1.4 Simulation d’un signal vibratoire de boˆıte de vitesses
1.4.2 Simulation des ph´enom`enes vibratoires
A partir de l’observation de l’allure th´eorique des spectres d’engrenage, nous proposons une simulation simplifi´ee d’un signal vibratoire de boˆıte de vitesses qui servira d’illustration aux d´eveloppements pr´esent´es dans les chapitres suivants.
Nous consid´erons le mod`ele convolutif suivant :
x(t) = h(t) ∗ d(t) + s(t) + r(t) + b(t) (1.4)
o`u h(t) repr´esente la r´eponse impulsionnelle du syst`eme m´ecanique, d(t) la partie d´eterministe de l’excitation, s(t) et r(t) deux composantes de la partie al´eatoire de l’excitation et b(t) le bruit additif repr´esentant le bruit de mesure. Deux composantes d’excitations al´eatoires sont d´efinies afin de dissocier les cas de grenaille dits p´eriodiques du reste. Dans ce mod`ele, on consid`ere une unique r´eponse impulsionnelle o`u le transfert `a partir des excitations d´eterministes et al´eatoires est donc suppos´e identique. Ce point sera davantage discut´e au chapitre 2, traitant de l’estimation de la fonction de transfert en conditions non-stationnaires.
Ce signal sera ´echantillonn´e `a 40960 Hz, ce qui correspond `a la fr´equence d’´echantillonnage utilis´e lors de nos campagnes d’essais.
1.4.2.1 Mont´ee en r´egime avec acyclisme
On consid`ere ici une rampe de vitesse avec un acyclisme compos´e des harmoniques H2, H4 et H6 de la fr´equence de rotation. La d´efinition de la loi de vitesse non-stationnaire fait appel `a la notion de fr´equence instantan´ee, qui correspond `a la sinuso¨ıde qui suit au mieux le signal au cours du temps. En notant f(t) la fr´equence instantan´ee de la rampe, la vitesse angulaire instantan´ee (en [rad/s]) s’´ecrit :
˙θ(t) = 2π f (t) +
∑
n Hn(t). sinn2π f(W ) − f (0) 2W t 2+ f (0)t , n= 2, 4 et 6 (1.5)Simulation d’un signal vibratoire de boˆıte de vitesses
o`u W correspond `a la dur´ee du signal et Hn(t) correspond `a l’amplitude de l’harmonique d’ordre n.
Dans cette simulation une rampe de vitesse de 700 `a 4000 tr/min est consid´er´ee avec une mont´ee en W = 20 s (figure 1.17). La r´ef´erence [LIG 02a] propose une estimation de l’intensit´e des harmoniques H2, H4 et H6 constituants le couple d’excitation. Les amplitudes relatives entre ces harmoniques d´ependent en particulier du type de motorisation (Diesel ou essence) et de la charge du moteur. Dans cette simulation on consid`ere une ´evolution lin´eaire des amplitudes et les harmoniques H4 et H6 sont d’amplitude relative respectivement ´egales `a 40% et 6% de celle de H2. La figure 1.18 montre le niveau d’acyclisme des harmoniques H2, H4 et H6 exprim´e en acc´el´eration angulaire en fonction de la vitesse de rotation.
0 5 10 15 1000 2000 3000 4000 temps (s) tr/min (a) 14.99 15 15.01 15.02 3050 3100 3150 3200 temps (s) tr/min (b)
FIGURE1.17: Rampe de vitesse simul´ee (a) et zoom (b) pour visualiser l’acyclisme.
1000 2000 3000 0 2000 4000 6000 Acyclisme (rad/s 2 )
vitesse de rotation (tr/min) H2
H4 H6
FIGURE1.18: Niveau d’acyclisme en rad/s2en fonction de la vitesse instantan´ee pour les harmoniques H2 (noir), H4 (rouge) et H6 (bleu) de la vitesse de rotation.
1.4.2.2 Fonction de transfert (mod`ele ´el´ementaire)
On consid`ere ici le cas ´el´ementaire d’un syst`eme m´ecanique `a une seule r´esonance dont la r´eponse impulsionnelle est donn´ee par :
h(t) = e−ζ2π f0tsin(2π f0t) , t > 0 (1.6) o`u f0 et ζ repr´esentent, respectivement, la fr´equence propre du syst`eme et le taux d’amortisse-ment dont les valeurs sont donn´ees dans le tableau 1.1.
