Influence observable de la vitesse de rotation sur l’estimation

−10 0 10 20 (a) fréquence (Hz)

vitesse de rotation (tr/min)

0 5000 10000 1000 1500 2000 2500 3000 −30 −20 −10 0 10 20 (b)

FIGURE2.14: (a) Diagramme de Campbell en Hz vs. tr/min de x(t) mesur´e. (b) Mˆeme repr´esentation apr`es blanchiment avec H( f ) estim´e.

2.4.3 Discussion - limites de la m´ethode

Apr`es l’observation des r´esultats sur signaux r´eels, nous allons maintenant nous concentrer sur les limites de la m´ethode propos´ee.

2.4.3.1 It´eration de la m´ethode

Une id´ee pour annuler les r´esidus li´es au transfert apr`es le premier blanchiment pourrait ˆetre d’it´erer la m´ethode. La figure 2.15 pr´esente une comparaison des cepstres du signal mesur´e et du signal blanchi, tous deux apr`es extraction des harmoniques d’ordre. Sur le cepstre du signal initial on observe des oscillations en basse qu´efrence qui correspondent aux ´echantillons utilis´es pour estimer le module de la fonction de transfert. Sur le cepstre du signal blanchi ces oscillations ne sont plus pr´esentes, le cepstre est quasiment plat en basse qu´efrence : la m´ethode d’identification aveugle ne peut donc pas ˆetre it´er´ee.

La m´ethode ne pouvant ˆetre it´er´ee, les r´esidus de r´esonance de structure pr´esents apr`es blanchiment pourraient ˆetre attribu´es `a la simplicit´e du mod`ele consid´er´e o`u une excitation est convolu´ee `a une unique r´eponse impulsionnelle : en r´ealit´e dans une boˆıte de vitesses on a toujours plusieurs points d’excitation mˆeme pour une unique sortie. L’hypoth`ese SISO n’est donc pas suffisante pour correctement mod´eliser le syst`eme et un signal MISO (Multiple Input Single Output) de la forme x(t) = ∑<sub>i</sub>h<sub>i</sub>(t) ∗ ri(t) devrait plutˆot ˆetre consid´er´e (apr`es application du filtre en peigne). Une perspective `a ce travail serait donc d’´etendre cette approche `a un tel syst`eme.

2.4.3.2 Influence observable de la vitesse de rotation sur l’estimation de |H( f )|

Pour observer l’influence de la vitesse de rotation, le module |H( f )| est estim´e sur deux portions du signal de la mont´ee en r´egime, de 770 `a 1570 tr/min puis de 2400 `a 3200 tr/min (figure 2.16). Sur les fr´equences inf´erieures `a 500 Hz, les oscillations observ´ees indiquent que

Conclusion 0 0.005 0.01 −0.1 −0.05 0 quéfrence (s) Avant blanchiment Après blanchiment

FIGURE 2.15: Comparaison des cepstres avant (noir) et apr`es (rouge) blanchiment par la fonction de transfert estim´ee (et pour les deux cas, apr`es extraction des harmoniques d’ordre).

l’estimation de H( f ) ne semble pas exploitable en basse fr´equence. Au-del`a de 500 Hz, seules deux r´esonances `a 3290 Hz et 4860 Hz sont identifi´ees sur les deux portions consid´er´ees, sinon les observations diff`erent. Globalement l’estimation sur la fin de la mont´ee en r´egime permet de mettre en ´evidence plus de modes, seul celui `a 5870 Hz est mieux d´etectable sur le d´ebut du signal. Les ´ecarts d’amplitude atteignent jusqu’`a 5 dB autour de 2800 Hz. Ces ´ecarts observ´es peuvent ˆetre attribu´es d’une part `a une d´ependance de la r´eponse impulsionnelle `a la vitesse de rotation, qui pourrait alors s’´ecrire h(t, ˙θ), ainsi qu’`a des variations dans l’excitation, qui ne semble pas homog`ene sur l’ensemble de la mont´ee en r´egime. L’estimation sur le signal complet, superpos´ee sur la figure 2.16, est proche de l’estimation sur la fin de la mont´ee en r´egime. L’´energie ´etant plus importante en fin de mont´ee en r´egime, il est en effet coh´erent que l’estimation de H( f ) soit plus repr´esentative dans les hauts r´egimes.

