M´ethodes d’analyse de signaux vibratoires de machines tournantes

cl´e pour le diagnostic des boˆıtes. Pour d´etecter l’apparition et juger de la s´ev´erit´e du bruit de grenaille, les signaux vibratoires constituent un vecteur d’information qui n´ecessite des traite-ments adapt´es, notamment au caract`ere cyclique des processus causant les´ev`enements aux-quels on s’int´eresse. Randall propose dans son ouvrage [RAN 11] une synth`ese des m´ethodes de diagnostic bas´ees sur l’analyse vibratoire. Nous rappellerons dans cette partie l’analyse en deux dimensions de type temps-fr´equence ou angle/ordre, classiquement utilis´ee pour l’obser-vation des signaux non-stationnaires, et nous introduirons la notion de cyclo-non-stationnarit´e, beaucoup plus r´ecente, qui sera au cœur des travaux pr´esent´es dans ce manuscrit.

La cin´ematique des syst`emes `a engrenages, et plus g´en´eralement des machines tournantes, est fondamentalement li´ee `a des rep`eres et ´ev`enements angulaires. Nous allons donc commencer par pr´esenter la notion d’´echantillonnage ou r´e-´echantillonage angulaire.

1.4.3.1 Echantillonnage `a pas d’angle constant

Pour conserver au mieux le caract`ere cyclique des signaux vibratoires acquis sur les machines tournantes, les signaux sont couramment analys´es dans le domaine angulaire. Il faut pour cela obtenir un signal ´echantillonn´e `a pas d’angle constant, soit par acquisition directe en angle soit par r´e-´echantillonage angulaire. Ces m´ethodes d’obtention de signal angulaire ont fait l’objet de nombreuses ´etudes depuis une vingtaine d’ann´ees. Des descriptifs d´etaill´es pourront notamment ˆetre trouv´es dans les r´ef´erences [FYF 97], [BON 04a], [LI 05], [AND 10]. Nous rappellerons simplement ici les principes g´en´eraux et les pr´ecautions d’usage. L’´echantillonnage angulaire direct seul n´ecessite un syst`eme d’acquisition cadenc¸able par une horloge externe et ne permet pas de disposer du signal temporel : nous nous concentrerons

Simulation d’un signal vibratoire de boˆıte de vitesses

donc plutˆot ici sur les m´ethodes de r´e-´echantillonnage angulaire. Principe du r´e-´echantillonnage angulaire

Le r´e-´echantillonnage angulaire, et plus g´en´eralement la connaissance fine du fonction-nement du syst`eme tournant, n´ecessite la connaissance de la fonction reliant l’angle et le temps, en g´en´eral obtenue `a l’aide d’un codeur angulaire solidaire de l’arbre de r´ef´erence qui d´elivre un signal carr´e de R impulsions par tour. La fonction angle/temps sera donc consid´er´ee comme connue pour des positions d’arbre correspondant `a un incr´ement angulaire constant 2π/R. Le cas particulier du top-tour fournit une seule impulsion par tour. Dans le cas de faibles fluctuations de vitesse et pour des signaux d’engrenage, Bonnardot [BON 04a] montre la possibilit´e de d´eterminer la position de l’arbre `a partir des signaux acc´el´erom´etriques, sans utilisation de codeurs angulaires. Une premi`ere m´ethode est bas´ee sur une d´emodulation autour de la fr´equence d’engr`enement et une seconde est bas´ee sur les similitudes par utilisation du cepstre. Ces m´ethodes ne seront pas d´etaill´ees davantage ici parce qu’elles ne tol`erent que des faibles fluctuations autour d’une vitesse moyenne stable et que nous envisageons des situations plus s´ev`eres pour nos applications automobiles.

La figure 1.21 pr´esente le principe du r´e-´echantillonnage angulaire a posteriori. La fonction angle/temps est connue avec une r´esolution angulaire ∆θ= 2π/R et le signal analogique x(t) est discr´etis´e avec un pas d’´echantillonnage temporel ∆t. On suppose ici que les ´echantillons connus de la fonction angle/temps ont le mˆeme pas angulaire que les ´echantillons souhait´es dans le signal angulaire : on cherche `a connaˆıtre x<sub>θ</sub>[k] aux points d’´echantillonnage k∆θ. Dans ce cas, la fonction angle/temps permet directement de relier les angles θ= θ<sub>i</sub>aux instants t= t<sub>i</sub> correspondants. Dans le cas g´en´eral, le temps t<sub>i</sub> ne correspondra pas `a un ´echantillon tempo-rel [n] mesur´e et la valeur du signal x[ti] sera alors obtenue par interpolation. Le signal `a pas angulaire constant est ainsi d´etermin´e par x<sub>θ</sub>[θ<sub>i</sub>] = x[t<sub>i</sub>]. Une comparaison de m´ethodes d’inter-polation (lin´eaire, cubique polynomiale et spline cubique) est donn´ee `a la r´ef´erence [FYF 97], la m´ethode par spline cubique donnant les r´esultats les plus pr´ecis.

