Étude du rapport signal à bruit

4.4.1.1 Rapport signal à bruit sans balayage de l’interférogramme

Pour cette étude nous allons analyser un composant SWIFTS Gabor, avec N plots, collé sur un détecteur.

Sources de bruit

Il existe plusieurs sources de bruit dans un FTS qui sont classiques. Tout d’abord il y a l’incertitude sur le signal lui-même. En effet, la statistique d’émission des photons dans une source lumineuse classique étant sou-mise à la loi de Poisson, le bruit du signal a un écart type en racine carré du signal. D’autre part, les détecteurs ne sont pas parfaits. Ainsi, ils sont sources de deux bruits. Le premier est le bruit de lecture (Readout noise en anglais) qui est une constante quelque soit le temps d’intégration. Le second est le courant d’obscurité ; même sans flux lumineux un pixel donne une valeur non nulle qui est proportionnelle au temps d’intégration. Enfin, il existe souvent un fond lumineux qui vient parasiter le signal (surtout dans l’infrarouge à cause des sources thermiques).

De plus, comme nous l’avons déjà vu, une partie de la lumière diffusée par le plot m va sur les plots adjacents. Cette pollution est une source de bruit non négligeable.

Ainsi le bruit total, qui est la somme quadratique des bruits individuels, peut être donné par la formule suivante :

Noise=^qN Ron2+S η q_et N C ρ+B_g t+N d_k t (4.4) où Ron est le bruit de lecture d’un pixel, S est le flux lumineux en entrée, η est l’efficacité d’un plot, qe l’efficacité du détecteur, t le temps d’intégration, C le coefficient de couplage en entrée du SWIFTS, ρ la partie de la lumière effectivement diffusée vers le pixel au-dessu du plot, Bg le fond continu (comprenant : le cosinus hyperbolique, la lumière provenant des plots voi-sins et la lumière parasite ou le rayonnement thermique) et d_k est le courant d’obscurité.

Source de signal

L’expression du signal est plus simple puisque la seule source de signal est le flux lumineux entrant. Ainsi le signal de la bande spectrale élémentaire dσ est donné par la formule suivante :

Signal = ^dS

dσ ^{η qet N C ρ (4.5)}

Rapport signal à bruit (SNR)

Finalement, le rapport signal à bruit d’un SWIFTS peut être approché avec la formule suivante :

SNR= dS dσ ^{η qe t N C ρ} q N Ron2+S η q_e t N C ρ+B_g t+N d_k t (4.6)

Dans cette équation on peut remarquer que le bruit du signal est lié à l’ensemble du signal et non pas seulement celui contenu dans la bande spectrale dσ. Il s’agit là du problème bien connu des FTS.

L’avantage de Felgett (cf. § 2.2.1.1) s’appuie sur le fait que chaque dé-tecteur voit l’ensemble des canaux spectraux (aussi connu comme avantage multiplex). Or, il s’agit bien d’un avantage lorsque le bruit de lecture et le courant d’obscurité sont importants, mais quand ceux-ci sont faibles cela devient finalement un désavantage. C’est aussi ce que l’on observe avec SWIFTS. Néanmoins, alors qu’en optique de volume il existe des systèmes dispersifs aussi résolvants que des FTS, en optique intégrée il n’en existe pas. D’autre part, on peut imaginer coupler un système dispersif intégré à N canaux (par exemple un Arrayed Waveguide Grating) avec N SWIFTS dont la bande spectrale accessible sans balayage de l’OPD est de la même largeur que les canaux du système dispersif. Ce système permettrait de limiter le bruit tout en obtenant la résolution maximale d’un SWIFTS.

4.4.1.2 Comparaison avec le rapport signal à bruit avec balayage de l’interféro-gramme

Il peut être intéressant de comparer le cas où l’on a un SWIFTS intrin-sèquement bien échantillonné et un SWIFTS où l’on doit procéder à un balayage en OPD. Ainsi, dans le premier cas on aura N×M plots dont l’efficacité est 2/(N M+2), alors que dans le second cas on aura N plots dont l’efficacité est 2/(N+2). Dans le second cas il faudra procéder à M pas de balayage en OPD pour obtenir le même échantillonnage que dans le premier cas.

Pour obtenir le même signal intégré, il faudra faire approximative-ment une seule pause de M×t_o dans le premier cas, et M poses de to dans le second cas (approximation valable car M et N sont grand et donc 2/(N M+2) ≈ 2/N M). Ainsi le temps cumulé de pose est de T₁= N M×Mt_o dans le premier cas alors qu’il ne sera que de T2= N×Mt_o

dans le second cas. On remarque donc que le bruit, qui est proportionnel au temps d’intégration, est plus important dans le premier cas ; alors que les autres bruits, eux, sont identiques dans les deux cas. De même, le signal est identique dans les deux cas.

Finalement, le SNR est donc meilleur pour un SWIFTS à balayage de l’OPD, et ce, d’autant plus dans le cas où les bruits dominants sont ceux proportionnels au temps d’intégration (courant d’obscurité, fond continu).

4.4.1.3 Impact de l’efficacité des plots

L’efficacité des plots a un impact non négligeable sur le rapport signal à bruit. Ainsi, suivant que le plot prélève plus ou moins l’énergie optimale, le rapport signal à bruit sera impacté positivement ou négativement.

Ainsi, pour mémoire l’efficacité d’un SWIFTS est donnée par la formule suivante :

Nη(1−η)N/2 (4.7)

Comme on l’a vu sur la figure 3.3, cette fonction possède un maximum pour η_o =2/(N+2). Ainsi, dans le cas où l’on n’a pas exactement une efficacité optimale (un peu plus ou un peu moins efficace) deux cas sont intéressants à étudier :

– le cas où le bruit est principalement proportionnel au temps ; – le cas où le bruit est principalement constant.

Dans le premier cas, il peut être intéressant d’avoir des plots légérement trop efficaces. En effet, cette sur-efficacité permettra de réduire le temps d’intégration et donc de limiter le bruit. Néanmoins il ne faut pas avoir des plots trop efficaces. En effet, s’ils étaient trop efficaces le bruit lié au cosinus hyperbolique deviendrait prépondérant. Or ce bruit est proportionnel au temps d’intégration.

Dans le second cas, c’est l’inverse. En effet, dans ce cas-là il vaut mieux limiter le poids du cosinus hyperbolique. Ainsi, il vaut mieux avoir des plots légérement moins efficaces ; le niveau du cosinus hyperbolique étant direc-tement proportionnel à l’efficacité des plots. On pourra baisser l’efficacité tant que le temps d’intégration ne devient pas rédhibitoire ou que des bruits proportionnels au temps d’intégration ne deviennent pas prépondérants.

En conclusion, on préfèrera généralement avoir des plots légérement moins efficaces. En effet, compte tenu de la qualité des détecteurs du marché, les bruits limitant que l’on rencontre sont les bruits du signal et du cosinus hyperbolique. Ainsi, il vaut mieux limiter le poids du cosinus hyperbolique et donc baisser l’efficacité des plots.