5.2 M´ethode d’extraction d’une source cyclostationnaire angle/temps
5.2.2 Extraction de source cyclostationnaire angle/temps
Nous travaillerons sur le mod`ele en fr´equence suivant, `a un seul capteur :
X( f ) = C( f ) + N( f ) (5.7)
o`u C( f ) et N( f ) sont respectivement les transform´ees de Fourier de la source cyclostationnaire angle/temps c(t) (pour les ordres cycliques αθk∈
A
) et du terme de bruit n(t) contenant le reste du signal (c’est-`a-dire toutes les composantes non cyclostationnaires en αθk). La source C( f ) est donc corr´el´ee avec les versions d´ecal´eesF
{c(t)˙θ(t)e− jkαθθ(t)} pour k ∈ N∗, tandis que le bruit N( f ) est d´ecorr´el´e de ses versions d´ecal´eesF
{n(t)˙θ(t)e− jkαθθ(t)}.M´ethode d’extraction d’une source cyclostationnaire angle/temps 0 2 4 6 8 −200 0 200 m/s² (i) 0 2 4 6 8 −200 0 200 temps (s) m/s² (ii) (a) 0 5000 10000 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 fréquence (Hz) (b)
FIGURE5.1: (a) Signaux acc´el´erom´etriques x1(t) (i) et x2(t) (ii) mesur´es respectivement sur les faces sup´erieure et inf´erieure du carter de boˆıte, en r´egime stabilis´e. (b) Coh´erence crois´ee |γx1x2( f )|2.
Pa-ram`etres utilis´es : fenˆetre de Hanning, recouvrement de 66%, ∆ f = 10 Hz.
5.2.2.1 G´en´eralisation de la m´ethode MCR
La d´emarche consiste `a chercher l’estimateur ˆC( f ) le plus proche possible de C( f ) `a partir de la mesure X( f ). Les ordres cycliques αθk n’´etant pas partag´es pas le bruit N( f ), on cherche l’estimateur ˆC( f ) `a partir de la pr´ediction de X( f ) sur les r´egresseurs
F
{x(t)˙θ(t)e− jkαθθ(t)}. La m´ethode consiste alors `a chercher les coefficients Gk( f ) du filtre suivant :ˆ C( f ) = K
∑
k=1 Gk( f )F
{x(t)˙θ(t)e− jkαθθ(t)} (5.8) o`uF
{x(t)˙θ(t)e− jkαθθ(t)} correspond aux versions d´ecal´ees en fr´equence des observations X( f ). Contrairement au cas cyclostationnaire o`u les d´ecalages en fr´equence αtk sont constants dans le temps, cette approche tient compte des variations de vitesse instantan´ee ce qui reviendrait `a consid´erer physiquement des d´ecalages en fr´equence αtk(t) d´ependants du temps.Reformulons le probl`eme sous forme matricielle `a partir des vecteurs ´etendus suivants : Xk( f ) = [
F
{x(t)˙θ(t)e− j1αθθ(t)}...F
{x(t)˙θ(t)e− jkαθθ(t)}]T (5.9) etG( f ) = [G1( f )...Gk( f )] (5.10)
L’expression (5.8) de l’estimateur se r´e´ecrit donc : ˆ
C( f ) = G( f )Xk( f ) (5.11)
Soit ε( f ) l’erreur entre le signal d’int´erˆet et son estimateur : ε( f ) = C( f ) − ˆC( f )
Par principe similaire au filtrage de Wiener, on cherche `a minimiser l’erreur quadratique ε2( f ) = E{ε∗( f )ε( f )}. D’apr`es le th´eor`eme de la projection orthogonale, l’erreur ε( f ) doit ˆetre orthogonale au vecteur Xk( f ), soit :
E{ε( f )Xk∗( f )} = 0 (5.13)
Apr`es quelques calculs (d´etaill´es `a l’annexe D), il vient :
E{C( f )Xk∗( f )} = G( f ).E{Xk( f )Xk∗( f )} (5.14) Le signal d’int´erˆet C( f ) ´etant inconnu, il convient maintenant d’exploiter l’hypoth`ese que le bruit est d´ecorr´el´e de ce signal, d’o`u :
E{X ( f )Xk∗( f )} = E{[C( f ) + N( f )]Xk∗( f )}
= E{C( f )Xk∗( f )} (5.15)
En injectant ce r´esultat dans l’´equation 5.14, on obtient :
E{X ( f )Xk∗( f )} = G( f ).E{Xk( f )Xk∗( f )} (5.16) ce qui se r´e´ecrit :
Sxxk( f ) = G( f )Sxkxk( f ) (5.17)
avec xk= x(t)˙θ(t)e− jkαθθ(t). La grandeur Sxxk( f ) est un vecteur de taille (1 × K) et Sxkxk( f ) est une matrice de taille(K × K). Le filtre G( f ) s’exprime donc ainsi :
G( f ) = Sxxk( f )S−1xkxk( f ) (5.18)
L’expression du filtre G( f ) est donc similaire au cas cyclostationnaire, la diff´erence s’op´erant au niveau de la construction des versions d´ecal´ees des observations. Dans la suite, nous nous r´ef´ererons `a l’adaptation de la m´ethode MCR au cas cyclostationnaire angle/temps par le sigle MCR-ATCS (pour Multiple Cyclic Regression - Angle/Time Cyclo-Stationarity).
Le cadre th´eorique de la m´ethode MCR-ATCS ´etant pos´e, il convient maintenant d’en vali-der l’approche.
