2.3.1 Choix du volume ´ el´ ementaire repr´ esentatif
Le syst`eme que l’on prend en compte, est un syst`eme multiphasique, qui occupe un volume V, d´elimit´e par une surface A. Les constituants π occupent un volume Vπ li´e `a V tel que :
X
π
Vπ =V
Le mat´eriau ´etant h´et´erog`ene, la description au niveau microscopique s’av`ere trop complexe pour ˆetre prise en charge `a travers un mod`ele. Dans notre analyse, on introduit donc un Volume ´El´ementaire Repr´esentatif (VER) δV dont la surface est δA. Dans un syst`eme de coordonn´ees global, la position du centre du VER est d´efinie par un vecteur position x; la position d’un point est d´efinie par un vecteurr (voir fig.2.1). On peut donc noter le volume du VER du centrex,δVx; toutefois, pour simplifier on utilisera tout simplement la notation
´equivalente δV soit pour indiquer δVx, soit pour en indiquer le module.
A travers la d´efinition d’une fonction de distributionγπ : γπ(r, t) =
1 si r ∈ δVπ
0 si r ∈ δVα ∀π, α6=π (2.1)
on peut d´efinir le volume de la phase π dans le VER, δVπ : δVπ(x, t) =
Z
δV
γπ(r, t)dv (2.2)
avecdv le volume microscopique de l’´el´ement.
Aux interfaces γπ(r,t) n’est pas d´efini. De tout mani`ere les limites gauche et droite existent.
De la mˆeme mani`ere, on peut obtenirδAπ i.e. la partie de δAdu VER qui se trouve dans la phaseπ :
δAπ(x,t) = δA\
δVπ (2.3)
δAπ(x,t) = Z
δA
γπ(r, t)da (2.4)
avec da la surface microscopique de l’´el´ement.
Il faut remarquer que en g´en´eral δVπ et δAπ sont l’union de r´egions isol´ees connexes.
On d´efinit aussi δAπα l’interface entre la phase π et la phase α dans le volume δV. De la
2.3 Processus de moyenne 37
dv
r x
O
Phase mouillante Phase non-mouillante Solide
ζ
Fig. 2.1 – Volume typique dv dans un milieu poreux
mˆeme mani`ereδAπα est l’union de plusieurs r´egions isol´ees. Nous supposerons que c’est une fonction continue dans l’espace et dans le temps.
La connaissance deδVπ nous permet de donner la d´efinition de la fraction volumique de la phaseπ,ηπ :
ηπ(x, t) = δVπ δV = 1
δV Z
δV
γπ(r, t)dv (2.5)
avec :
Xκ
π=1
ηπ = 1 et 0≤ηπ ≤1 (2.6)
Le VER permet la d´efinition de la quantit´e macroscopique (pression, porosit´e, . . .) comme la moyenne sur ce VER de la mˆeme quantit´e prise `a l’´echelle microscopique. La taille du VER s’av`ere un choix important, vu que le VER doit ˆetre suffisamment grand pour que les h´et´erog´en´eit´es pr´esentes `a l’´echelle microscopique ne soient plus apparentes `a l’´echelle macroscopique [Bear79]. Si on note l le rayon de la boule servant de volume de r´ef´erence pour la prise de moyenne, alorsl > lmin. Ce rayon est limit´e par la dimension du milieu que l’on ´etudie (l < L). Selon [Bear91] il existe aussi une autre limite sup´erieure caract´eris´ee par la distance `a partir de laquelle la distribution spatiale d’une quantit´e, caract´eristique de l’espace vide du milieu poreux, d´evie d’un comportement lin´eaire l < lmax < L. Les deux limites sont pr´esent´ees en figure 2.2, o`u on regarde la variation de la variableζ (avecr=x+ζ) en fonction du volume dv de la boule de rayon l.
Par la suite on suppose donc l’existence d’un VER. On peut alors obtenir les ´equations du mod`ele `a l’´echelle macroscopique par prise de moyenne sur le VER des ´equations donn´ees
`a l’´echelle microscopique. Les r`egles de changement d’´echelle micro-macro sont pr´esent´ees dans la suite. Elle s’inspirent des travaux de [Gray79-1], [Gilbert87], [Daian88], [Bear91], [Schrefler98].
O
Milieu h´et´erog`ene
Milieu homog`ene Plage deδv
δv
δvmin δvmax
Valeurmoyennedeζ
Fig. 2.2 – Moyenne de ζ en fonction de la taille du VER
2.3.2 Op´ erateurs de moyenne
Les quantit´es moyennes sont li´ees aux quantit´es microscopiques `a travers des op´erateurs de moyenne. A partir de consid´erations de type physique, [Gray79-1] propose des crit`eres que l’on rappelle ici :
– I : si une op´eration de moyenne pr´evoit une int´egration, la fonction int´egrant multipli´ee par l’´el´ement infinit´esimal de l’int´egration, doit ˆetre une quantit´e additive.