2.5 Conclusion

Ce chapitre a pr´esent´e une nouvelle m´ethode de s´eparation des composantes de l’excitation et du transfert bas´ee sur l’exploitation des domaines temporels et angulaires pour des signaux non-stationnaires. Une m´ethode d’identification aveugle par le cepstre est appliqu´ee. Il est par ailleurs montr´e que la partie d´eterministe de l’excitation ne peut pas ˆetre consid´er´ee comme une excitation blanche ou large bande mˆeme dans des cas s´ev`eres de non-stationnarit´e, ce qui motive l’utilisation des m´ethodes plus sp´ecifiques propos´ees ici.

Cette approche permet d’estimer rapidement la fonction de transfert globale d’un syst`eme et d’acc´eder ainsi aux fr´equences de r´esonance, utiles par exemple dans notre travail pour l’interpr´etation des sorties des outils de d´etection de la grenaille (cf. chapitres 3 et 4). Un blanchiment du signal par cette fonction de transfert pourrait de plus servir de pr´e-traitement des signaux. La d´emarche a ´et´e appliqu´ee avec satisfaction sur la boˆıte de vitesses en

0 2000 4000 6000 8000 10000 −10 −5 0 5 10 15 fréquence (Hz) 20log10(.) _{de 770 à 1570 tr/min} de 2400 à 3200 tr/min signal complet

FIGURE2.16: Comparaison du module de la fonction de transfert estim´ee sur 2 portions de signal (bleu : 770 `a 1570 tr/min, rouge : 2400 `a 3200 tr/min) et sur le signal complet (tirets noir).

fonctionnement, cas pratique et proche de l’application industrielle. En suite `a cette ´etude il pourrait ˆetre int´eressant d’appliquer la m´ethode de Janssens et al. [JAN 06], o`u les fr´equences et amortissements sont estim´es `a partir des harmoniques d’ordre extraits (correspondant ici aux raies de sir`enes), afin de comparer avec notre m´ethode d’identification `a partir de la composante al´eatoire de l’excitation.

Les limites de la m´ethode propos´ee ont ´et´e discut´ees `a partir des r´esultats exp´erimentaux. Pour avoir une estimation plus fine du transfert on pourrait tout d’abord appliquer l’estimation sur des portions successives de signal. Ces portions ne peuvent cependant pas ˆetre trop fines pour garantir un effet n´egligeable du filtre en peigne sur l’estimation de H( f ). Les croisements fr´equentiels de d(t) et des r´esonances de la structure peuvent par exemple ˆetre contrˆol´es visuel-lement `a l’aide des diagrammes de Campbell. L’estimation pourrait d’autre part ˆetre am´elior´ee en consid´erant un syst`eme soumis `a plusieurs excitations convolu´ees `a plusieurs transferts. D´evelopper une m´ethode MISO prenant en compte un tel syst`eme constitue une perspective de ce travail. Des perspectives et am´eliorations de cette m´ethode concernent de plus l’´etude d’autres hypoth`eses pour l’estimation de la phase, qui est un probl`eme r´ecurrent en m´ecanique, et l’´egalisation de l’amplitude des signaux vibratoires par rapport `a la vitesse de rotation. Cette modulation d’amplitude est une caract´eristique des signaux cyclo-non-stationnaires, au cœur du chapitre suivant.

Chapitre 3

Cyclostationnarit´e angle/temps

Sous certaines hypoth`eses, les propri´et´es de l’analyse cyclostationnaire peuvent ˆetre ´etendues pour l’analyse de tels signaux, en d´efinissant une nouvelle classe de processus qualifi´es

de cyclostationnaires angle/temps.

La coh´erence spectrale ordre/fr´equence, outil d’ordre 2, est exploit´ee dans ce chapitre afin de proposer un indicateur de

d´etection et de s´ev´erit´e du bruit de grenaille.

