Ecoulement dans un milieu poreux

Le but de ce paragraphe est d’introduire, tout d’abord de mani`ere simplifi´ee, le ph´enom`ene d’´ecoulement dans un milieu poreux. On donnera donc les lois qui r`eglent le ph´enom`ene, avec une attention particuli`ere `a la loi de Darcy et de Fick. Ensuite on pr´esentera une description des diff´erentes types d’´ecoulement qu’on peut observer lorsqu’on introduit un fluide, soit liquide soit gazeux, dans un milieux poreux. Dans ce cadre on d´ecrira aussi l’´ecoulement d’un fluide dans un pore rectiligne i.e. un r´eseau poreux ´el´ementaire.

3.4.1 Loi de Darcy

Un ´ecoulement est dit darc´een s’il est produit par un gradient de pression. La relation de Darcy (1856) est une application de la loi de Hagen-Poiseuille au milieu poreux. A l’origine elle vise une application `a l’´ecoulement d’eau dans un milieu granulaire et est bas´ee sur les hypoth`eses suivantes :

– Les forces d’´ecoulement dues `a la viscosit´e pr´edominent sur les forces d’inertie – Les ´ecoulements du fluide sont suppos´es laminaires

– Le fluide d’infiltration est inerte vis-a-vis du milieu poreux, c’est `a dire que il n’y a aucune interaction chimique ou physique entre le fluide et le mat´eriau

Dans notre mod`ele nous avons une phase liquide et une phase gazeuse. La loi de Darcy peut ˆetre ´ecrite pour chaque phase π et fait intervenir un tenseur d’une quantit´e que l’on

3.4 ´Ecoulement dans un milieu poreux 59

appelleraK^π, qui permet de relier le volume du fluideV traversant une unit´e de surface par unit´e de temps au gradient de pression. On peut donc ´ecrire :

V =nSπv^π =−K^πgradp^π (3.1) avec n la porosit´e, Sπ la saturation de la phase π, v^π (ms⁻¹) la vitesse macroscopique de la phaseπ d´efinie dans l’eq.2.45 (on a not´e simplement v^π au lieu de v^π)) et gradp^π le gradient de pression de la phase (P a·m⁻¹).K^π (m²P a⁻¹s⁻¹) d´epend principalement de la microstructure, du niveau de saturation et de la viscosit´e de la phase que l’on consid`ere.

On remarque que si l’on tient compte des forces de gravit´e, il convient remplacer dans l’eq.3.3 la pression p^π avec la pression pi´ezom´etrique p^π∗ d´efinie par la relation suivante :

p^π∗ =p^π+ρ^πgz (3.2)

o`u ρ^π est la masse volumique de la phaseπ et z est la cote verticale compt´ee positivement vers le haut.

Dans le cadre de notre travail, les mesures de pression se font `a des cˆotes tr`es voisines telles qu’on puisse n´egliger les forces de gravit´e.

Le tenseurK^πest la grandeur qui d´ecrit la p´en´etration d’un gaz ou d’une liquide `a travers le milieu poreux suite `a un gradient de pression. Les gaz et les liquides ont bien entendu un comportement diff´erent dans le b´eton. Cet aspect sera repris et mieux d´evelopp´e dans les paragraphes suivants.

L’application de la loi de Darcy est envisag´ee par la suite en consid´erant un fluide de percolation liquide, puis gazeux. Dans ce dernier cas, la prise en compte du mouvement de la phase gazeuse en milieu poreux est n´ecessaire pour la d´etermination de la perm´eabilit´e. Dans le cadre de l’utilisation de la loi de Darcy, [Gray80] et puis [Schrefler98] ont d´emontr´e que sous certaines conditions (´ecoulement lent et effet de viscosit´e `a la compression n´egligeables), la loi de Darcy peut ˆetre d´eriv´ee de l’´equation g´en´erale de conservation de moment lin´eaire et peut donc ˆetre appliqu´ee pour la description de l’´ecoulement d’un gaz.

