Choix de la méthode

Dans le chapitre introductif à SWIFTS, nous avons présenté les guides optiques grâce à la théorie dite des rayons. Bien que cette théorie permette de donner les grandes caractéristiques d’un guide optique plan, elle ne per-met pas de déterminer la forme des modes guidés ni l’effet d’une anisotropie des guides. Le cas de l’interaction d’un plot avec une section de guide droit est justement un cas d’anisotropie des guides, or pour modéliser ce genre de structures on est obligé de résoudre les équations de Maxwell pour la géométrie du problème. Il existe plusieurs méthodes permettant la résolu-tion des équarésolu-tions de Maxwell dans le cas de structure anisotrope. Nous allons présenter très brièvement trois méthodes envisageables et les raisons du choix d’une méthode particulière.

Différences finies dans le domaine temporel

La FDTD (pour Finite Difference Time Domain) est une méthode de résolu-tion numérique des équarésolu-tions de Maxwell très couramment utilisée depuis de nombreuses années (Kane [61]) en électrodynamique. Il s’agit d’une méthode considérée comme facile à mettre à œuvre du fait de sa relative simplicité.

Cette méthode repose sur une discrétisation du problème et donc la pre-mière étape consiste à effectuer un maillage de la géométrie du problème. On peut voir un exemple de maillage sur la figure 3.9 pour une structure SWIFTS. Les équations de Maxwell montrent que les champs électriques et magnétiques sont reliés et surtout que la connaissance de ces champs en tous points du problème à un instant tonous permet de connaître ceux-ci en tout instant t+∆t et en tous points de la simulation.

Figure 3.9 – Maillage de la structure d’un SWIFTS

La FDTD, de par son principe, permet de modéliser une large palette de matériaux et de structures. De plus, du fait qu’il s’agit d’une modélisation temporelle elle permet de modéliser toutes les fréquences en même temps.

Cette méthode de modélisation apparaît donc comme très convenable pour la modélisation de notre problème. Néanmoins le gros point faible de cette méthode est le nombre de calculs informatiques à réaliser et donc le temps de simulation. En effet, on montre [61] que pour assurer la validité des si-mulations le pas temporel doit vérifier l’équation suivante :

∆t< ⁿ

p

δx²+∆y2

c ^(3.66)

où n est l’indice de réfraction du milieu et c la vitesse de la lumière dans le vide. Or pour que le calcul soit correct il faut que le maillage spatial soit suffisamment fin vis-à-vis de la longueur d’onde et de la géométrie du pro-blème. Typiquement on choisit λ/10n, où λ est la longueur d’onde minimale de la simulation et n est l’indice de réfraction maximal des milieux modéli-sés. De plus, le maillage doit tenir compte de la géométrie du problème, le pas devant être largement plus fin que la structure la plus petite. Dans notre cas les nano-plots que nous souhaitons modéliser ont typiquement une di-mension de l’ordre de 50 nm, ce qui nous oblige à utiliser un maillage de quelques nanomètres. La distance inter-plot étant de p_p =14 µm, cela nous donne le nombre d’itération temporelle suivante :

N_i = ^npp c∆t ^> pp p δx²+∆y2 ≈ √ ¹⁴⁰⁰⁰ 102+102 ≈1000 (3.67) Il faut encore multiplier ce nombre par le nombre de points que contient le maillage. Si l’on prend un maillage d’une longueur de 14 µm et d’une largeur de 10 µm on obtient finalement un nombre de calculs atteignant ap-proximativement 1,4 milliards pour un seul plot. Ainsi si l’on veut simuler plusieurs plots et leurs interactions le temps de calcul deviendra rapidement rédhibitoire.

En conclusion, malgré la polyvalence de cet outil celui-ci apparaît trop contraignant vis-à-vis du temps de calcul.

