Equations d’´etat pour la m´ecanique

La d´emarche que l’on suivra pour la d´efinition des variables et des lois d’´etat pour la description du comportement m´ecanique du squelette est la mˆeme que celle que l’on a vue au paragraphe pr´ec´edent et qui nous a permis d’aboutir `a la description du comportement endommageable d’un milieu continu. Dans le cas ´elastique, on consid´erera la dissipation li´ee au squelette nulle et on ne prendra en compte aucune variable interne i.e. l’endommage-ment est pour l’instant n´eglig´e. Par la suite, l’introduction de l’endommagel’endommage-ment dans les

´equations d’´etat de la m´ecanique sera presque imm´ediate en utilisant les r´esultats de la section pr´ec´edente.

Tout d’abord on introduit des relations qui nous seront utiles pour la d´efinition des lois constitutives que l’on cherche. On a d´ej`a vu que le milieu poreux est caract´eris´e par un squelette solide rempli en partie par de l’eau liquide et en partie par du gaz form´e par de l’eau vapeur et de l’air. Le niveau de saturation en eau liquide Sw est le rapport entre le volume rempli d’eau liquide et le volume total des vides :

Sw = dv^w

dv^w+dv^g (6.50)

De la mˆeme mani`ere, la saturation en gaz Sg est d´efinie comme le rapport entre le volume rempli de gaz et le volume total des vides :

Sg = dv^g

dv^w+dv^g (6.51)

avec donc une compl`ete saturation du milieu poreux i.e.Sw+Sg = 1.

On rappelle que la porosit´e eul´erienne n est d´efinie comme le rapport entre le volume des vides et le volume totale du VER consid´er´e :

n = dv^w +dv^g

dv (6.52)

6.5 ´Equations d’´etat pour la m´ecanique 133

On introduit aussi la notion de porosit´e lagrangienneφ d´efinie par : φ = dv^w+dv^g

dv0

(6.53) Elle est donc le volume actuel de l’espace poreux par unit´e de volume de squelette de la configuration initiale. Les porosit´es lagrangienne et eul´erienne sont donc li´ees par la relation suivante :

φ=Jn (6.54)

avecJ le Jacobien de la transformation (sous l’hypoth`ese de petites d´eformations J '1).

Dans la suite on introduira aussi la trace de qui repr´esente la variation relative d’un volume mat´eriel ´el´ementairedvt :

tr() = dvt−dv0

dv0

(6.55) et la d´eformation volumique du constituant solideεs :

εs = dv^s_t −dv^s₀

dv₀^s (6.56)

avecdv_t^s le volume solide. On peut aussi d´efinir le volume ´el´ementaire dvt comme la somme du volume solidedv_t^s et du volume poreux dv_t^p =φdv₀, soit :

dvt =dv_t^s+φdv0 (6.57)

en particulier dans l’´etat initial de r´ef´erence on a :

dv₀^s= (1−φ₀)dv₀ (6.58)

La combinaison des relations pr´ec´edentes nous permet de d´efinir alors :

tr() = (1−φ0)εs+φ−φ0 (6.59)

6.5.1 Potentiel thermodynamique

On postule l’existence d’un potentiel thermodynamique duquel d´erivent les lois d’´etat. On peut choisir diff´erents potentiels ; on choisit d’introduire le potentiel ´energie libre sp´ecifique Ψ. L’´energie libre admet comme variables naturelles les variables, φ, θ. On peut donc ´ecrire :

Ψ = Ψ(, φ, θ) (6.60)

D’apr`es [Coussy04] il est envisageable d’utiliser, au lieu du potentiel 6.60, un potentiel Gs

d´efini de la mani`ere suivante :

Gs = Ψ−pφ (6.61)

Sous l’hypoth`ese de petites d´eformations, l’application de l’in´egalit´e de Clausius-Duhem (voir paragraphe 6.3.2.1), nous permet d’´ecrire la relation suivante :

σ :d−φdp−Sdθ−dG_s = 0 (6.62)

AvecS l’entropie du squelette. La relation pr´ec´edente nous permet d’obtenir les ´equations d’´etat sous la forme :

Gs=Gs(, p, θ) σ = ∂Gs

∂ φ=−∂Gs

∂p S =−∂Gs

∂θ (6.63)

La diff´erenciation des relations pr´ec´edentes permet d’´ecrire : dσ =D:d−Bdp−Dβ_sdθ

dφ=B:d+N dp−3βφdθ dS =Dβsd−3βφdθ+Cp

dθ θ

(6.64)

´etant D, B, N des propri´et´es du squelette, βs le coefficient de dilatation thermique, βφ la dilatation thermique volumique li´ee `a la porosit´e etC_p la capacit´e thermique volumique.

En particulier,Dest le tenseur d’ordre 4 d’´elasticit´e mesur´e lors d’une exp´erience `a pres-sion et temp´erature constante (tenseur d’´elasticit´e drain´e). Le tenseurBcaract´erise la rela-tion entre la variarela-tion de contrainte et de pression lors d’une exp´erience o`u les d´eformations et la temp´erature sont constantes. Enfin, N caract´erise la relation entre les variations de porosit´e et de pression lors d’une exp´erience o`u les d´eformations et la temp´erature sont constantes. Les deux premi`eres ´equations dans 6.64 d´efinissent le comportement m´ecanique (souvent appel´e poro´elastique) d’un milieu poreux. On rappelle aussi que, g´en´eralement, la contrainte pour le solide est d´efinie positive s’il s’agit d’une contrainte de traction ; pour les fluides on assume la positivit´e dans le cas de compression.