On introduit aussi une ´ecriture massique de la loi de Darcy, le vecteur d´ebit massique not´eJ^π (en kgm⁻²s⁻¹) d´efini de la mani`ere suivante :

J^π =−ρ^πV (3.3)

3.4.2 Loi de Fick

Un autre m´ecanisme de transport du fluide dans le milieu poreux se produit dans les phases constitu´ees d’un m´elange des composants. Les gradients de concentration d’un consti-tuant dans la phase m´elange sont les moteurs d’un mouvement relatif d’un consticonsti-tuant par rapport au mouvement de la phase. Cet ´ecoulement est dit fickien. Dans le cas qui nous int´eresse, il se produit suite `a un gradient de concentration d’air sec ou d’eau vapeur dans le gaz : ce ph´enom`ene est aussi connu sous le nom de diffusion.

Consid´erons le constituantαen train de diffuser dans la phase π. On peut d´efinir le flux relatif de diffusion d’un constituantα dans le m´elange π :

J^α_π =c^α,π(v^α−v^π) (3.4)

avecJ^α_π (m/s) le flux relatif de diffusion de α dans π etc^α,π la concentration du composant α dans π.

La d´efinition de concentration est sujet de discussion dans la litt´erature. En g´en´eral les auteurs donnent `a la concentration trois d´efinitions : volumique, massique et molaire. Des

´etudes r´ecentes [Mainguy98], bas´ees sur des consid´erations de type thermodynamique, font apparaˆıtre que le choix le plus convenable est celui d’une d´efinition molaire. Il nous semble de toute mani`ere que le choix en faveur d’une d´efinition ou d’une autre est pratiquement indiff`erent. Dans le cadre de notre mod`ele THC la choix a ´et´e en faveur d’une formulation de type molaire. Par contre la formulation propos´ee par [Schrefler98], utilis´ee dans le mod`ele THCM, s’appuie sur une formulation de type massique. C’est donc cette formulation que l’on pr´esente dans la suite.

Si on prend donc en consid´eration une d´efinition massique de la concentration, on peut

´ecrire les relations suivantes pour la vitesse de la phase π v^π =X

α

c^α,πv^α (3.5)

et on peut d´emontrer que : X

α

J^α_π = 0 (3.6)

On d´efini c^α,π comme :

c^α,π = c^α c^π = ρ^α

ρ^π (3.7)

La relation suivante est valable : X

α

ρ^α =ρ^π (3.8)

On donne aussi la d´efinition de flux de diffusion massique J^α_π(kgm⁻²s⁻¹) comme :

J_π^α =−ρ^πJ^α_π (3.9)

G´en´eralement on d´ecrit la diffusion de Fick `a travers la loi suivante :

J^α_π =−D^α_πgradc^α,π (3.10) avecD^α_π (m²s⁻¹) le coefficient de diffusion du constituant α dans la phaseπ. Si le mat´eriau est isotrope on peut donc ´ecrire le tenseur D^bw_d comme :

D^α_π =D^α_πI (3.11)

L’´equation 3.10 est valable pour les m´elanges biphasiques, mais peut ˆetre formul´ee aussi pour des m´elanges multi-composants. En explicitant les termes de concentration on peut r´e´ecrire la loi de Fick de la mani`ere suivante :

J_π^α =−ρ^πD^α_πgrad ρ^α

ρ^π

(3.12) Si on explicite l’eq.3.12 pour l’air et l’eau vapeur on obtient les relations suivantes :

J_g^ga =−ρ^gD^ga_g grad ρ^ga

ρ^g

J_g^gw =−ρ^gD^gw_g grad ρ^gw

ρ^g

(3.13)

3.4 ´Ecoulement dans un milieu poreux 61 Suite `a l’eq.3.6, on peut ´ecrire :

