Conclusion du chapitre
3.1 Modélisation simplifiée d’une structure idéale Dans ce sous-chapitre nous allons introduire une modélisation simplifiée
3.1.3 Caractéristiques idéales
L’intensité mesurée valant quant à elle Imes =η I, le contraste des interfé-rences mesurées est donc égal à :
C(η) =2AgAdη(1−η)N/2 (3.9) En utilisant cette dernière relation on peut calculer la valeur optimale de η, valeur que l’on notera ηo. En effet, comme on peut le voir sur la figure 3.3-a il existe une valeur de η qui permet de maximiser l’énergie contenue dans les interférences. dC(η) dη ηo =0 (1−ηo)N/2= N 2ηo(1−ηo)N/2−1 ηo = 2 N+2 (3.10)
Tout d’abord on peut remarquer que ηoest uniquement fonction du nombre de nano-plots diffusifs et est donc indépendant de Ag et de Ad. On peut montrer que le contraste est maximal pour le cas où Ag = Ad ce qui paraît logique et correspond au cas classique. À partir de ces résultats on peut calculer l’efficacité globale d’un SWIFTS Gabor.
Dans le cas Lippmann on obtient la valeur suivante de ηo (cf. annexe C) :
ηo = 1
Figure 3.3 – Efficacité des nano-plots diffusifs
– fig. a : efficacité globale d’un SWIFTS en fonction l’efficacité d’un plot (donnée
par : ηglob =Nη(1−η)N/2) ;
– fig. b : tolérance vis-à-vis de l’efficacité individuelle des plots, les courbes donnent
l’efficacité du plot en fonction du nombre de plots pour les trois cas suivants :
– courbe en trait plein bleu : ηooptimum ;
– courbe en pointillé rouge : ηmingarantissant une efficacité de 50 % ;
– courbe en point vert : ηmaxgarantissant une efficacité de 50 %.
3.1.3.1 Efficacité globale
Étant donné que pour maximiser le contraste des interférences on ne peut pas prélever trop d’énergie, une partie de celle qui est injectée d’un côté du guide ressort donc inévitablement de l’autre côté. Ainsi on peut calculer l’énergie totale détectée dans le cas optimal. Cette énergie correspond en fait à l’énergie injectée moins l’énergie qui ressort à l’autre bout du guide :
Id Io = E 2 g (1, t)−Eg2(N, t) +Ed2(N, t)−Ed2(1, t) E2 g (1, t) +E2 d (N, t) = A 2 g +Ad2 1− (1−η)N A2 g +A2 d =1− (1−η)N (3.12)
où E2g(1, t) est l’énergie injectée du côté gauche et E2d(N, t) celle du côté droit, et E2g(N, t)est l’énergie ressortant du côté droit et E2d(1, t)celle du côté gauche. Dans le cas optimal on obtient :
Id Io =1− 1− 2 N+2 N (3.13)
Lorsque N tend vers +∞ alors le rendement théorique optimal est de 86, 47 %. De plus on peut aussi calculer la part d’énergie « présente » dans les interférences dans le cas optimal (efficacité globale optimale) :
If Io = 2N N+2 1− N2+ 2 N/2 (3.14)
Lorsque N tend vers +∞ alors le rendement théorique optimal pour les interférences, que nous définirons comme étant l’efficacité d’un SWIFTS, est de 73, 58 %, soit pratiquement 1, 5 fois plus que pour un interféromètre de Michelson (pour mémoire : 50 %).
En résolvant de manière numérique l’équation 3.9 on peut définir un ηmax et un ηmin pour garantir une efficacité minimale de 50 %. Comme on peut voir sur la figure 3.3-b, plus le nombre de plots utilisés est élevé plus la fourchette autorisée est étroite. En fait, pour garantir une efficacité d’au moins 50 %, dès que N >100 on obtient comme condition que η soit à peu près compris entre ηo/3 et 2ηo.
3.1.3.2 Influence du cosinus hyperbolique sur le spectre mesuré
Comme nous l’avons vu, dans le cadre de cette modélisation simplifiée, l’unique différence entre un interférogramme de SWIFTS Gabor et un in-terférogramme d’un interféromètre à division d’amplitude classique tient à la présence d’un cosinus hyperbolique. Nous allons maintenant regarder si ce cosinus hyperbolique a une incidence quelconque sur le spectre mesuré.
