lumineuse (c’est ce que l’on appelle le bruit de photon), et d’autre part les outils que nous utilisons pour réaliser la mesure ne sont pas parfaits et introduisent donc du bruit et des erreurs de mesures.

Étant donné que nous allons par la suite faire une analyse la plus ex-haustive possible du bruit dans le cas de SWIFTS, nous ne faisons ici qu’une rapide introduction aux notions de bruits et de rapport signal à bruit (SNR pour Signal to Noise Ratio).

Tout d’abord nous allons définir une notion relativement importante : le rapport signal à bruit. Cette notion permet de caractériser les fluctuations statistiques du signal (bruit).