Sommaire

3.1 Introduction . . . 65 3.2 Positionnement du probl`eme : de la cyclostationnarit´e `a la

cyclo-non-stationnarit´e . . . 66 3.2.1 Cyclostationnarit´e : d´efinitions . . . 66 3.2.2 Estimateurs cyclostationnaires . . . 68 3.2.3 Int´erˆet d’une approche angle/temps . . . 72 3.2.4 Signaux cyclo-non-stationnaires . . . 75 3.3 Apport de solutions `a l’analyse cyclo-non-stationnaire par approche

angle/temps . . . 76 3.3.1 Cas particulier : les signaux cyclostationnaires angle/temps . . . 77 3.3.2 Adaptation de l’estimateur de Welch . . . 79 3.3.3 Limites du cadre cyclostationnaire angle/temps . . . 81 3.4 Validation de l’approche et application `a la d´etection du bruit de grenaille . 82 3.4.1 Validation sur simulation . . . 82 3.4.2 Application `a la d´etection du bruit de grenaille . . . 85 3.5 Conclusion . . . 92

Introduction

3.1 Introduction

Les machines tournantes telles que les boˆıtes de vitesses sont des m´ecanismes `a g´eom´etrie p´eriodique en rotation, qui par construction ´evoluent cycliquement et produisent ainsi des processus potentiellement cyclostationnaires. L’analyse cyclostationnaire consiste `a exploiter l’´evolution p´eriodique des param`etres statistiques d’un signal, par exemple vibratoire, sous l’hypoth`ese de conditions de r´egime stabilis´e. En pratique, cette restriction n’est pas compa-tible avec l’analyse de signaux issus de syst`emes soumis `a des conditions al´eatoires de fonc-tionnement (telles que les ´eoliennes par exemple) ou `a des syst`emes volontairement soumis `a des conditions non-stationnaires (telles que les motorisations d’automobiles) et on parle alors de processus cyclo-non-stationnaires.

L’objectif de ce chapitre est de pr´esenter une approche r´ecemment propos´ee pour ´etendre le concept cyclostationnaire `a des signaux en r´egime non-stationnaire, dans le but d’´etablir un indicateur de d´etection et de s´ev´erit´e du bruit de grenaille. Cette approche se fonde sur la prise en compte conjointe des ph´enom`enes cycliques li´es `a la variable angulaire et des ph´enom`enes porteurs li´es `a la variable temporelle. Le bruit de grenaille (ou du moins le cas dit p´eriodique du bruit de grenaille) est un exemple de signal pouvant ˆetre qualifi´e de cyclostationnaire angle/temps : ´etant g´en´er´e par des chocs au niveau des dentures des engrenages il est de nature impulsionnelle en temps, et l’apparition des chocs ´etant li´ee `a la rotation de l’arbre d’entr´ee de la boˆıte de vitesses, il est cyclique en angle. Cette nouvelle classe de  cyclosta-tionnarit´e angle/tempspermet d’´etendre les propri´et´es de la classecyclostationnaire`a des signaux aujourd’hui difficilement analysables et inclus dans la classe des signaux cyclo-non-stationnaires.

La premi`ere partie de ce chapitre est consacr´ee `a la probl´ematique de la dualit´e des domaines temporels et angulaires. Un ´etat de l’art de l’analyse cyclostationnaire est propos´e : les limites des approches temporelles et angulaires sont alors mises en ´evidence.

Une approche consid´erant une exploitation conjointe des domaines temporels et angu-laires est propos´ee dans une deuxi`eme partie, permettant d’analyser certains signaux cyclo-non-stationnaires qui manquent actuellement d’outils d’analyse. La corr´elation spectrale ordre/fr´equence, n´ecessitant une estimation de la vitesse angulaire instantan´ee, permet ainsi de caract´eriser les ph´enom`enes cycliques en nombre d’´ev`enement par tour et les ph´enom`enes porteurs en Hertz.

L’extension de l’estimateur de Welch est valid´ee dans la troisi`eme partie, par comparaison, pour un cas de r´egime stabilis´e, avec l’estimateur de la corr´elation spectrale largement utilis´e en analyse cyclostationnaire. Un indicateur de d´etection du bruit de grenaille, bas´e sur la coh´erence spectrale estim´ee aux multiples de l’ordre 2 evt/tr, est propos´e. Son int´erˆet est d´emontr´e sur la simulation d’un signal vibratoire d’une boˆıte de vitesses en fonctionnement, introduite au cha-pitre 1.

3.2 Positionnement du probl`eme : de la cyclostationnarit´e `a