1.4.2.3 Excitation d´eterministe : signal de sir`ene
Dans le cas des boˆıtes de vitesses, la partie d´eterministe de l’excitation correspond essentiel-lement au bruit de sir`ene qui se caract´erise par un spectre de raies, les plus ´energ´etiques corres-pondant aux multiples de la fr´equence d’engr`enement des pignons. La composante d´eterministe d(t) repr´esentant un ph´enom`ene cyclique en angle, nous la mod´elisons par une s´erie de Fourier dont les fonctions de base sont exprim´ees dans le domaine angulaire. Pour simuler la modula-tion d’amplitude engendr´ee par les condimodula-tions instantan´ees de foncmodula-tionnement, les coefficients de Fourier sont exprim´es en fonction de la vitesse de rotation ˙θ(t). En notant Θ la p´eriode cyclique angulaire en radians, la partie d´eterministe se mod´elise ainsi de la fac¸on suivante :
d(t) =
∑
k∈N∗
ck(˙θ(t))ej2πk θ(t)
Θ
Dans cet exemple on simulera les raies li´ees `a la fr´equence d’engr`enement (avec Θ= 2π/Z1) ainsi que celles li´ees `a une excentricit´e ´eventuelle du pignon menant (avec Θ = 2π). Pour simuler une modulation d’amplitude lin´eaire avec la variation de r´egime de rotation, on pose ck(˙θ(t)) = ˙θ(t)C/k2. Les valeurs de C utilis´ees dans la simulation sont indiqu´ees au tableau 1.1. En particulier, afin de simuler la pr´esence d’acyclisme, on distinguera les valeurs de C en fonction de la parit´e des harmoniques.
La figure 1.19 donne une repr´esentation temps/fr´equence obtenue par transform´ee de Fou-rier `a court terme du signal de sir`ene simul´e, o`u l’´echelle de couleur est exprim´ee en dB.
ζ f0 Cpour Θ= 2π et k impair C pour Θ = 2π et k pair C pour Θ = 2π/Z1
0,3 1968 0,002 0,01 0,004
TABLE1.1: Valeurs utilis´ees dans la simulation.
1.4.2.4 Excitation al´eatoire : signal de grenaille
La partie al´eatoire de l’excitation repr´esente les chocs possibles entre les pi`eces des ´el´ements de la boˆıte, g´en´erant les bruits indiqu´es `a la section 1.2.3.3. Dans notre simulation on restreint
Simulation d’un signal vibratoire de boˆıte de vitesses fréquence (Hz) temps (s) 0 0.5 1 1.5 2 x 104 5 10 15 −20 −10 0 10 20 30 40
FIGURE 1.19: Repr´esentation temps-fr´equence de la partie d´eterministe d(t) de l’excitation simul´ee (sir`enes). Echelle de couleur en dB.
dans s(t) cette excitation al´eatoire au seul bruit de grenaille g´en´er´e par les chocs p´eriodiques au niveau des pignons fous. Le cas de chocs altern´es entre flanc direct et flanc r´etro est consid´er´e (cas repr´esent´e `a la figure 1.6). Le signal sera compos´e d’une forme d’onde se r´ep´etant p´eriodiquement mais dont l’amplitude pr´esente des variations al´eatoires. La composante s(t) est ainsi mod´elis´ee par une somme de distributions de Dirac prenant des valeurs non nulles aux ins-tants o`u la d´eriv´ee de la vitesse de rotation s’annule :
s(t) = 0 pour t< T /2
A(˙θ(t)). ∑kδ(t − tk) avec tk tel que ¨θ(tk) = 0 pour t≥ T /2
o`u A(˙θ(t)) prend des valeurs al´eatoires entre -1 et 1 (avec une alternance entre signes positif et n´egatif pour simuler l’alternance des chocs flancs direct et r´etro) et est modul´e en amplitude avec une ´evolution lin´eaire en fonction du r´egime. Un des objectifs de ces simulations de signaux synth´etiques ´etant de d´etecter l’apparition de la grenaille, s(t) est mis `a 0 sur la premi`ere moiti´e de la mont´ee en r´egime (figure 1.20 (a)) ; on a alors une simulation d’un cas d’apparition brusque du bruit de grenaille. La figure 1.20 (b) montre un zoom du signal (h ∗ s)(t) observ´e sur trois tours de l’arbre moteur et focalis´e autour du num´ero du tour o`u commence le bruit de grenaille. Sur la portion pr´esentant des impacts, on peut observer les 4 impulsions par tour d’arbre avec une alternance entre un choc flanc direct et un choc flanc r´etro. Les amplitudes des impulsions sont choisies al´eatoirement pour simuler des chocs plus ou moins intenses, voire mˆeme une absence de choc sur un des flancs.
La composante r(t) repr´esente ici les autres sources d’excitation al´eatoires et est simul´ee par un bruit blanc dont l’amplitude varie lin´eairement avec la vitesse de rotation. Le bruit additionnel b(t), qui repr´esente le bruit induit par la chaˆıne de mesure, sera ´egalement assimil´e `a un bruit blanc, simul´e en pratique par une loi normale centr´ee dont l’amplitude est constante.
0 5 10 15 −2 −1 0 1 2 temps (s) (a) 229 230 231 −0.5 0 0.5 angle (tr) (b)
FIGURE1.20: (a) Observation en temps de la composante(h ∗ s)(t). (b) Zoom observ´e en angle, pour un extrait pris sur la plage d’apparition des impacts.