Le r´e-´echantillonnage implique le respect des conditions de Nyquist-Shannon. Bonnardot [BON 04a] mentionne la possibilit´e d’utiliser un second filtre anti-repliement configur´e selon la plus basse fr´equence de rotation instantan´ee et selon le nombre d’´echantillons par tour R₂d´esir´e apr`es r´e-´echantillonnage. Une alternative consiste `a choisir R2de fac¸on `a ce que l’intervalle tem-porel entre deux ´echantillons angulaires soit toujours plus petit que l’intervalle ∆t = 1/ feentre deux ´echantillons temporels. Le cas critique est alors obtenu pour la plus petite vitesse de rota-tion. En notant Ω la fr´equence de rotation en Hz, il faut alors v´erifier 1(Ωmin.R2)  ∆t. On obtient ainsi la condition sur R<sub>2</sub> pour v´erifier le th´eor`eme de Nyquist-Shannon dans le do-maine angulaire :

R₂ ¹

Ω_min.∆t ^(1.7)

En notant ∆θ₂ = ^2π

FIGURE1.21: Sch´ema de principe du r´e-´echantillonnage angulaire a posteriori.

d’´echantillonnage angulaire :

∆θ₂ Ωmin.2π.∆t (1.8)

Une interpolation sera alors n´ecessaire pour passer du pas d’angle ∆θ impos´e par le codeur angulaire au pas ∆θ2v´erifiant les conditions de Nyquist-Shannon.

M´ethodes d’obtention de la fonction angle-temps

Les m´ethodes d’obtention de l’estimation de la position de l’arbre de r´ef´erence (ou plus g´en´eralement de la vitesse angulaire instantan´ee) `a partir de codeurs angulaires sont pr´esent´ees aux r´ef´erences [LI 05] [AND 10].

La premi`ere m´ethode consiste `a acqu´erir, en temporel et en parall`ele du signal d’int´erˆet x[n], le signal venu du codeur angulaire not´e c[n]. Le codeur d´elivre un signal carr´e avec R fronts montants par tour de son arbre de r´ef´erence, soit tous les 2π/R radians. La fr´equence instantan´ee des impulsions du codeur est donn´ee par

f_imp= RΩ

Afin de se rapprocher de la forme du cr´eneau, le signal c[n] doit contenir au moins trois ´echantillons entre deux fronts montants du codeur. Le cas critique ´etant obtenu pour la plus grande vitesse de rotation Ω_max, on obtient une condition sur la fr´equence d’´echantillonnage

f_e :

Simulation d’un signal vibratoire de boˆıte de vitesses

Chaque front montant d´etect´e dans le signal c[n], en g´en´eral par interpolation, permet de relier l’angle θ_n= n^2π

R (en radians) au temps t_n(en secondes) du front montant. A partir de la fonction angle/temps ainsi obtenue, il est possible d’estimer la vitesse de rotation instantan´ee de l’arbre de r´ef´erence : ˙θ(tn) = ^dθ(t) dt    t=tn

Une seconde m´ethode (rappel´ee `a l’annexe A, section A.4) consiste `a compter le nombre de tops d’une horloge haute fr´equence entre deux fronts montants du codeur. La figure 1.22 sch´ematise un exemple de signal carr´e issu du codeur angulaire ainsi que les tops horloge. Le

FIGURE1.22: (a) : Signal carr´e du codeur angulaire. (b) : Tops horloge. [AND 10]

compteur sera incr´ement´e `a chaque passage de front montant et le temps entre deux fronts montants sera alors obtenu par diff´erence entre les valeurs successives.

Andre et al. proposent dans la r´ef´erence [AND 10] une comparaison entre ces deux m´ethodes (signal analogique et comptage) et un ´echantillonage angulaire direct. Il est montr´e que pour les deux m´ethodes le r´e-´echantillonnage pr´esente des r´esultats comparables `a l’´echantillonnage angulaire direct, mˆeme pour des vitesses variables. On peut noter que l’utilisation du signal analogique n´ecessite de travailler avec des fr´equences d’´echantillonnage ´elev´ees pour satisfaire la condition (1.9) mais pr´esente l’avantage de ne n´ecessiter aucun dispositif de mesure particulier (alors que la seconde m´ethode requiert un compteur).

L’obtention de la vitesse angulaire instantan´ee `a l’aide de codeurs optiques est sujette `a des difficult´es r´ecemment d´ecrites aux r´ef´erences [AND 11], [AND 13], [LEC 13]. Cet aspect sera davantage d´etaill´e au chapitre 4, section 4.2.2.1.