5.2.2.2 Validation sur simulation Consid´erons un signal de la forme :
x(t) = h(t) ∗ s(t) + b(t)
o`u h(t) repr´esente la r´eponse impulsionnelle du syst`eme m´ecanique, s(t) l’excitation g´en´er´ee par des chocs p´eriodiques en angle (simulant la grenaille de boˆıte) et b(t) un bruit suppos´e stationnaire al´eatoire. Le signal d’int´erˆet `a extraire est alors h(t) ∗ s(t).
M´ethode d’extraction d’une source cyclostationnaire angle/temps
R´egime stationnaire
Int´eressons-nous tout d’abord `a l’extraction dans le cas d’un r´egime de vitesse stationnaire `a 1000 tr/min. L’excitation s(t) simule des chocs d’amplitude al´eatoire (quatre par tour mais avec une p´eriodicit´e de deux ´ev´enements par tour, un ´ev`enement correspondant `a un choc flanc men´e plus un choc flanc menant), convolu´ee par une r´eponse impulsionnelle en sinus amortie de fr´equence de r´esonance f0= 1968 Hz. Pour une premi`ere validation de principe, on consid`ere un bruit faible avec un rapport signal `a bruit de 20 dB. Le signal de sortie x(t) ainsi simul´e est donn´e `a la figure 5.2. 0 0.5 1 1.5 −0.5 0 0.5 temps (s)
FIGURE5.2: Signal x(t) simul´e.
L’excitation s(t), tout comme sa contribution `a extraire, est cyclostationnaire pour l’ordre cyclique αθ= 2 evt/tr ou de fac¸on ´equivalente pour la fr´equence cyclique αt = 33, 3 Hz. Les algorithmes MCR et MCR-ATCS sont appliqu´es au signal x(t) simul´e en consid´erant trois d´ecalages en fr´equence (K = 3). Les r´esultats de l’extraction sont report´es `a la figure 5.3, superpos´es au signal d’int´erˆet th´eorique. L’agrandissement `a la figure 5.3 (b) montre que les r´esultats sont parfaitements similaires pour les algorithmes MCR et MCR-ATCS. Sur cet exemple, le temps de calcul1 est de 4,7 s avec la m´ethode MCR et de 4,8 s avec la m´ethode MCR-ATCS, soit un ´ecart de 2,1%. La m´ethode MCR-ATCS peut donc ˆetre vue comme une g´en´eralisation de la m´ethode MCR puisqu’elle apporte des r´esultats similaires dans le cas o`u le signal d’int´erˆet est cyclostationnaire sans rallonger significativement les temps d’ex´ecution.
R´egime non-stationnaire
Pour illustrer l’int´erˆet de l’approche propos´ee, consid´erons maintenant un r´egime faible-ment non-stationnaire, avec une mont´ee en r´egime de 950 `a 1050 tr/min (soit une variation de 10% de la vitesse moyenne) en 2 s. Le signal x(t) est simul´e avec la mˆeme r´eponse impulsionnelle et le mˆeme rapport signal `a bruit que pour le cas stationnaire. Le signal d’int´erˆet g´en`ere des impulsions cycliques en angle mais d´efinies en temps via la r´eponse impulsionnelle.
0 0.5 1 1.5 −0.5 0 0.5 temps (s) (a) 1.145 1.1455 1.146 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 temps (s) (b)
FIGURE 5.3: (a) Signal d’int´erˆet cyclostationnaire (noir), signal extrait par l’algorithme MCR (poin-till´es/tirets bleus) et signal extrait par l’algorithme MCR-ATCS (tirets rouges). (b) Adaptation de la
fenˆetre d’observation sur une impulsion.
Il est ainsi suppos´e cyclostationnaire angle/temps. L’algorithme MCR-ATCS est alors appliqu´e `a x(t) pour l’ordre cyclique αθ = 2 evt/tr et K = 3 (correspondant au nombre de d´ecalages `a consid´erer). Pour comparaison, l’algorithme MCR est appliqu´e `a une fr´equence cyclique correspondant `a la vitesse de rotation moyenne, soit αt = 33, 3 Hz. Les r´esultats sont pr´esent´es `a la figure 5.4, superpos´es au signal d’int´erˆet th´eorique. On observe que la variation de vitesse, et donc la suppression des cycles temporels, engendre une mauvaise extraction par l’algorithme MCR : l’hypoth`ese de source cyclostationnaire n’est en effet plus valable. Il convient de remarquer que l’extraction par l’algorithme MCR donne de mauvais r´esultats bien que la variation de vitesse soit faible (de l’ordre de 10%). L’agrandissement `a la figure 5.4 (b) montre en revanche que l’algorithme MCR-ATCS permet une bonne prise en compte de la variation de vitesse et les impulsions sont correctement extraites. Ceci valide ainsi l’approche propos´ee pour extraire la contribution d’une source cyclostationnaire angle/temps.
L’algorithme MCR-ATCS ´etant valid´e, nous allons maintenant nous int´eresser `a l’extraction de la contribution du signal de grenaille dans la simulation introduite au chapitre 1.
M´ethode d’extraction d’une source cyclostationnaire angle/temps 0 0.5 1 1.5 −0.5 0 0.5 temps (s) (a) 1.455 1.4555 1.456 −0.4 −0.2 0 0.2 temps (s) (b)
FIGURE 5.4: (a) Signal d’int´erˆet cyclostationnaire angle/temps (noir), signal extrait par l’algorithme MCR (pointill´es/tirets bleus) et signal extrait par l’algorithme MCR-ATCS (tirets rouges). (b) Adaptation
de la fenˆetre d’observation sur une impulsion.