– II : les quantit´es macroscopiques doivent rendre compte exactement du total des pro-pri´et´es microscopiques correspondantes.
– III : la signification physique originaire doit ˆetre conserv´ee dans la quantit´e macrosco-pique.
– IV : le valeur moyenne d’une quantit´e microscopique doit ˆetre la mˆeme fonction que normalement observ´ee et mesur´ee dans un essai.
Pour respecter ces conditions, [Gray79-1] propose trois op´erateurs de moyenne : – moyenne du volume hiπ et moyenne du volume intrins`eque hiπ d´efinies par :
hζiπ(x, t) = 1 δV
Z
δV
ζ(r, t)γπ(r, t)dv (2.7)
et :
hζiπ(x, t) = 1 δVπ
Z
δV
ζ(r, t)γπ(r, t)dv (2.8) et donc `a travers l’eq.2.5 on obtiens :
hζiπ(x, t) = ηπ(x, t)hζiπ(x, t) (2.9) – moyenne de masse ¯π :
ζπ(x, t) = R
δV ρ(r, t)ζ(r, t)γπ(r, t)dv R
δV ρ(r, t)γπ(r, t)dv (2.10)
2.3 Processus de moyenne 39
avec ρ(r,t) la densit´e de masse microscopique ; l’eq.2.10 avec l’eq.2.7 devient : ζπ(x, t) = 1 avec n le verseur normal sortant de la surface microscopique de l’´el´ement da.
Selon les crit`eres que l’on a d´efini plus haut, on peut ´ecrire la fonction densit´e de masse macroscopique, d´efinie comme la moyenne sur le volume de la fonction microscopique cor-respondante :
Dans la suite, on obtiendra la moyenne de la vitesse, de la force externe, de l’apport externe de chaleur, de l’entropie interne, de l’apport externe d’entropie et de la produc-tion totale d’entropie de la mˆeme mani`ere. Ces foncproduc-tions sont additives seulement sous la forme ρζdv. Les quantit´es moyennes sur le volume (eq.2.7), et sur la masse, (eq.2.10), sont identiques seulement dans le cas de densit´e de masse microscopique constante.
L’op´erateur de moyenne sur la surface (eq.2.12) sera utilis´e pour d´efinir les termes de flux moyen (contrainte, chaleur et entropie).
A ce point, il est important de bien comprendre la signification et le principe qui sont
`a la base des m´ethodes de changement d’´echelle. Ceci peut-ˆetre est plus clair si, au lieu de la fonction de distribution on utilise ce que d’autres auteurs [Gilbert87], [Tamagny96]
appellent fonction d’observation, et qui est exprim´ee `a travers une int´egrale de convolution.
La fonction d’observation est une fonction douce, assez r´eguli`ere et suppos´ee born´ee. A la diff´erence de la fonction de distribution, elle est d´efinie sur la fronti`ere. Au niveau intuitif, on peut dire que au voisinage du point x d’int´erˆet, la fonction d’observation privil´egie dans la fenˆetre de prise de vue les points les plus proches dex, puis int`egre sur la fenˆetre. Autrement dit, ceci correspond au calcul d’un temps de pose par un appareil photographique `a mesure
`a travers l’objectif, qui d´etermine `a chaque instant un niveau de gris moyen (fig.2.3).
A chaque temps de pose correspond un niveau de gris (i.e. une fonction de pond´eration) qui produit le r´esultat de substituer `a des quantit´es discontinues ou variant tr`es rapidement (par exemple la fonction densit´e de masse microscopique subit un saut en passant d’un grain `a un pore contenant de l’eau) des quantit´es plus r´eguli`eres opportun´ement choisies.
L’int´egrale de la fonction d’observation est choisie de fa¸con `a interpr´eter correctement un gris uniforme. Avec cette approche on peut aussi voir la fonction de distribution comme un type particulier de fonction d’observation, qui donne le mˆeme poids aux points au voisinage du pointxchoisi dans la fenˆetre d’observation. De toute mani`ere l’approche avec la fonction de distribution d´evelopp´ee par [Gray79-1] sera conserv´ee.
Il faut aussi remarquer qu’une quantit´e macroscopique n’est pas forc´ement ´egale `a la moyenne de la quantit´e microscopique correspondante. En plus, la d´efinition des quantit´es macroscopiques `a travers la proc´edure de moyenne, introduit de nouvelles variables dans
Fig. 2.3 – Interpr´etation de la fonction d’observation et de la fonction de distribution [Gilbert87]
les ´equations. Il nous faut alors introduire un certain nombre de th´eor`emes pour traiter les op´erateurs math´ematiques.
