Evolution de la variable endommagement : formulation non-locale

_p = ∂ϕ^∗

∂σ

V˙k =−∂ϕ^∗

∂Ak

D˙ =−∂ϕ^∗

∂Y (6.33)

Le bilan des puissances dissip´ees peut ˆetre illustr´e par un cycle de contrainte de trac-tion selon le sch´ema en figure 6.1. En particulier, la courbe OA’B’ repr´esente l’´evolutrac-tion de l’´ecrouissageAk pendant l’´ecoulement plastique OAB. Les parties AB et BC sont respective-ment le fluage plastique et l’augrespective-mentation de la d´eformation ´elastique pendant le processus d’endommagement (on suppose une contrainte constante). L’´energie totale dissip´ee se divise en :

1. l’´energie accumul´ee par le syst`eme `a travers l’´ecrouissage AkdVk

2. l’´energie dissip´ee sous forme de chaleur

3. l’´energie lib´er´ee par le syst`eme pendant l’endommagement Y δD

Fig. 6.1 – Sch´ema de la dissipation suite `a l’´ecoulement plastique et `a la croissance de l’endommagement [Mazars89]

L’´energie accumul´ee par le syst`eme est le travail fait `a partir du point limite d’´elasticit´e : ceci est une cons´equence des hypoth`eses simplificatrices que l’on a choisies (´ecrouissage isotropique). D’apr`es [Lemaitre85] si l’on consid`ere une formulation plus compl`ete, on trouve de l’´energie additionnelle qui est convertie en chaleur.

6.3.3 Evolution de la variable endommagement : formulation non- ´ locale

D’apr`es [Bazant87], il est envisageable de donner une formulation moyenne de la loi d’´evolution de l’endommagement pr´esent´ee ci-dessus. Une formulation de ce type s’av`ere en fait plus appropri´ee pour la description de la localisation de la fissuration dans un mat´eriau

´elastique. Une variable non-locale est en fait mieux adapt´ee pour d´ecrire les changements de la microstructure par rapport `a une variable locale. [Bazant87] propose donc une relation constitutive qui pr´evoit une moyenne de la variable qui contrˆole l’endommagement au lieu d’une moyenne de l’endommagement.

6.3 L’endommagement 129

Dans la suite on pr´esente deux mod`eles scalaires non-locaux qui s’adaptent bien `a la description du comportement du b´eton et qui d´ecrivent l’´evolution de la variable endomma-gement. En particulier, on fera l’hypoth`ese que le mat´eriau garde un comportement ´elastique et isotrope. Les diff´erences entre les deux relations constitutives concernent les diff´erentes d´efinitions de la fonction de charge et de la d´efinition de la variable qui contrˆole l’endom-magement.

6.3.3.1 Formulation ´energ´etique

Dans ce premi`ere mod`ele, on consid`ere l’endommagement contrˆol´e par le taux d’´energie lib´er´ee. On ne consid`ere pas une distinction entre l’endommagement en traction et en com-pression : le module de la r´esistance du mat´eriau est donc le mˆeme soit en traction soit en compression.

On d´efinit donc de la mani`ere suivante la fonction de chargef : f Y , D¯

= Z Y^¯

0

F(z)dz−D (6.34)

avec F une fonction du tenseur de d´eformation, d´eduite de mani`ere ph´enom´enologique.

On souligne que la fonction de charge ne d´epend pas simplement du taux d’´energie locale relˆach´ee Y(x) : la d´ependance est par rapport au taux d’´energie relˆach´ee moyen ¯Y(x), l’´energie moyenne lib´er´ee suite `a l’endommagement `a la position x :

Y¯(x) = 1 avec V le volume du solide. Ψ(x−s) est la fonction poids `a travers laquelle on peut obtenir la moyenne :

Ψ(x−s) = Ψ0exp −kx−sk² 2l_c²

!

(6.36) Y(s) est le taux d’´energie locale relˆach´ee suite `a l’endommagement au point s :

Y(s) = 1

2(s) :E :(s) (6.37)

lc est la longueur caract´eristique de support de Ψ (autrement dit : la dimension de la fenˆetre d’observation, voir chapitre 2) et Ψ0 est un facteur de normalisation. Ce dernier est choisi de fa¸con telle que si on consid`ere un corps infini, on obtientV<sub>r</sub>(x)=1. La longueur ca-ract´eristique de support de Ψ est fonction des h´et´erog´en´eit´es dans le mat´eriau : g´en´eralement on consid`erelc ≈3da avecda est la taille maximale de l’agr´egat du b´eton.

Il nous faut donc d´efinir une loi d’´evolution de l’endommagement. Dans le cas d’un b´eton, [Pesavento00] propose la relation suivante :

F( ¯Y) = b1+ 2b2 Y¯ −Y0

6.3.3.2 Formulation en termes de d´eformation [Mazars89]

Dans ce cas, on consid`ere que l’endommagement est contrˆol´e par la d´eformation. A l’aide de cette formulation, il est possible de d´ecrire un comportement diff´erent en traction et en compression. Ce mod`ele se r´ev`ele donc particuli`erement adapt´e pour la description du comportement du b´eton.

On pr´esente donc dans la suite ce mod`ele, bas´e sur la formulation propos´ee par [Mazars89], et son extension pour aboutir `a une formulation non-locale. Les d´eformations positives contrˆolent la croissance de l’endommagement. On d´efinit tout d’abord la d´eformation ´equivalente de la mani`ere suivante :

˜ ε =

vu utX³

i=1

hεii+

2

(6.39)

avec hε_ii+ = 0 si ε_i < 0 et hε_ii+ = ε_i, si ε_i ≥ 0 ; et ε_i(i ∈ [1,3]) sont les d´eformations principales. La variable non-locale ¯ε, qui repr´esente la moyenne de la d´eformation ´equivalente sur le volume repr´esentatif, est la variable qui contrˆole la croissance de l’endommagement :

¯

ε(x) = 1 Vr(x)

Z

V

Ψ(x−s)˜ε(s)dv (6.40)

avec V le volume, Vr(x) le volume repr´esentatif au point x, et Ψ(x−s) est la fonction poids, dont la d´efinition a ´et´e donn´ee `a travers la relation 6.36. L’´evolution de l’endomma-gement est sujette aux conditions suivantes :

f(¯ε) = ¯ε−κ avec

si f(¯ε) = 0etf˙(¯ε) = 0alors D=F(¯ε)(voir6.38) si f(¯ε)<0ou f(¯ε) = 0etf˙(¯ε)<0alors D= 0

(6.41)

avec κ le param`etre de relaxation qui prend la valeur la plus grande atteinte par ¯ε.

Comme condition initiale, on impose κ = κo, avec κo la seuil de l’endommagement. κo est la d´eformation en traction `a laquelle l’endommagement commence : ceci a lieu quand la tension atteint la valeur maximaleft, calcul´ee `a l’aide des essais de traction. On peut donc

´ecrire :

κ0 = ft

Eo

(6.42) La loi d’´evolution ´ecrite dans la relation 6.41 est une fonction de la d´eformation. Si l’on d´ecompose l’endommagement en deux parties, un terme qui prend en compte l’endomma-gement en tractionDt, et un terme qui prend en compte l’endommagement en compression D_c, on peut ´ecrire l’endommagement D de la mani`ere suivante :

D=α_tD_t+α_cD_c (6.43)