Méthode de propagation des ondes

La BPM (pour Beam Propagation Method) est couramment utilisée pour la modélisation de guides optiques (Apithy et al. [62]) et a été introduite en 1978(Feit et Fleck [63]). Il s’agit d’une méthode basée sur une étude harmo-nique, c’est-à-dire qu’elle ne considère pas l’évolution dans le temps comme le fait la FDTD. Ainsi pour étudier une lumière polychromatique il est néces-saire de réaliser plusieurs simulations. D’autre part la première formulation de la BPM fait apparaître une approximation para-axiale. C’est-à-dire que l’on considère que la lumière se dirige principalement dans une direction et donc que l’enveloppe de l’onde varie peu dans cette direction. Ceci est particulièrement problématique pour les simulations que nous souhaitons réaliser. En effet, nous voulons étudier le phénomène de rayonnement dû aux plots, or ce rayonnement n’a, a priori, pas de raison de se propager dans une seule direction.

En conclusion, malgré le développement d’une BPM grands angles (Had-ley [64]), les erreurs de cette méthode sont rédhibitoires pour l’utilisation que nous voulons en faire.

Méthode modale de Fourier

L’AFMM (pour Aperiodic Fourier Modal Method) est une méthode modale de Fourier dérivée de la RCWA (pour Rigorous Coupled Wave Analysis). La RCWA est une méthode numérique qui a été initialement développée pour l’étude des réseaux de diffraction. Elle se base sur la décomposition en série de Fourier de la géométrie du problème (permittivités et perméabilités). Le résultat des simulations donne donc la décomposition des champs électrique et magnétique en séries de Fourier. Cette méthode de modélisation est donc particulièrement adaptée à l’étude de structures périodiques. Comme nous l’avons vu seules les fonctions ayant un spectre à support infini sont loca-lisées ; ainsi pour obtenir la solution des équations de Maxwell dans le cas d’un problème à géométrie finie il faut théoriquement calculer un nombre infini d’harmoniques. Il est évidemment impossible de prendre en compte une infinité d’harmoniques, le résultat sera donc d’autant meilleur que l’on prendra en compte un maximum d’harmoniques.

L’AFMM a été développée pour calculer la réponse d’un système pé-riodique tel qu’un réseau. Elle est ainsi introduite dans les années 70 notamment par les travaux de Neviere et al. [65], Knop [66] et Moharam et Gaylord [67]. Dans les premiers temps cette méthode souffre de problèmes de convergence en TM, mais en 1995 des solutions qui améliorent la vitesse de convergence sont proposées d’une part par Lalanne et Morris [68] et d’autre part par Granet et Guizal [69]. Enfin, un an plus tard Li [70] ex-plique l’origine des problèmes et propose un algorithme de calcul matriciel stable.

Comme nous l’avons dit cette méthode a été développée pour l’étude de structures périodiques. Or bien qu’un SWIFTS complet soit une structure périodique, sa géométrie ne correspond pas à ce qui est modélisable à l’aide de l’AFMM classique. Néanmoins, en 2000 Lalanne et Silberstein [71] ont proposé une adaptation de l’AFMM aux structures non périodiques. Le principe consiste à périodiser de manière virtuelle la structure à étudier en juxtaposant une série infinie des structures à étudier. Afin d’éviter les perturbations entre structures virtuelles, P. Lalanne et E. Silberstein ont introduit des couches absorbantes définies par un indice de réfraction ima-ginaire. Depuis la méthode a été améliorée par notamment le remplacement des couches absorbantes par des couches absorbantes non réfléchissantes appelées Perfectly Matched Layer (PML) ([72, 73]). Depuis cette méthode a été utilisée dans de nombreux cas, comme par exemple, l’étude de micro-disques [74], de micro-résonateurs [75] ou encore de cristaux photoniques [76].

appli-cation. En effet, d’une part, cette méthode permet de faire des simulations sans approximation autre que la 2D, et d’autre part, le fait que ce soit une méthode modale, implique que le temps de calcul n’est pas directement pro-portionnel à la taille de la structure modélisée.