6.5.2 Comportement ´ elastique isotrope lin´ eaire

Le comportement isotrope est caract´eris´e par l’absence de directions privil´egi´ees. Le potentiel G_s ne d´epend donc que du tenseur de d´eformations qu’`a travers ses trois inva-riants. De plus, la lin´earit´e impose que le potentiel soit un invariant quadratique du tenseur de d´eformations, c’est `a dire, une combinaison lin´eaire du carr´e du premier invariant et du second invariant. En absence de contrainte et de pression initiales, dans le cas d’une transformation isotherme, le comportement ´elastique isotrope lin´eaire est caract´eris´e par les relations suivantes :

σ =λ0tr()I+ 2µ−αpI

δφ=αtr() +N p (6.65)

avecδφ=φ−φ0,λ0, µles coefficients de Lam´e drain´es,α etN caract´erisent l’augmentation respectivement de la contrainte moyenne et de la porosit´e lors de la mise en pression du fluide dans en ´echantillon maintenu `a d´eformation volumique nulle. α est commun´ement appel´e coefficient de Biot.

Des relations 6.65, on obtient les relations finales qui expriment la r´eponse volumique du milieu poreux :

ε_t = 1 K0

(σ_H +αp) δφ= 1

Kp

(σH +αpp)

(6.66)

6.5 ´Equations d’´etat pour la m´ecanique 135

avec εt = tr() et σH = ¹₃tr(σ). En particulier, on appelle K0 = λ0 + ²₃µ le coefficient de compressibilit´e drain´e,Kp le module de compressibilit´e du r´eseau poreux etαp un coefficient sans dimension, tel que :

Kp = K0

α α_p =α+N K0

α

(6.67)

Le mod`ele de comportement du squelette d´efini plus haut, est construit `a l’´echelle ma-croscopique sans faire r´ef´erence au comportement `a l’´echelle mima-croscopique. On montrera dans la suite qu’il existe des relations de compatibilit´e entre le comportement microscopique de chaque phase et le comportement macroscopique du solide. En g´en´eral, dans le cas d’un

´ecoulement de deux phases non-miscibles, la pression du fluide pest une combinaison de la pression du liquide et du gaz. Un processus de moyenne est alors requis pour le calcul de la pression du fluide (que l’on appellerap^s) [Schrefler98]. On peut donc ´ecrire :

σ = 1

avec σ le tenseur de contrainte total macroscopique et σ^π le tenseur de contrainte moyen de la phaseπ.

Pour les phases liquides on peut ´ecrire la relation suivante :

σ^π =τ^π−Ip (6.69)

avecτ le tenseur de cisaillement qui est consid`ere n´egligeable pour un fluide. On peut alors

´ecrire :

σ = (1−n)σ^s−φ₀I[S_gp^g+S_wp^w] (6.70) En notantp^s le dernier terme, la pression moyenne des phases fluides :

p^s =Sgp^g +Swp^w (6.71)

On souligne que cette d´efinition de la pressionp^s (connue aussi comme pression interstitielle de Bishop) n´eglige les termes qui proviennent des tensions superficielles li´ees `a l’´energie des interfaces. [Coussy03] et [Dangla02] montrent que la prise en compte de ces termes est de toute mani`ere n´ecessaire pour une formulation poro´elastique correcte.

Si on note Ks le module de compressibilit´e du solide, tel que σ^s =Ks^s et on rappelle la relation 6.59, on peut exprimer la variation de porosit´e de la mani`ere suivante :

φ−φ0 =

La relation 6.73 n´ecessite la connaissance des modules de compressibilit´e. En particulier, on montre que le coefficient de Biot est n´ecessairement inf´erieur `a 1 et qu’il n’atteint l’unit´e que pour un solide incompressible. Par ailleurs, comme K0 est n´ecessairement inf´erieur `a Ks, le coefficient de Biot est toujours positif et compris entre 0 et 1.

6.5.3 Tenseur de contraintes effectives

Si on exprime l’´equation poro´elastique avec B=1 et N=0, on peut introduire le tenseur des contraintes effectives. On peut alors ´ecrire :

dσ⁰ =D:d (6.74)

avec σ⁰ donn´e par σ⁰ = σ +pI. Ce tenseur est gouvern´e uniquement par le tenseur de d´eformations. Pour cette raison, il est appel´e tenseur des contraintes effectives. Le concept de contraintes effectives a ´et´e introduit par [Terzaghi25] suite `a des observations de type exp´erimental. Suite au commentaire que l’on a pr´esent´e plus haut, ceci n’est qu’une hy-poth`ese de comportement relatif au constituant solide. Cette hyhy-poth`ese n’est pas acceptable pour certains mat´eriaux (par exemple les roches) pour lesquels le coefficient de Biotαprend des valeurs strictement inf´erieures `a 1.

6.6 Evolution des modules ´ E, ν et des r´ esistances ` a la