D^ga_g =D^gw_g =Dg (3.15)

Si l’on suppose que l’´equation des gaz parfaits est valable, on peut ´ecrire : ρ^α

ρ^π = p^α

p^π (3.16)

et on obtient la relation suivante :

J_g^ga =−ρ^gDggrad

3.4.3 Transport de l’eau adsorb´ ee

On peut identifier un troisi`eme mode de transport dans le milieu. Il s’agit du transport d’eau adsorb´ee `a la surface des couches qui forment le squelette du C-S-H. Ce type d’eau se trouve sous forme des couches ; lorsqu’on il y a un gradient i.e. une variation du nombre de couches d´epos´ees le long une certaine direction, on peut observer le transport. Le moteur du ph´enom`ene est donc li´e au gradient du nombre des couches d’eau qui est li´e au gradient du niveau de saturation de l’eau adsorb´ee.

On admet g´en´eralement que l’eau adsorb´ee fait partie de l’eau liquide contenue dans le b´eton. Ce ph´enom`ene de transport devient d’importance dans deux conditions :

– lorsqu’on atteint un niveau de saturation tr`es faible (inf´erieure `a la saturation irr´eductible Sssp, de l’ordre du 0.1%) i.e. la seule eau liquide pr´esente dans le b´eton est l’eau ad-sorb´ee

– lorsqu’on est proche du point critique de l’eau i.e. la quantit´e d’eau adsorb´ee est comparable `a la quantit´e d’eau capillaire restante

Si la saturation en liquide est sup´erieure `a la saturation irr´eductible, le transport de l’eau adsorb´ee devient un ph´enom`ene n´egligeable devant les ph´enom`enes de transport de l’eau capillaire li´es aux gradients de pression.

On ´ecrit alors la loi suivante [Gawin03] :

J_d^bw=−ρ^wD^bw_d gradSb (3.18) avec J_d^bw(kgm⁻²s⁻¹) le flux massique d’eau adsorb´ee, D^bw_d (m²s⁻¹) le tenseur de transport de l’eau dans le squelette etSb le niveau de saturation de l’eau adsorb´ee qui peut s’exprimer en fonction du niveau de saturation en liquide S :

Sb =S si S ≤Sssp

Sb =Sssp si S > Sssp

(3.19)

Le mat´eriau est consider´e isotrope ; on peut donc consid´erer le tenseur D^bw_d comme :

D^bw_d =D^bw_d I (3.20)

Certains auteurs parlent du ph´enom`ene de transport de l’eau adsorb´ee comme d’une diffusion. Toutefois il nous semble plus appropri´e d’utiliser la terminologie plus g´en´erale de

”transport”.

On montrera plus loin que le niveau de saturation de l’eau adsorb´ee est li´e `a la pression capillaire Sb(p<sup>c</sup>). Cette derni`ere ´etant une variable d’´etat, on r´e´ecrit la formule 3.18 en fonction de la pression capillaire [Gawin03] :

J_d^bw =−ρ^wD^bw_d ∂Sb

∂p^cgradp^c (3.21)

On a remarqu´e plus haut qu’au-del`a du point critique l’interface eau liquide-vapeur disparaˆıt et il devient donc impossible de distinguer entre l’eau en phase liquide et l’eau en phase vapeur : la pression capillaire pc perd donc sa signification physique. [Gawin96]

propose une extension de la th´eorie en introduisant un potentiel ´energ´etique que l’on appelle pc; cette astuce permet de garder la formulation math´ematique avec la pression capillaire mˆeme au del`a du point critique, mais bien entendu avec une signification diff´erente. L’eq.3.21 peut ˆetre donc utilis´ee.

De toute mani`ere, dans le cadre de cette th`ese, vu les temp´eratures relativement basses qui nous int´eressent, le transport de l’eau adsorb´ee peut ˆetre consid´er´e comme un ph´enom`ene n´egligeable.