2.3.3 Equation g´ ´ en´ erale de bilan microscopique
A l’´echelle microscopique, un milieu poreux peut ˆetre vu comme la juxtaposition de toutes les phasesπ, chacune occupant un volumeVπ, partie du volume totalV. Les volumes Vπ sont s´epar´es par des interfaces ou surfaces. Les propri´et´es du mat´eriau et les quantit´es thermodynamiques peuvent pr´esenter des discontinuit´es aux interfaces. En g´en´eral, on as-sume aussi la possibilit´e d’avoir des ´echanges de masse, moment ou ´energie parmi les phases
`a travers les interfaces. Comme on a d´ej`a remarqu´e plus haut, on assume `a tout moment l’´equilibre thermodynamique.
Pour obtenir un syst`eme d’´equation g´en´eral, on suivra la d´emarche propos´ee par Hassa-nizadeh et Gray ([Gray79-1], [Gray79-2]) : on impose donc une ´equation g´en´erale pour la description au niveau microscopique d’une variable conservative g´en´erique.
Pour une variable g´en´erale conservative massique,ψ, caract´eris´ee par un vecteur de fluxi, une contribution externebet la production deψ,G, l’´equation de conservation microscopique de la phaseπ devient :
∂(ρψ)
∂t +div(ρψ˙r)−div i−ρb=ρG (2.14) avec ρla densit´e de masse, ˙r la vitesse du mat´eriau pr´esente au point spatial r.
2.3 Processus de moyenne 41
Selon [Gray79-2], on peut obtenir l’´equation de bilan que l’on cherche, en faisant la substitution deψ,i,betGavec la variable li´ee au ph´enom`ene que l’on veut d´ecrire. L’eq.2.14 n’est pas valable en cas de discontinuit´e et `a l’interface.
On peut compl´eter la relation 2.14 avec le th´eor`eme suivant :
Th´eor`eme de Kotchine : `a l’interface α−π, si les surfaces n’ont pas des propri´et´es thermodynamiques, on peut ´ecrire :
[ρψ(w−˙r) +i] |π · nπα+ [ρψ(w−˙r) +i] |α · nαπ = 0 (2.15) avecwla vitesse de l’interface, nπα est le vecteur unitaire normal qui sort de la phaseπ et rentre dans la phase α et :
nπα =−nαπ (2.16)
La notation |π indique que le terme qui pr´ec`ede est calcul´e en fonction de la phase π.
Dans le cas d’une interface avec des propri´et´es thermo-m´ecaniques, le terme de droite est non-z´ero. En th´eorie, `a partir des relations constitutives appropri´ees, on peut obtenir une solution de l’´equation 2.14 soumise aux condition de l’eq.2.15. Le probl`eme de toute mani`ere se r´ev`ele tr`es compliqu´e et pratiquement impossible `a r´esoudre. En plus, il faudrait mesurer des quantit´es microscopiques. Comme seule la mesure de quantit´es moyennes est possible, une v´erification exp´erimentale n’est pas r´ealisable.
2.3.4 Equation g´ ´ en´ erale de bilan macroscopique
L’´equation g´en´erale de bilan macroscopique obtenue `a partir de l’´equation g´en´erale de bilan microscopique 2.14, peut ˆetre exprim´ee `a travers le th´eor`eme suivant :
Th´eor`eme: Une propri´et´e macroscopique ¯ψπrelative `a une phaseπd’un corps h´et´erog`ene qui occupe une volumeV qui ne contient pas de discontinuit´es et qui a une fronti`ere A, est conserv´ee `a travers la relation de bilan suivante :
Z
La d´emonstration de ce th´eor`eme est donn´ee dans l’annexe B. L’annexe A donne l’en-semble des th´eor`emes et relations qui seront utilis´es par la suite.
Au lieu de l’eq.2.17, on utilisera la forme diff´erentielle suivante de l’´equation de bilan 2.17 :
∂
∂t hρiπψ¯π
+div hρiπψ¯π¯vπ
−diviπ− hρiπeπ(ρψ)− hρiπIπ− hρiπ¯bπ =hρiπG¯π ∀x∈V (2.19) soumise `a la condition :
X
π
hρiπ[(eπ(ρψ) +Iπ)]dV = 0 ∀ x∈V (2.20) Les ´equations g´en´erales de bilan `a l’´echelle microscopique 2.14 et `a l’´echelle macrosco-pique 2.19 sont formellement identiques. Comme on a d´ej`a remarqu´e, ceci autorise l’´ecriture directe des ´equations de bilan macroscopique. De toute mani`ere, il faut noter que le deux descriptions sont relatives `a deux dimensions diff´erentes, correspondant `a la description lo-cale (`a l’´echelle des constituants) et `a la description semi-lolo-cale (`a l’´echelle macroscopique).
Le changement d’´echelle correspond aussi `a un changement de variable par rapport `a la-quelle on d´erive ou on int`egre. A l’´echelle micro on fait r´ef´erence `a la variableret `a l’´echelle macro `a la variablex.