Etape 1 : extraction de la partie d´eterministe de l’excitation d(t)

partie d´eterministe de l’excitation afin de se ramener `a une hypoth`ese d’excitation `a spectre plat (hypoth`ese non v´erifi´ee par les raies de sir`ene).

Estimation de fonction de transfert par exploitation des domaines temporels et angulaires

FIGURE 2.2: Repr´esentation sch´ematique de la boite BE en 2^e rapport engag´e, avec indication de quelques points possibles d’excitation des diff´erentes sources.

2.3.1.1 Diagrammes de Campbell

Un diagramme de Campbell repr´esente la r´eponse spectrale d’un syst`eme en fonction de sa vitesse instantan´ee. Pour un signal vibratoire ´echantillonn´e `a pas de temps constant le spectre sera exprim´e en Hertz, tandis que dans le cas d’un ´echantillonnage `a pas d’angle constant le spectre sera exprim´e en nombre d’´ev`enements par tour.

La figure 2.3 (a) pr´esente le diagramme de Campbell en Hertz vs. tr/min du signal x(t) sur la bande [0 − 6000] Hz avec une r´esolution fr´equentielle de 10 Hz et des pas de 8 tr/min. On observe que les composantes des harmoniques d’ordre varient lin´eairement avec la vitesse de ro-tation et que la r´esonance est quant `a elle localis´ee `a une fr´equence fixe. La pr´esence d’un codeur angulaire de r´esolution R= 60 tops/tr est simul´ee en entr´ee de boˆıte. Cette r´esolution correspond `a la plus petite r´esolution des codeurs angulaires utilis´es pour les validations exp´erimentales (cf. annexe A) et est ´egalement proche des 58 dents (60-2) de la couronne de d´emarrage mont´ee sur le volant moteur qui pourrait ˆetre utilis´ee pour une application industrielle. La fonction angle/temps (cf. la partie 1.4.3.1 du chapitre 1) est alors connue aux ´echantillons an-gulaires k.2π/R, avec k entier. Afin d’effectuer un r´e-´echantillonnage angulaire synchronis´e sur la rotation de l’arbre primaire en v´erifiant la condition de Nyquist-Shannon donn´ee par l’´equation (1.7), la fonction angle/temps est interpol´ee jusqu’`a simuler un codeur de r´esolution R₂= 3576 tops/tr. Dans tous ces travaux, les interpolations seront r´ealis´ees par des splines cu-biques, la bibliographie pr´econisant cette m´ethode [FYF 97].

On obtient ainsi le signal x_θ(θ) ´echantillonn´e `a pas d’angle constant, dont le diagramme de Campbell (repr´esent´e en fr´equence d’angle en evt/tr vs. tr/min) est donn´e `a la figure 2.3 (b). On

observe que les composantes harmoniques d’ordre sont maintenant localis´ees `a des fr´equences angulaires fixes et que la r´esonance apparaˆıt sous forme d’hyperbole. Ces observations se d´emontrent `a partir du passage du domaine temporel au domaine angulaire [R´eM 07].

fréquence (Hz)

vitesse de rotation (tr/min)

0 2000 4000 6000 1000 1500 2000 2500 3000 3500 −30 −20 −10 0 10 20 30 (a) ordre (evt/tr)

vitesse de rotation (tr/min)

0 50 100 150 200 1000 1500 2000 2500 3000 3500 −30 −20 −10 0 10 20 30 (b)

FIGURE2.3: (a) Diagramme de Campbell en Hz vs. tr/min de x(t). (b) Diagramme de Campbell en evt/tr vs. tr/min de xθ(θ).

2.3.1.2 Filtre en peigne appliqu´e `a l’extraction des sir`enes (d(t))

L’observation du diagramme de Campbell du signal r´e-´echantillonn´e en angle permet natu-rellement une extraction d’ordre afin de supprimer les composantes d´eterministes de l’excita-tion.

Pour des signaux cyclostationnaires, un filtrage en peigne est ´equivalent `a un moyennage synchrone [ANT 04a], outil classiquement employ´e pour s´eparer les composantes d´eterministes des composantes al´eatoires. Comme indiqu´e `a la section 1.4.3.3 du chapitre 1, le signal x_θ(θ) n’est pas qualifi´e de cyclostationnaire mais de cyclo-non-stationnaire. Un moyennage syn-chrone ne peut donc pas ˆetre appliqu´e ici, en particulier `a cause de la modulation d’amplitude engendr´ee par les conditions de fonctionnement variables. Nous proposons donc un filtre en peigne construit`a la main.

