6.9.1 Discr´ etisation
Le mod`ele math´ematique THCM sera discr´etis´e sous une forme variationelle `a travers la m´ethode des r´esidus pond´er´es. Ceci permet l’´ecriture des ´equations sous forme faible, prˆetes pour l’application de la m´ethode des ´el´ements finis. Cette m´ethode est appliqu´ee `a travers
6.9 Solution des ´equations du syst`eme 147
la proc´edure standard de Galerkin pour la discr´etisation en espace. Les variables principales sont donc classiquement exprim´ees `a l’aide des fonctions de forme sur le noeud. Les d´etails de cette d´emarche sont pr´esent´es en annexe E.
Ceci permet d’aboutir `a l’´ecriture finale des ´equations, sous forme matricielle :
Cgg
avec les matrices Kij, Cij, fi (i,j=g,c,t,u) d´efinies, par exemple dans [Schrefler98] ou [Pesavento00].
Le syst`eme 6.97 peut ˆetre enfin ´ecrit sous forme matricielle condens´ee :
6.9.2 Discr´ etisation du mod` ele dans le temps
La m´ethode des diff´erences finies a ´et´e utilis´ee pour la discr´etisation dans le temps. On peut tout d’abord ´ecrire le syst`eme d’´equations sous forme concise :
C∂X
∂t +KX=F (6.99)
avecC, K,X et Fde matrices d´efinies de la mani`ere suivante :
K=
les matrices Cet K ne sont pas sym´etriques et d´ependent deX. La discr´etisation dans le temps est donc faite `a l’aide de la m´ethode suivante :
∂X
avec ∆t le pas de temps, Xn et Xn+1 les vecteurs des variables d’´etat au temps tn et tn+1. On peut bien entendu obtenir diff´erents sch´emas d’int´egration, selon la valeur de Θ :
Θ =1 – sch´ema implicite (ou Euler backward) ; Θ =0.5 – Crank-Nicholson ;
Θ =0 – sch´ema explicite (ou Euler forward) ; au temps tn+Θ on peut ´ecrire :
6.9.3 Lin´ earisation du syst` eme
Le syst`eme d’´equations que l’on a pr´esent´e plus haut, est non-lin´eaire : classiquement on applique la m´ethode it´erative de Newton-Raphson pour la lin´earisation :
Ψκ Xin+1 avec le Jacobien d´efini de la mani`ere suivante :
∂Ψ
6.10 Conclusions 149
avec la variable i qui tient compte de l’it´eration.
Apr`es chaque pas de temps, le vecteur Xn+1 est mis `a jour :
Xi+1n+1 =Xin+1+ ∆Xin+1 (6.108) Dans la m´ethode de Newton-Raphson, les ´el´ements de la matrice Jacobienne sont mis `a jour apr`es chaque it´eration : cette op´eration est, d’un point de vue num´erique, tr`es coˆuteuse.
Souvent, la matrice Jacobienne est donc calcul´ee `a la premi`ere it´eration de chaque pas de temps ou, en alternative, apr`es un certain nombre d’it´erations.
6.10 Conclusions
Le chapitre qu’on vient de pr´esenter nous a permis d’introduire le mod`ele THCM selon la formulation propos´ee par [Schrefler98]. On a donc pu mettre en ´evidence l’ensemble des ph´enom`enes qui ont lieu dans le b´eton lorsqu’il y a une ´el´evation de temp´erature. En parti-culier, on a soulign´e l’importance de l’endommagement ainsi que l’influence de la m´ecanique sur les ph´enom`enes de transport.
Une formulation de type thermodynamique a ´et´e utilis´ee pour introduire d’abord la formulation de l’endommagement m´ecanique selon la formulation classique de [Mazars89].
Ensuite, la mˆeme approche nous a permis d’introduire les lois et les variables d’´etat dont la formulation est utilis´ee pour d´ecrire les aspects li´es `a la m´ecanique d’un milieu poreux.
Le mod`ele a ensuite ´et´e compl´et´e `a travers l’introduction de l’ensemble des lois de type ph´enom´enologique dont la formulation est n´ecessaire pour la description du comportement du milieu.
Enfin, une comparaison entre le mod`ele THC et le mod`ele THCM a mis en ´evidence les diff´erences entre les deux mod`eles, et les aspects similaires, et, en particulier, la base commune sur laquelle les deux formulations reposent.
La description math´ematique de notre milieu poreux `a ce point est donc compl`ete. Il nous reste `a pr´esenter le travail qui a ´et´e men´e grˆace aux deux mod`eles que l’on a pr´esent´e. Le prochain chapitre nous permettra donc d’introduire l’ensemble des travaux exp´erimentaux qui ont ´et´e men´es dans le cadre de la th`ese, ainsi qu’une comparaison entre les r´esultats de laboratoire et les r´esultats num´eriques obtenus `a l’aide des deux mod`eles. En particulier, cette comparaison montrera une bonne correspondance entre les r´esultats et permettra de souligner la validit´e des approches num´eriques qui ont ´et´e d´evelopp´ees.
Chapitre 7
R´ esultats exp´ erimentaux et num´ eriques
7.1 Introduction
Le but de ce chapitre est de pr´esenter les travaux exp´erimentaux qui ont ´et´e r´ealis´es dans le cadre de cette th`ese ainsi que les r´esultats des simulations num´eriques issues des deux mod`eles THC et THCM.
Dans la premi`ere partie du chapitre on pr´esentera donc un essai, r´ealis´e en collaboration avec le CEA, sur une maquette `a ´echelle r´eelle pour la simulation du comportement `a haute temp´erature d’un b´eton. On pr´esentera les caract´eristiques du mat´eriau ainsi que les instruments qui ont ´et´e utilis´es pour l’acquisition des donn´ees exp´erimentales.
Ensuite, dans la deuxi`eme partie du chapitre, le mod`ele THC (pr´esent´e au chapitre 5) et le mod`ele THCM (pr´esent´e au chapitre 6) seront utilis´es pour la simulation de l’essai.
On montrera que ces deux mod`eles sont bien adapt´es pour la description du comportement en temp´erature du b´eton et que, en particulier, le mod`ele THCM permet une pr´ediction quantitative, et pas seulement qualitative, des champs de temp´erature et pression au sein du b´eton. La comparaison des deux mod`eles mettra en ´evidence que la prise en compte de l’endommagement total est n´ecessaire pour une description du comportement du milieu poreux ainsi que pour une description plus soigneuse de la physique des ph´enom`enes qui se produisent lorsqu’on augmente la temp´erature.
Enfin, l’analyse des r´esultats exp´erimentaux ainsi que des r´esultats issus du mod`ele THCM, nous permettra de proposer une loi pour d´ecrire l’´evolution de la perm´eabilit´e intrins`eque en fonction de l’endommagement.