La transformée de Fourier d’un cosinus hyperbolique tronqué dont l’équation est :
f(x) =cosh x ln(1−η)
×Π(δmax)
est la suivante :
˜f σ = 2πσ sin(2πσδmax)cosh δmaxln(1−η) ln2(1−η) +4π2σ2
+ ln(1−η)cos(2πσδmax)sinh δmaxln(1−η)
ln2(1−η) +4π2σ2 (3.15) Tout d’abord il faut souligner que lorsque η tend vers zéro alors :
lim
η→0f(x) =Π(δmax) (3.16)
et
lim
η→0 ˜f(σ) =δmax sinc(2πσδmax) (3.17) Sur la figure 3.4 nous avons représenté la fonction suivante :
log10 Z +σmax −σmax ˜f(σ)dσ− Z +σmax −σmax
δmaxsinc(2πσδmax)dσ
R+σmax
−σmax δmaxsinc(2πσδmax)dσ
(3.18)
qui correspond à la courbe de convergence de ˜f(σ)vers δmaxsinc(2πσδmax). On peut donc voir sur cette figure que ˜f σ
tend très rapidement vers δmax sinc(2πσδmax), ainsi, lorsque l’on prend un nombre de plots de l’ordre du millier les deux courbes sont quasi identiqssssssssssss
Figure 3.4 – Courbe de convergence entre la TF d’un cosinus hyperbolique et un sinus cardinal
Finalement, dans le cas où l’interférogramme est échantillonné sur une longueur supérieure à quelques dizaines de longueurs d’onde, le spectre du cosinus hyperbolique est confiné à proximité immédiate du nombre d’onde nul. On peut donc considérer sans risque que le cosinus hyperbolique n’a strictement aucune influence sur le spectre mesuré. Ainsi, comme dans le cas classique, on définira l’interférogramme comme étant la figure d’inter-férences moins le fond continu (le cosinus hyperbolique dans le cas d’un SWIFTS).
3.1.3.3 Résolution
Comme nous l’avons vu dans le chapitre précédent la résolution est dic-tée par la longueur de l’interférogramme échantillonné. Dans notre cas l’in-terférogramme est échantillonné sur ∆δ = (N−1)∆x et donc la résolution théorique idéale est de :
δσ = 0, 603
2n∆δ (3.19)
où n est l’indice effectif du mode guidé. Le 2 provient du fait que, comme on observe en fonction de x les interférences de deux ondes contra-propagatives, l’OPD vaut deux fois x.
3.1.3.4 Bande spectrale
Dans la présentation de SWIFTS Gabor nous avons précisé que compte tenu de l’état de l’art des technologies optiques, nous sommes obligés de sous-échantillonner l’interférogramme. Ainsi, dans le cas où l’on n’utilise pas de multiplex temporel la bande spectrale accessible (déterminée à l’aide du théorème de Nyquist-Shannon généralisé (cf. théorème 2.3) est très limi-tée :
∆σ= 1
2×2n∆x (3.20)
Le coefficient 2 dans l’équation précédente provient du même effet que pour la résolution.
Étant donné que le sous-échantillonnage est très critique en ce qui concerne la bande spectrale accessible, nous avons développé un variateur intégré d’OPD. Comme nous le verrons dans le chapitre réalisation (cf. § 4.1.1.3) ce variateur fonctionne en fait sur un principe de thermo-optique et peut être piloté assez finement. Ainsi la question que nous devons nous po-ser n’est pas quelle bande spectrale nous obtiendrons, mais plutôt compte tenu du spectre que l’on observe quel est le pas d’échantillonnage que nous devons utiliser. Celui-ci est donné par l’équation suivante :
pe = 1
4n∆σ (3.21)
3.2 Modélisation simplifiée intégrant des
imper-fections
Dans la partie précédente nous avons introduit une modélisation idéale d’un SWIFTS Gabor. Grâce à cette modélisation nous avons notamment pu voir, qu’en première approximation, un SWIFTS est très semblable à un interféromètre à deux ondes classique.
Dans cette partie nous allons étudier les effets des imperfections sur le spectre mesuré et les corrections à mettre en œuvre, lorsque celles-ci sont possibles. Nous avons essayé d’être les plus exhaustifs possible quant aux imperfections envisageables. Néanmoins l’étude du bruit n’est pas présentée dans cette partie, celle-ci étant présentée dans le chapitre suivant au cours de l’analyse des performances (cf. § 4.4.1). Afin de simplifier les équations, dans le cadre de cette étude nous considérons que les plots sont centrés sur le guide (ie. x1= L−xN sur la figure 3.1).
Nous ferons quelques fois des applications numériques ; pour ce faire nous utiliserons les paramètres d’un SWIFTS réaliste suivants :
– indice effectif du guide : no =1, 521 ; – indice du substrat : ns=1, 52 ; – nombre de plots : N=1024 ;
– distance entre deux plots :∆x=14 µm.
Ce qui nous donne une résolution maximale accessible de 0, 14 cm−1 et une bande spectrale de 117, 5 cm−1.