Le filtre en peigne doit avoir un gain unitaire aux fr´equences angulaires f_θ= k/Θ (k entier positif), un gain nul en dehors de ces fr´equences et une phase nulle. On consid`ere le filtre suivant :

H_f( fθ) = ¹

2(1 + cos(2π. fθ.Θ))^p , p > 1 (2.4)

o`u le param`etre p permet de g´erer la s´electivit´e. L’objectif ´etant d’extraire la partie d´eterministe de l’excitation, on prendra Θ= 2π, comme introduit dans la simulation des raies de sir`enes : on extrait alors les multiples de 1 evt/tr. On remarquera que l’´equation (2.4) n’est pas directement ´equivalente `a une moyenne synchrone dans le domaine angulaire, dont la correspondance s’´ecrirait sous la forme d’une fonction de Dirichlet. La figure 2.4 (a) donne le module et la

Estimation de fonction de transfert par exploitation des domaines temporels et angulaires

phase du filtre H_f( fθ) consid´er´es sur la bande [42, 5 − 43, 5] evt/tr, avec p = 100 (la s´electivit´e pest ici choisie visuellement en observant la largeur des ordres `a extraire).

Il convient de remarquer que l’ordre 2 evt/tr ´etant g´en´er´e `a la fois par les raies de sir`ene d(t) et par la composante de grenaille s(t) g´en´er´ee par les chocs p´eriodiques, cette derni`ere composante sera ´egalement supprim´ee par le filtrage en peigne.

42.5⁰ 43 43.5 0.5 1 (i) 42.5 43 43.5 −2 0 2 ordre (evt/tr) (ii) (a) 0 50 100 0 0.02 0.04 0.06 ordre (evt/tr) (b)

FIGURE2.4: (a) Module (i) et phase (ii) du filtre en peigne. (b) Spectre en ordre du signal avant (noir) et apr`es (rouge) extraction des ordres.

Notons X_θ( fθ) la transform´ee de Fourier du signal xθ(θ). Le signal filtr´e dans le domaine des fr´equences angulaires est donn´e par :

F_θ( f_θ) = Hf( f_θ)X_θ( f_θ) (2.5)

Pour ´eliminer les ordres multiples de 2π/Θ evt/tr, on calcule X_θ^f( f_θ) tel que : X^f

θ( f_θ) = X_θ( f_θ) − F_θ( f_θ)

Apr`es transform´ee de Fourier inverse pour obtenir le signal filtr´e en angle puis passage dans le domaine temporel, on acc`ede au signal

x_f(t) ' h(t) ∗ r(t) + b(t) (2.6)

L’´equation (2.6) n’est pas r´eellement une ´egalit´e car l’extraction des ordres conduit ´egalement `a la suppression d’une partie de la r´eponse du syst`eme, lorsqu’il y a concordance entre un ordre et une fr´equence de r´esonance, et `a une suppression du bruit.

Une m´ethode similaire de suppression d’excitation harmoniques par passage dans le domaine des ordres est pr´esent´ee par Groover et al. [GRO 05] avec une application sur machine tournante en r´egime stabilis´e. Il est notamment mentionn´e que mettre `a z´ero l’amplitude des ordres `a supprimer est probl´ematique si une fr´equence de r´esonance est localis´ee tr`es proche

d’un harmonique `a extraire. Dans notre cas, nous consid´erons que la variation de vitesse de rotation est suffisamment grande pour n´egliger cet aspect et aucun bruit n’est rajout´e pour compenser la mise `a z´ero des ordres extraits. En effet, comme mentionn´e pr´ec´edemment, les ph´enom`enes de r´esonance m´ecanique sont ´etal´es dans le domaine des ordres tandis que le filtre en peigne est appliqu´e pour supprimer des composantes discr`etes.

La figure 2.4 (b) donne une comparaison du spectre en ordre du signal avant et apr`es applica-tion du filtre en peigne et valide ainsi l’extracapplica-tion des composantes harmoniques de l’excitaapplica-tion.