1.4.3.2 Analyse par repr´esentation `a deux dimensions

Pour l’analyse de signaux non-stationnaires, des repr´esentations `a deux dimensions sont couramment utilis´ees. L’analyse temps-fr´equence permet de d´etecter des changements de contenu fr´equentiel associ´es `a un instant pr´ecis dans le signal. Plusieurs types de transfor-mation peuvent ˆetre utilis´es, tels que la transform´ee de Fourier `a court terme, la distribution de Wigner-Ville ou encore la transform´ee en ondelettes [RAN 11]. R´emond [R´eM 91] a par

exemple d´evelopp´e un algorithme de Transform´ee en Ondelettes Rapide pour l’analyse du bruit d’engr`enement. La figure 1.23 (a) donne une repr´esentation temps-fr´equence par transform´ee de Fourier `a court terme du signal simul´e x(t), repr´esent´e sur la bande [0 8000] Hz (soit une bande utile pour la grenaille). On peut en particulier observer les raies de sir`ene et une tation globale de l’amplitude du spectre lors de la mont´ee en r´egime. Cependant cette augmen-tation d’amplitude ne permet pas de diff´erencier l’apparition de grenaille de la modulation long terme g´en´er´ee par la mont´ee en r´egime et introduite dans la simulation de chaque composante de l’excitation. D’autres repr´esentations `a deux dimensions, telles que fr´equence-r´egime (aussi appel´ee diagramme de Campbell) ou angle-ordre par exemple sont utilis´ees pour compl´eter l’analyse des signaux d’engrenages. La figure 1.23 (b) donne une repr´esentation angle-ordre du signal x_θ(θ) obtenu apr`es r´e-´echantillonnage angulaire du signal x(t). Les raies de sir`ene sont alors localis´ees `a des ordres constants, la plus ´energ´etique ´etant ici la raie `a Z₁= 43 evt/tr. L’excitation s(t) repr´esentant les cas p´eriodiques de grenaille va apparaˆıtre `a l’ordre 2 evt/tr, un ´ev`enementcorrespondant `a un couple d’impacts flanc direct/flanc r´etro. De nouveau, l’ap-parition de la grenaille ne peut pas ˆetre d´etect´ee par une simple observation de l’amplitude de l’ordre 2 evt/tr puisque cet ordre correspond ´egalement `a un harmonique de la sir`ene. On voit bien ici la difficult´e, par des m´ethodes classiquement utilis´ees pour l’analyse des signaux non-stationnaires, de diff´erencier, dans un signal vibratoire, la composantegrenaille des autres sources excitatrices. fréquence (Hz) temps (s) 0 2000 4000 6000 5 10 15 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 (a) ordre (evt/tr) angle (tr) 0 20 40 60 80 100 200 300 400 500 600 700 −20 0 20 40 (b)

FIGURE1.23: (a) Repr´esentation temps-fr´equence du signal x(t) simul´e. (a) Repr´esentation angle-ordre apr`es r´e-´echantillonnage angulaire. Echelle de couleur en dB.

1.4.3.3 Notion de cyclo-non-stationnarit´e

L’analyse cyclostationnaire, aujourd’hui appliqu´ee avec succ`es `a des cas industriels, consiste `a exploiter l’´evolution p´eriodique des param`etres statistiques d’un signal vibratoire. Les machines tournantes telles que les boˆıtes de vitesses sont des m´ecanismes `a g´eom´etrie p´eriodique en rotation, qui par construction ´evoluent cycliquement et produisent ainsi des signaux potentiellement cyclostationnaires. Ces derni`eres ann´ees de nombreux travaux ont

Conclusion

d´emontr´e l’int´erˆet des outils cyclostationnaires au second ordre pour l’analyse de signaux vi-bratoires [RAN 01] [ANT 07b]. Ces outils – et les bases th´eoriques les supportant – n´ecessitent cependant des conditions de r´egime stabilis´e. En pratique, cette restriction n’est pas compa-tible avec l’analyse de signaux issus de syst`emes soumis `a des conditions non pr´evisibles de fonctionnement (telles que les ´eoliennes par exemple) ou `a des syst`emes volontairement sou-mis `a des conditions non-stationnaires (telles que les chaˆınes de traction d’automobiles) et on parle alors de signaux cyclo-non-stationnaires. Ceux-ci pr´esentent notamment une modu-lation d’amplitude due aux conditions de fonctionnement instantan´ees, trait´ee aux r´ef´erences [DAH 10] et [ANT 13]. D’Elia et al. [D’E 10] ont d´emontr´e exp´erimentalement l’int´erˆet d’une distribution ordre cyclique (evt/tr) vs. fr´equence (Hz) pour l’analyse des signaux cyclo-non-stationnaires. Cette approche se fonde sur la prise en compte conjointe des ph´enom`enes cycliques li´es `a la variable angulaire et des ph´enom`enes porteurs li´es `a la variable tempo-relle. Le bruit de grenaille (ou du moins le cas dit p´eriodique du bruit de grenaille) est un exemple de signal pouvant ˆetre qualifi´e decyclostationnaire angle/temps : ´etant g´en´er´e par des chocs au niveau des dentures des engrenages il est de nature impulsionnelle en temps, et l’apparition des chocs ´etant li´ee `a la rotation de l’arbre d’entr´ee de la boˆıte de vitesses, il est cy-clique en angle. Cette nouvelle classe decyclostationnarit´e angle/tempsr´ecemment d´efinie `a la r´ef´erence [ANT 14] permet d’´etendre les propri´et´es de la classe cyclostationnaire `a des signaux aujourd’hui difficilement analysables et inclus dans la classe des signaux cyclo-non-stationnaires. L’extension du concept de cyclostationnarit´e `a une analyse des signaux en r´egime non-stationnaire fera ainsi l’objet du chapitre 3.